2021屆云南省昆明市高三(理科)數(shù)學(xué)考前適應(yīng)性訓(xùn)練試題【含答案】

2021屆云南省昆明市高三（理科）數(shù)學(xué)考前適應(yīng)性訓(xùn)練試題

一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1.歐拉公式eixcosxisinx(其中i為虛數(shù)單位)是由著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，當(dāng)xπ時，

eπi10，這是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個公式，數(shù)學(xué)家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”.根據(jù)

πz

歐拉公式，若將i所表示的復(fù)數(shù)記為z，則()

e3i

13133131

A.iB.iC.iD.i

22222222

【答案】C

【解析】

【分析】

π

iππz

根據(jù)歐拉公式可得ze3cosisin，進(jìn)而可求出.

33i

π

iππ13z3131

【詳解】依題意，ze3cosisini，則i.

3322i22i22

故選：C.

【點睛】本題考查新定義，考查復(fù)數(shù)的除法運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知集合A{xx3,xN}，集合B1,0,1,2，則圖中陰影部分所表示的集合為

()

A.1,2B.0,1,2

C.1,1,2D.1,0,1,2

【答案】B

【解析】

【分析】

易知圖中陰影部分對應(yīng)的集合為AB，可求出集合A，然后與集合B取交集即可.

【詳解】由題意，A{x||x|3,xN}{x|3x3,xN}{0,1,2}，B1,0,1,2，

易知圖中陰影部分對應(yīng)的集合為AB，AB0,1,2.

故選：B

【點睛】本題考查集合的交集，考查絕對值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

3.函數(shù)f(x)exsin|x|的大致圖象是()

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】

結(jié)合函數(shù)的奇偶性，并利用特殊值法，可排除錯誤選項，得出答案.

【詳解】易知函數(shù)f(x)exsin|x|為非奇非偶函數(shù)，可排除B，C選項；

當(dāng)x0時，f00，可排除選項D.

故選：A.

【點睛】本題考查函數(shù)圖象的識別，考查學(xué)生的推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知向量a(2,3),b(x,4)，且a與b共線，則b在a方向上的投影為()

413413

A.B.13C.13D.

33

【答案】D

【解析】

【分析】

ab

由a與b共線，可求出x的值，進(jìn)而由b在a方向上的投影為，可求出答案.

a

8

【詳解】由a與b共線，可得423x0，解得x，

3

852

則ab243，a223213.

33

52

ab413

所以b在a方向上的投影為bcosa,b3.

a133

故選：D.

【點睛】本題考查共線向量的性質(zhì)，考查向量的投影，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)

題.

x2y2

5.已知點A(1,3)在雙曲線1(a0,b0)的漸近線上，則該雙曲線的離心率為

a2b2

()

A.3B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

bcb2

由點A在雙曲線的漸近線上，可求出，進(jìn)而由離心率e1，可求出答案.

aaa2

b

【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為yx，

a

bb

易知點A(1,3)在直線yx上，則3，

aa

cb2

所以雙曲線的離心率e1132.

aa2

故選：B.

【點睛】本題考查雙曲線的離心率及漸近線，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若asinAsinBbcos2A2a，則

b

()

a

A.1B.2C.3D.2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用正弦定理將角化為邊，并結(jié)合sin2Acos2A1，可將原式轉(zhuǎn)化為sinB2sinA，由

bsinB

，可求出答案.

asinA

【詳解】由正弦定理得sin2AsinBsinBcos2A2sinA，

bsinB

所以sinB(sin2Acos2A)2sinA，即sinB2sinA，所以2.

asinA

故選：D.

【點睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的i5，則圖中判斷框內(nèi)可填入的條件是()

47915

A.S?B.S？C.s？D.S?

581016

【答案】C

【解析】

【分析】

715

根據(jù)題意，運行該程序，當(dāng)S,i4時，判斷框成立，當(dāng)S,i5時，判斷框不成立，

816

結(jié)合選項可選出答案.

【詳解】由題意，運行該程序，

1

輸入i1,S0，判斷框成立；則S,i2，判斷框成立；

2

113317

則S,i3，判斷框成立；則S,i4，判斷框成立；

22244238

7115

則S,i5，判斷框不成立，輸出i5.

82416

9

結(jié)合選項，判斷框內(nèi)可填入的條件是s？.

10

故選：C.

【點睛】本題考查程序框圖，考查學(xué)生的計算求解能力與推理能力，屬于中檔題.

8.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如18711，在不超過

18的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于18的概率是()

2311

A.B.C.D.

2128147

【答案】A

【解析】

【分析】

不超過18的素數(shù)有7個，從中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于18的情況有兩種，結(jié)合古典

概型的概率公式，可求出答案.

【詳解】由題意，不超過18的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17，從中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等

22

于18的情況有5,13和7,11兩種，所以所求概率為.

C221

7

故選：A.

【點睛】本題考查古典概型的概率求法，考查排列組合的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，

屬于基礎(chǔ)題.

9.已知正三棱柱ABCABC的各棱長都相等，D是側(cè)棱BB的中點，則異面直線AB與CD

111111

所成的角的大小為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】D

【解析】

【分析】

利用向量的線性運算，可得ABCDABBBCBBD，將其展開，計算可求得

111111

ABCD0，從而可知異面直線AB與CD所成的角的大小為90.

1111

【詳解】設(shè)該三棱柱的棱長為a，

ABCDABBBCBBDABCBABBDBBCBBBBD，

11111111111111

因為ABCABC是正三棱柱，所以BBCB，BBAB，所以ABBD0，

11111111

BBCB0，即ABCDABCBBBBD，

111111111

1

又CBCB，所以ABCBABCBABCBcos60a2，

11112

11

且BBBDBBBBa2，

111212

11

所以ABCBBBBDa2a20，即ABCD0.

11112211

故ABCD，即異面直線AB與CD所成的角的大小為90.

1111

故選：D.

【點睛】本題考查異面直線夾角的求法，考查學(xué)生的空間想象能力與計算求解能力，屬于中

檔題.

ππ

10.已知函數(shù)fxsinxcosx在,上單調(diào)遞減，若0，則的取值范圍是

42

()

777

A.[2,]B.[3,]C.[3，4]D.[,4]

222

【答案】B

【解析】

【分析】

πππ

2kπ

442ππT

對函數(shù)fx化簡，并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，又，可求得

ππ3π242

2kπ

242

04，從而可知只有k0時符合題意，即可求出的取值范圍.

π

【詳解】由題意，fxsinxcosx2sin(x)，

4

πππππππ

由0，令x,，可得x(，)，

4244424

π3π

因為fx的單調(diào)遞減區(qū)間為2kπ,2kπkZ，

22

πππ

2kπ38k

442

所以，即7，

ππ3π4k

2kπ2

242

ππTπ

又因為，所以04，

242

04

所以7，顯然只有k0時，符合題意，

38k4kkZ

2

7

故3.

2

故選：B.

【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換，考查三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理能

力與計算求解能力，屬于中檔題.

11.已知定義在R上的偶函數(shù)fx滿足fxf2x，且x0,1時，f(x)x2，則

11

f()()

2

113

A.B.C.D.1

424

【答案】A

【解析】

【分析】

結(jié)合函數(shù)fx的性質(zhì)，可知函數(shù)fx是周期為2的函數(shù)，進(jìn)而可得

11111

ff6f，從而可求出答案.

222

【詳解】由fxf2x，可得fxf2x，

因為函數(shù)fx為定義在R上的偶函數(shù)，所以fxfx，

則fxf2xfx，即f2xfx，

所以函數(shù)fx是周期為2的函數(shù)，

11111

則ff6f，

222

1111

因為x0,1時，f(x)x2，所以ff.

224

故選：A

【點睛】本題考查函數(shù)的周期性與奇偶性的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于中檔題.

x2y2

12.已知橢圓1(ab0)的左、右焦點分別為F,F，B,C分別為橢圓的上、下頂

a2b212

7

點，直線BF與橢圓的另一個交點為D，若cosFBF，則直線CD的斜率為()

21225

2414127

A.B.C.D.

25252525

【答案】C

【解析】

【分析】

7b

由cosFBF，可得cosOBF的值，即可求出的值，設(shè)Dm,n，可得

12252a

2

mnbnbb2b

n21b2，從而可得kk，進(jìn)而由k，可求出k.

a2BDCDmma2BDcCD

74

【詳解】由題意，cosFBF2cos2OBF1，解得cosOBF，

1222525

bb4

因為BFOB2OF2b2c2a，所以cosOBF，故.

222aa5

m2n2m2

設(shè)Dm,n，則1，即n21b2，

a2b2a2

m2

1b2b2

則nbnbn2b2a2b216，

kk

BDCDmmm2m2a225

444

因為cosOBF，所以tanOFB，所以k，

2523BD3

16

2512

故k.

CD4

25

3

故選：C.

【點睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線的斜率及二倍角公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算

求解能力，屬于中檔題.

二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線f(x)exlnx在點1,0處的切線方程為____.

【答案】yex1

【解析】

【分析】

對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，可求出f1，又點1,0在曲線f(x)上，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可求出切

線方程.

【詳解】由題意，f(1)e1ln10，

exe1

因為fxexlnx，所以f1e1ln1e，

x1

故曲線fxexlnx在點1,0處的切線方程為yex1.

故答案為：yex1.

【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

y10

14.若直線kxyk0與不等式組xy10表示的平面區(qū)域有公共點，則實數(shù)k的取

x2y20

值范圍是_____.

1

【答案】,1

7

【解析】

【分析】

41

作出不等式組表示的區(qū)域，如圖陰影部分，可求得A,，B0,1，而直線kxyk0

33

恒過定點P1，0，當(dāng)直線kxyk0與陰影部分有公共點時，kkk.

PAPB

【詳解】作出不等式組表示的區(qū)域，如圖陰影部分，

xy1041

聯(lián)立，可得A,，

x2y2033

y10

聯(lián)立，可得B0,1，

x2y20

直線kxyk0過定點P1，0，

1

3110

直線PA的斜率為k，直線PB的斜率為k1，

PA4PB

1701

3

1

當(dāng)直線kxyk0與陰影部分有公共點時，k,1.

7

1

故答案為：,1.

7

【點睛】本題考查線性規(guī)劃，考查直線的斜率，考查數(shù)形結(jié)合的方法解題中的應(yīng)用，屬于中

檔題.

53π

15.已知sincos且0,π，則tan()____.

54

1

【答案】

3

【解析】

【分析】

535

由sincos且0,π，可求出sincos，進(jìn)而可求出sin,cos，從

55

3πtan1

而可求出tan，結(jié)合tan()，可求出答案.

41tan

114

【詳解】由sincos2，可得2sincos10，

555

π

所以,π，即sin0,cos0，

2

935

又sincos212sincos，所以sincos，

55

5

sincos

5255

即，解得sin，cos，

3555

sincos

5

3π

tantan

3π4tan11

所以tan2，則tan().

3π

41tantan1tan3

4

1

故答案為：.

3

【點睛】本題考查兩角和與差的正切公式的應(yīng)用，考查同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生

的計算求解能力，屬于中檔題.

16.在三棱錐ABCD中，ABAC，DBDC，ABDB4，ABBD，則三棱錐

ABCD外接球的體積的最小值為______．

82

【答案】

3

【解析】

【分析】

：先將三棱錐還原到長方體中，根據(jù)題意建立長方體的體對角線與AB的函數(shù)關(guān)系式，求解體

對角線的最小值，由此得出外接球的體積的最小值．

【詳解】：如圖所示，三棱錐ABCD的外接圓即為長方體的外接圓，外接圓的直徑為長方

體的體對角線AD，設(shè)ABACx，那么DBDC4x,ABBD,所以

ADAB2DB2．由題意，體積的最小值即為AD最小，ADx2(4x)2，所以當(dāng)

82

x2時，AD的最小值為22，所以半徑為2，故體積的最小值為．

3

【點睛】：根據(jù)題意把三棱錐還原到長方體是解決三棱錐外接球問題的常見解法，不同題目背

景，還原方法不一樣，但三棱錐的四個頂點一定是長方體的頂點．

三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必

考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題:共60分

n(n1)

17.已知數(shù)列a滿足a2a4a2n1anN*.

n123n2

（1）求a的通項公式；

n

（2）求a的前n項和S.

nn

11

【答案】（1）an()n1；（2）S4(n2)()n1

n2n2

【解析】

【分析】

（1）由題意可得，

n(n1)(n1)n

a2a4a2n1aa2a4a2n2a，即可求

123n123n122

出2n1a的表達(dá)式，進(jìn)而可求出a的表達(dá)式；

nn

1

（2）由an()n1，利用錯位相減法，可求出a的前n項和S.

n2nn

【詳解】（1）當(dāng)n1時，a1，

1

(n1)n

當(dāng)n2時，可得a2a4a2n2a，

123n12

n(n1)(n1)n

則a2a4a2n1aa2a4a2n2a，即

123n123n122

1

2n1an，故an()n1.

nn2

11

因為a1，滿足an()n1，所以a的通項公式為an()n1.

1n2nn2

1111

（2）由題意，Saaaa1()02()13()2n()n1，

n123n2222

11111

則S1()12()23()3n()n，

2n2222

11111

則SS()0()1()n1n()n，

n2n2222

1

1()n

121

即Sn()n，

2n12

1

2

1

所以S4(n2)()n1.

n2

【點睛】本題考查通項公式的求法，考查利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和，考查學(xué)生的計算

求解能力，屬于中檔題.

18.某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測標(biāo)準(zhǔn)，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量y(g)與尺寸x(mm)之間

近似滿足關(guān)系式y(tǒng)cxb(b,c為大于0的常數(shù)).按照某項指標(biāo)測定，當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在

ee

區(qū)間(,)內(nèi)時為優(yōu)等品.現(xiàn)隨機(jī)抽取6件合格產(chǎn)品，測得數(shù)據(jù)如下：

97

尺寸xmm384858687888

質(zhì)量yg16.818.820.722.42425.5

y

質(zhì)量與尺寸的比0.4420.3920.3570.3290.3080.290

x

（1）現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，記ξ為取到優(yōu)等品的件數(shù)，試求隨機(jī)變量ξ的

分布列和期望；

（2）根據(jù)測得數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關(guān)統(tǒng)計量的值如下表：

6666

lnxlnylnxlnylnx2

iiiii

i1i1i1i1

75.324.618.3101.4

根據(jù)所給統(tǒng)計量，求y關(guān)于x的回歸方程.

附:對于樣本(v,u)(i1,2,,6)，其回歸直線ubva的斜率和截距的最小二乘估計公式

ii

n

(vv)(uu)

?ii?

分別為：bi1,a?ubv,e2.7183.

n

(vv)2

i

i1

3

【答案】（1）分布列見解析，；（2）yex0.5

2

【解析】

【分析】

ee

（1）優(yōu)等品的質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間(,)內(nèi)，可知隨機(jī)抽取的6件合格產(chǎn)品中，有3件為

97

優(yōu)等品，可知可取的值有0,1,2,3，分別求出對應(yīng)的概率，進(jìn)而可列出分布列并求出數(shù)學(xué)期

望；

（2）對ycxb（b,c0）兩邊取自然對數(shù)得lnylncblnx，令vlnx,ulny，得

iiii

ubva，且alnc，進(jìn)而根據(jù)所給統(tǒng)計量及最小二乘估計公式，可求出b,a，從而可求

出c?，即可得到y(tǒng)關(guān)于x的回歸方程.

eeee

【詳解】（1）由題意，優(yōu)等品的質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間(,)內(nèi)，而0.302,0.388，

9797

所以隨機(jī)抽取的6件合格產(chǎn)品中，有3件為優(yōu)等品，3件為非優(yōu)等品.

現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，則取到優(yōu)等品的件數(shù)0,1,2,3，

C0C31C1C29

P(0)33，P133，

C320C320

66

C2C19C3C01

P(2)33，P333.

C320C320

66

則的分布列為：

0123

1991

P

20202020

19913

所以E0123.

202020202

（2）對ycxb（b,c0）兩邊取自然對數(shù)得lnylncblnx，

令vlnx,ulny，得ubva，且alnc，根據(jù)所給統(tǒng)計量及最小二乘估計公式有，

iiii

61

vu6vu75.324.618.3

ii0.271

bi16，

610.542

v26v2101.424.62

i6

i1

1

aubv18.324.661，即alnc1，故ce，

2

所求y關(guān)于x的回歸方程為yex0.5.

【點睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查回歸方程的求法，考查學(xué)生的

計算求解能力，屬于中檔題.

19.如圖，三棱柱ABCABC的底面是等邊三角形，A在底面ABC上的射影為△ABC的重

1111

心G.

（1）已知AAAC，證明：平面ABC平面ABC；

1111

（2）已知平面ABBA與平面ABC所成的二面角為60°，G到直線AB的距離為a，求銳二

11

面角BACC的余弦值.

111

7

【答案】（1）證明見解析；（2）

4

【解析】

【分析】

（1）連接CG并延長交AB于M，易知AG平面ABC，進(jìn)而可證明AB平面AMC，

11

可得ABAC，再由四邊形AACC是菱形，可得ACAC，從而可證明AC平面

111111

ABC，進(jìn)而可證明平面ABC平面ABC；

1111

（2）連接AB，易知AAAB，進(jìn)而可得AMAB，結(jié)合平面ABBA與平面ABC所成

111111

的二面角的平面角為AMG60，由GMa，可得MC3a，AB23a，AG3a，從

11

而以M為原點，MB，MC分別作為x軸、y軸，過點M作平行與AG的直線為z軸，建

1

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面ABC、平面ACC的法向量n、n，由

111112

nn

cosn,n12，進(jìn)而可求出銳二面角BACC的余弦值.

12nn111

12

【詳解】（1）證明：連接CG并延長交AB于M，由已知得AG平面ABC，

1

由AB平面ABC，可得AGAB，

1

又CMAB，CMAGG，CM平面AMC，AG平面AMC，所以AB平面

1111

AMC，

1

由AC平面AMC，可得ABAC，

111

因為四邊形AACC平行四邊形，且AAAC，所以四邊形AACC是菱形，所以

11111

ACAC，

11

又因為ABACA，且AB平面ABC，AC平面ABC，所以AC平面ABC，

111111

因為AC平面ABC，所以平面ABC平面ABC.

111111

（2）連接AB，因為A在底面ABC上的射影是ABC的重心G，

11

所以RtAGA與RtAGB全等，

11

所以AAAB，因為CMAB，所以點M為AB中點，所以AMAB，

111

故平面ABBA與平面ABC所成的二面角的平面角為AMG60，

111

由GMa，得MC3a，AB23a，AGMGtan603a，

1

故以M為原點，直線MB,MC分別作為x軸、y軸，過點M作平行與AG的直線為z軸，

1

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則B(3a,0,0)，A(0,a,3a)，B(23a,a,3a)，C(3a,4a,3a)，C(0,3a,0)，

111

所以AB(23a,0,0)，CA(0,2a,3a)，AC(3a,3a,0)，

11111

設(shè)nx,y,z為平面ABC的一個法向量，

111111

nAB23ax0

則1111，可取n0,3,2，

nCA2ay3az01

1111

設(shè)平面ACC的一個法向量為nx,y,z，

112222

nAC3ax3ay0

則11122，可取n3,3,2，

nCA2ay3az02

1122

nn347

所以cosn,n12，

12nn349344

12

7

故銳二面角BACC的余弦值為.

1114

【點睛】本題考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，利用空間向量法是解決二面角問題

的常見方法，屬于中檔題.

20.已知點F0,1，直線l：y1，點E為l上一動點，過E作直線ll，l為EF的中垂

12

線，l與l交于點G，設(shè)點G的軌跡為曲線Γ.

12

（1）求曲線Γ的方程；

（2）若過F的直線與Γ交于A,B兩點，線段AB的垂直平分線交y軸于點P，求FP與AB

的比值.

1

【答案】（1）x24y；（2）

2

【解析】

【分析】

（1）易知GEGF，即點G到l的距離等于點G到點F的距離，可知點G的軌跡為拋物

線，求出方程即可；

（2）設(shè)線段AB的垂直平分線與AB交于點M，分別過點A,B作AAl,BBl，垂足為

11

FPFM

A,B，再過點A作ACBB，垂足為C，易知PFM∽ABC，可得，進(jìn)而

111ABBC

FM

結(jié)合拋物線的定義，可求出的值，即可得到FP與AB的比值.

BC

【詳解】（1）由題意可知GEGF，即點G到l的距離等于點G到點F的距離，

所以點G的軌跡是以l為準(zhǔn)線，F(xiàn)為焦點的拋物線，

其方程為：x24y.

（2）設(shè)線段AB的垂直平分線與AB交于點M，分別過點A,B作AAl,BBl，垂足為

11

A,B，

11

再過點A作ACBB，垂足為C，

1

FPFM

因為PFMABC,PMFACB，所以△PFM∽ABC，所以，

ABBC

設(shè)AFm，BFn(不妨設(shè)nm)，由拋物線定義得AFAAm，BFBBn，

11

所以BCnm，