上海市重點中學2022-2023學年高二下學期期中數(shù)學試題及參考答案

上海市重點中學2023學年第二學期期中考試高二數(shù)學一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置填寫結(jié)果.1.向量的模__________.2.函數(shù)的導函數(shù)的定義域為__________.3.根據(jù)二項式定理，的二項展開式共有__________項.4.設，若向量與向量平行，則__________.5.已知函數(shù)，則函數(shù)的導函數(shù)__________.6.設，若1是函數(shù)的一個駐點，則__________.7.在的二項展開式中，常數(shù)項為__________.8.若圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）則此圓的半徑為__________.9.在極坐標系中，圓的圓心到直線的距離為__________.10.設，若關于的方程有三個實數(shù)解，則的取值范圍為__________.11.定義域和值域都是的連續(xù)函數(shù)恰有17個駐點，導函數(shù)的定義域被這些駐點分割成18個小區(qū)間，其中恰有9個區(qū)間能使恒成立，若記的零點個數(shù)為，則的最大值為__________.12.在空間中，是一個定點，給定的三個不共面的向量，且它們兩兩之間的夾角都是銳角.若向量滿足，則滿足題意的點的個數(shù)為__________.二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15?16題每題5分）每題有且僅有一個正確選項，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.在的二項展開式中，第3項為（）A.C.C.D.14.下列以為參數(shù)的參數(shù)方程中，能夠表示方程的是（）A.B.C.D.15.計算：（）A.0B.C.D.16.設函數(shù)在定義域上的導數(shù)值均存在，其導函數(shù)為，關于這兩個函數(shù)的圖像，有如下兩個命題：命題：若的圖像關于直線對稱，則的圖像也關于直線對稱；命題：若是減函數(shù)，且其圖像向右方無限延伸時會與軸無限趨近，則函數(shù)是增函數(shù)，且其圖像向右方無限延伸時也會存在一條平行或重合于軸的直線，使得的圖像與無限趨近.下列判斷正確的是（）A.和都是真命題B.和都是假命題C.是真命題，是假命題D.是假命題，是真命題三?解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.17.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）已知函數(shù).（1）求的值，并寫出該函數(shù)在點處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.18.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）如圖，在三棱錐中，平面?分別為的中點.（1）求直線與平面所成角的大?。唬?）求平面與平面所成二面角的大小.19.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）設，函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設常數(shù).當時，關于的不等式在恒成立，求的取值范圍.20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）設實數(shù).對任意給定的實數(shù)，都有.（1）當時，求的值；（2）若是整數(shù)，且滿足成立，求的值；（3）當時，根據(jù)的取值，討論的二項展開式中系數(shù)最大的項是第幾項.標系.21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）設常數(shù).在棱長為1的正方體中，點滿足，點分別為棱上的動點（均不與頂點重合），且滿足，記.以為原點，分別以與的方向為與軸的正方向，建立如圖空間直角坐標系（1）用和表示點的坐標；（2）設，若，求常數(shù)的值；（3）記到平面的距離為.求證：若關于的方程在上恰有兩個不同的解，則這兩個解中至少有一個大于.參考答案一?填空題1.2.3.114.-105.6.-17.1128.59.10.11.12.二?選擇題13.A14.D15.D16.B三?解答題17.（1），點即，故切線方程為.（2）令，得駐點為可知函數(shù)在區(qū)間上的最大值是，最小值是1.18.（1）建立如圖空間直角坐標系，可得點的坐標，故，易知，是平面的一個法向量，設直線與平面所成角的大小為，則，所以，直線與平面所成角的大小為.（2）設是平面的法向量，即不妨取，得到平面的一個法向量故平面與平面所成的二面角是與.19.（1）對求導，得，令，解得，即有唯一駐點，當時，，函數(shù)嚴格減，當時，，函數(shù)嚴格增，因此，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）設，求使得關于的不等式在恒成立，即求使得在上的最小值非負，，令知在上有唯一駐點.當.時，.，函數(shù)嚴格減，當時，，函數(shù)嚴格增，當時，在上的最小值，由，解得，故.當時，在上的最小值，由，有，解得，故.綜上，的取值范圍為.20.（1），故.（2）由得，又知，取，可知.（3）展開式的第項的系數(shù)，由，知（注：），下分三種情況討論：當時，，當時，成立，即；當時，成立，即；當時，，當時，成立，即；當時，成立，即；當時，成立，即；當時，，當時，成立，即；當時，成立，即；綜上，當時，第81項的系數(shù)最大；當時，第81項?第82項的系數(shù)相等且最大；當時，第82項的系數(shù)最大.21.（1）.（2）又是銳角，知