第二章附錄拉氏變換

第二章附錄拉氏變換第1頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一.拉氏變換1.定義：設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)t≥0時(shí)有定義，而且積分存在，則稱F(s)是f(t)的拉普拉斯變換。簡(jiǎn)稱拉氏變換。記為f(t)稱為F(s)的拉氏逆變換。記為：第2頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.常用函數(shù)的拉氏變換

單位階躍函數(shù)1(t)10tf(t)單位階躍函數(shù)第3頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

指數(shù)函數(shù)（a為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)0tf(t)1第4頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

正弦函數(shù)與余弦函數(shù)正弦及余弦函數(shù)10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-1由歐拉公式，有：

第5頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三從而：同理：第6頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

單位脈沖函數(shù)(t)0tf(t)單位脈沖函數(shù)1由洛必達(dá)法則：所以：第7頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）10tf(t)單位速度函數(shù)1第8頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

單位加速度函數(shù)單位加速度函數(shù)0tf(t)函數(shù)的拉氏變換及反變換通常可以由拉氏變換表直接或通過(guò)一定的轉(zhuǎn)換得到。

第9頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三幾個(gè)重要的拉氏變換f(t)F(s)f(t)F(s)δ(t)1sinwt1(t)1/scoswtt1/(s+a)第10頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.拉氏變換的基本性質(zhì)

(1)線性性質(zhì)原函數(shù)之和的拉氏變換等于各原函數(shù)的拉氏變換之和。(2)微分性質(zhì)

若，則有f(0)為原函數(shù)f(t)在t=0時(shí)的初始值。第11頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三證：根據(jù)拉氏變換的定義有

原函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換依次類(lèi)推，可以得到原函數(shù)n階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換第12頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(3)積分性質(zhì)若則式中為積分當(dāng)t=0時(shí)的值。證：設(shè)則有由上述微分定理，有第13頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三即：同理，對(duì)f(t)的二重積分的拉氏變換為若原函數(shù)f(t)及其各重積分的初始值都等于0則有即原函數(shù)f(t)的n重積分的拉氏變換等于其象函數(shù)除以。第14頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（4）.終值定理原函數(shù)的終值等于其象函數(shù)乘以s的初值。證：由微分定理，有等式兩邊對(duì)s趨向于0取極限第15頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三注：若時(shí)f(t)極限不存在，則不能用終值定理。如對(duì)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)就不能應(yīng)用終值定理。(5)初值定理：證明方法同上。只是要將取極限。(6)位移定理：a.實(shí)域中的位移定理，若原函數(shù)在時(shí)間上延遲，則其象函數(shù)應(yīng)乘以第16頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三b.復(fù)域中的位移定理，象函數(shù)的自變量延遲a，原函數(shù)應(yīng)乘以即：(7)時(shí)間比例尺定理原函數(shù)在時(shí)間上收縮（或展寬）若干倍，則象函數(shù)及其自變量都增加（或減?。┩瑯颖稊?shù)。即：證：第17頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(8)卷積定理兩個(gè)原函數(shù)的卷積的拉氏變換等于兩個(gè)象函數(shù)的乘積。即證明：第18頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

第19頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二.拉氏反變換1.定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)的運(yùn)算稱為拉氏反變換。記為。由F(s)可按下式求出式中C是實(shí)常數(shù)，而且大于F(s)所有極點(diǎn)的實(shí)部。

直接按上式求原函數(shù)太復(fù)雜，一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但F(s)必須是一種能直接查到的原函數(shù)的形式。第20頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將F(s)展開(kāi)成若干部分分式之和，而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。例1：例2：求的逆變換。解：第21頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3.第22頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.拉式反變換——部分分式展開(kāi)式的求法（1）情況一:F(s)有不同極點(diǎn),這時(shí),F(s)總能展開(kāi)成如下簡(jiǎn)單的部分分式之和第23頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第24頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第25頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（2）情況2:F(s)有共軛極點(diǎn)例2：求解微分方程第26頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（3）情況3:F(s)有重極點(diǎn),假若F(s)有L重極點(diǎn),而其余極點(diǎn)均不相同。那么第27頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第28頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第29頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第30頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三如果不記公式,可用以下方法求解也可得解。第31頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三.傳遞函數(shù)1.定義：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換的比值叫該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，用G(s)表示。設(shè)線性定常系統(tǒng)（元件）的微分方程是第32頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三c(t)為系統(tǒng)的輸出，r(t)為系統(tǒng)輸入，則零初始條件下，對(duì)上式兩邊取拉氏變換，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：分母中S的最高階次n即為系統(tǒng)的階次。第33頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

因?yàn)榻M成系統(tǒng)的元部件或多或少存在慣性，所以G(s)的分母次數(shù)大于等于分子次數(shù)，即,若m>n,我們就說(shuō)這是物理不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。第34頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.性質(zhì)(1)傳遞函數(shù)與微分方程一一對(duì)應(yīng)。(2)傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)特性。（傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與輸入和初始條件等外部因素?zé)o關(guān)，可見(jiàn)傳遞函數(shù)有效地描述了系統(tǒng)的固有特性。）(3)只能描述線性定常系統(tǒng)與單輸入單輸出系統(tǒng)，且內(nèi)部許多中間變量的變化情況無(wú)法反映。(4)如果存在零極點(diǎn)對(duì)消情況，傳遞函數(shù)就不能正確反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性了。(5)只能反映零初始條件下輸入信號(hào)引起的輸出，不能反映非零初始條件引起的輸出。第35頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1：RC電路如圖所示依據(jù)：基爾霍夫定律消去中間變量，則微分方程為：第36頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三可用方框圖表示例2.雙T網(wǎng)絡(luò)對(duì)上式進(jìn)行零初始條件下的拉氏變換得：第37頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：方法一：根據(jù)基爾霍夫定理列出下列微分方程組：方程組兩邊取零初始條件下的拉氏變換得：第38頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第39頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三方法二：用復(fù)阻抗比：第40頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三注意：雙T網(wǎng)絡(luò)不可看成兩個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)，即：第41頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三與雙T網(wǎng)絡(luò)相比少一個(gè)交叉項(xiàng)R1C2S，這就是負(fù)載效應(yīng)，因此雙T網(wǎng)絡(luò)不能孤立地分開(kāi)，必須作為一個(gè)整體來(lái)求傳遞函數(shù)。當(dāng)后一個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)接到C1兩端時(shí)，u2已不再是原來(lái)的u2，也就是說(shuō)R1中的電流=C1中的電流+R2中電流，不再等于C1中的電流。只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)RC網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載阻抗為無(wú)窮大時(shí)，雙T網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)才等于兩個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)。第42頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3：位置隨動(dòng)系統(tǒng)