高中數(shù)學(xué)等差數(shù)列教案新人教B版必修課件

2．2.1等差數(shù)列整體設(shè)計教學(xué)分析本節(jié)課將探究一類特殊的數(shù)列——等差數(shù)列．本節(jié)課支配2課時，第1課時是在生活中詳細(xì)例子的基礎(chǔ)上引出等差數(shù)列的概念，接著用不完全歸納法歸納出等差數(shù)列的通項公式，最終依據(jù)這個公式去進(jìn)行有關(guān)計算．第2課時主要是讓學(xué)生明確等差中項的概念，進(jìn)一步嫻熟駕馭等差數(shù)列的通項公式與其推導(dǎo)的公式，并能通過通項公式與圖象相識等差數(shù)列的性質(zhì)．讓學(xué)生明白一個數(shù)列的通項公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，使學(xué)生學(xué)會用圖象與通項公式的關(guān)系解決某些問題．在學(xué)法上，引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想、探究，同時激勵學(xué)生大膽質(zhì)疑，學(xué)會探究．在問題探究過程中，先從視察入手，發(fā)覺問題的特點(diǎn)，形成解決問題的初步思路，然后用歸納方法進(jìn)行摸索，提出猜想，最終采納證明方法(或舉反例)來檢驗所提出的猜想．其中例1是鞏固定義，例2到例5是等差數(shù)列通項公式的敏捷運(yùn)用．在教學(xué)過程中，應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，充分調(diào)動學(xué)生的主動性，盡可能讓學(xué)生經(jīng)驗學(xué)問的形成和發(fā)展過程，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)愛好，發(fā)揮他們的主觀能動性與其在教學(xué)過程中的主體地位．使學(xué)生相識到生活離不開數(shù)學(xué)，同樣數(shù)學(xué)也是離不開生活的．學(xué)會在生活中挖掘數(shù)學(xué)問題，解決數(shù)學(xué)問題，使數(shù)學(xué)生活化，生活數(shù)學(xué)化．?dāng)?shù)列在整個中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中處于一個學(xué)問匯合點(diǎn)的地位，很多學(xué)問都與數(shù)列有著親密聯(lián)系，過去學(xué)過的數(shù)、式、方程、函數(shù)、簡易邏輯等學(xué)問在這一章均得到了較為充分的應(yīng)用，而學(xué)習(xí)數(shù)列又為后面學(xué)習(xí)數(shù)列與函數(shù)的極限等內(nèi)容作了鋪墊．教材實行將代數(shù)、幾何打通的混編體系的主要目的是強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)問的內(nèi)在聯(lián)系，而數(shù)列正是在將各學(xué)問溝通方面發(fā)揮了重要作用．因此本節(jié)內(nèi)容是培育學(xué)生視察問題、啟發(fā)學(xué)生思索問題的好素材．三維目標(biāo)1．通過實例理解等差數(shù)列的概念，通過生活中的實例抽象出等差數(shù)列模型，讓學(xué)生相識到這一類數(shù)列是現(xiàn)實世界中大量存在的數(shù)列模型．同時經(jīng)驗由發(fā)覺幾個詳細(xì)數(shù)列的等差關(guān)系，歸納出等差數(shù)列的定義的過程．2．探究并駕馭等差數(shù)列的通項公式，由等差數(shù)列的概念，通過歸納或迭加或迭代的方式探究等差數(shù)列的通項公式．通過與一次函數(shù)的圖象類比，探究等差數(shù)列的通項公式的圖象特征與一次函數(shù)之間的聯(lián)系．3．通過對等差數(shù)列的探討，使學(xué)生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點(diǎn)，加強(qiáng)理論聯(lián)系實際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愛好．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項公式，等差中項與性質(zhì)，會用公式解決一些簡潔的問題．教學(xué)難點(diǎn)：概括通項公式推導(dǎo)過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，以與從函數(shù)、方程的觀點(diǎn)看通項公式，并會解決一些相關(guān)的問題．課時支配2課時教學(xué)過程第1課時導(dǎo)入新課思路1.(干脆導(dǎo)入)老師引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)過的數(shù)列的概念以與通項公式，可有意識地在黑板上(或課件中)出示幾個數(shù)列，如：數(shù)列1,2,3，…，數(shù)列0,0,0，…，數(shù)列0,2,4,6，…等，然后干脆引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的實例，不知不覺中就已經(jīng)進(jìn)入了新課．思路2.(類比導(dǎo)入)老師首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)上節(jié)課所學(xué)的數(shù)列的概念與通項公式，使學(xué)生明白我們現(xiàn)在要探討的就是一列數(shù)．由此我們聯(lián)想：在初中我們學(xué)習(xí)了實數(shù)，探討了它的一些運(yùn)算與性質(zhì)，則我們能不能也像探討實數(shù)一樣，來探討它的項與項之間的關(guān)系、運(yùn)算和性質(zhì)呢？由此導(dǎo)入新課．推動新課\b\\\\(\a\4\\1(新知探究))\b\\\\(\a\4\\1(提出問題))1回憶數(shù)列的概念，數(shù)列都有哪幾種表示方法？2閱讀教科書本節(jié)內(nèi)容中的①②③3個背景實例，熟識生活中常見現(xiàn)象，寫出由3個實例所得到的數(shù)列.3視察數(shù)列①②③，它們有什么共同特點(diǎn)？4依據(jù)數(shù)列①②③的特征，每人能再舉出2個與其特征相同的數(shù)列嗎？5什么是等差數(shù)列？怎樣理解等差數(shù)列？其中的關(guān)鍵字詞是什么？6數(shù)列①②③存在通項公式嗎？假如存在，分別是什么？7等差數(shù)列的通項公式是什么？怎樣推導(dǎo)？活動：老師引導(dǎo)學(xué)生回憶上節(jié)課所學(xué)的數(shù)列與其簡潔表示法——列表法、通項公式、遞推公式、圖象法，這些方法從不同角度反映了數(shù)列的特點(diǎn)．然后引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的實例模型，指導(dǎo)學(xué)生寫出這3個模型的數(shù)列：①22,22.5,23,23.5,24,24.5，…；②2,9,16,23,30；③89,83,77,71,65,59,53,47.這是由日常生活中常常遇到的實際問題中得到的數(shù)列．視察這3個數(shù)列發(fā)覺，每個數(shù)列中相鄰的后項減前項都等于同一個常數(shù)．當(dāng)然這里我們是拿后項減前項，其實前項減后項也是一個常數(shù)，為了后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)便利，這個依次不能顛倒．至此學(xué)生會相識到，具備這個特征的數(shù)列模型在生活中有很多，如上節(jié)提到的堆放鋼管的數(shù)列為100,99,98,97，…，某體育場一角的看臺的座位排列：第一排15個座位，向后依次為17,19,21,23，…，等等．以上這些數(shù)列的共同特征是：從第2項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數(shù)(即等差)．這就是我們這節(jié)課要探討的主要內(nèi)容．老師先讓學(xué)生試著用自己的語言描述其特征，然后給出等差數(shù)列的定義．等差數(shù)列的定義：一般地，假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示．老師引導(dǎo)學(xué)生理解這個定義：這里公差d肯定是由后項減前項所得，若前項減后項則為－d，這就是為什么前面3個模型的分析中總是說后項減前項而不說前項減后項的緣由．明顯3個模型數(shù)列都是等差數(shù)列，公差依次為0.5,7，－6.老師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析等差數(shù)列定義中的關(guān)鍵字是什么？(學(xué)生在學(xué)習(xí)中常常遇到一些概念，能否抓住定義中的關(guān)鍵字，是能否正確、深化地理解和駕馭概念的重要條件，這是學(xué)好數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的重要一環(huán)．因此老師應(yīng)當(dāng)教會學(xué)生如何深化理解一個概念，以培育學(xué)生分析問題、相識問題的實力)這里“從其次項起”和“同一個常數(shù)”是等差數(shù)列定義中的核心部分．用遞推公式可以這樣描述等差數(shù)列的定義：對于數(shù)列{}，若－－1＝d(d是與n無關(guān)的常數(shù)或字母)，n≥2，n∈N*，則此數(shù)列是等差數(shù)列．這是證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的常用方法．點(diǎn)撥學(xué)生留意這里的“n≥2”，若n包括1，則數(shù)列是從第1項向前減，明顯無從減起．若n從3起先，則會漏掉a2－a1的差，這也不符合定義，如數(shù)列1,3,4,5,6，明顯不是等差數(shù)列，因此要從意義上深刻理解等差數(shù)列的定義．老師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)列①②③的通項公式，學(xué)生依據(jù)已經(jīng)學(xué)過的數(shù)列通項公式的定義，視察每一數(shù)列的項與序號之間的關(guān)系會很快寫出：①＝21.5＋0.5n，②＝7n－5，③＝－6n＋95.以上這幾個通項公式有共同的特點(diǎn)，無論是在求解方法上，還是在所求的結(jié)果方面都存在很多共性．老師點(diǎn)撥學(xué)生探求，對隨意等差數(shù)列a1，a2，a3，…，，…，依據(jù)等差數(shù)列的定義都有：a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，所以a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d.學(xué)生很簡潔猜想出等差數(shù)列的通項公式＝a1＋(n－1)d后，老師適時點(diǎn)明：我們歸納出的公式只是一個猜想，嚴(yán)格的證明須要用到后面的其他學(xué)問．老師可就此進(jìn)一步點(diǎn)撥學(xué)生：數(shù)學(xué)猜想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中是很重要的思索方法，后面還要特地探究它．?dāng)?shù)學(xué)中有很多聞名的猜想，如哥德巴赫猜想常被稱為數(shù)學(xué)皇冠上的明珠，對于它的證明中國已處于世界領(lǐng)先地位．很多聞名的數(shù)學(xué)結(jié)論都是從猜想起先的．但要留意，數(shù)學(xué)猜想僅是一種數(shù)學(xué)想象，在未得到嚴(yán)格的證明前不能當(dāng)作正確的結(jié)論來用．這里我們歸納猜想的等差數(shù)列的通項公式＝a1＋(n－1)d是經(jīng)過嚴(yán)格證明白的，只是現(xiàn)在我們學(xué)問受限，無法證明，所以說我們先承認(rèn)它．激勵學(xué)生只要創(chuàng)新探究，獨(dú)立思索，也會有自己的新穎 發(fā)覺．老師依據(jù)教學(xué)實際狀況，也可引導(dǎo)學(xué)生得出等差數(shù)列通項公式的其他推導(dǎo)方法．例如：方法一(疊加法)：∵{}是等差數(shù)列，∴－－1＝d，－1－－2＝d，－2－－3＝d，a2－a1＝d.兩邊分別相加得－a1＝(n－1)d，所以＝a1＋(n－1)d，方法二(迭代法)：{}是等差數(shù)列，則有＝－1＋d，＝－2＋d＋d＝－2＋2d＝－3＋d＋2d＝－3＋3d＝a1＋(n－1)d.所以＝a1＋(n－1)d.探討結(jié)果：(1)～(4)略．(5)假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．其中關(guān)鍵詞為“從第2項起”、“等于同一個常數(shù)”．(6)三個數(shù)列都有通項公式，它們分別是：＝21.5＋0.5n，＝7n－5，＝－6n＋95.(7)可用疊加法和迭代法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式：＝a1＋(n－1)d.\b\\\\(\a\4\\1(應(yīng)用示例))例1(教材本節(jié)例2)活動：本例的目的是讓學(xué)生熟識公式，使學(xué)生從中體會公式與方程之間的聯(lián)系．教學(xué)時要使學(xué)生相識到等差數(shù)列的通項公式其實就是一個關(guān)于、a1、d、n(獨(dú)立的量有3個)的方程，以便于學(xué)生能把方程思想和通項公式相結(jié)合，解決等差數(shù)列問題．本例中的(2)是推斷一個數(shù)是否是某等差數(shù)列的項．這個問題可以看作(1)的逆問題．須要向?qū)W生說明的是，求出的項數(shù)為正整數(shù)，所給數(shù)就是已知數(shù)列中的項，否則，就不是已知數(shù)列中的項．本例可由學(xué)生自己獨(dú)立解決，也可做板演之用，老師只是對有困難的學(xué)生賜予恰當(dāng)點(diǎn)撥．點(diǎn)評：在數(shù)列中，要讓學(xué)生明確解方程的思路．變式訓(xùn)練(1)100是不是等差數(shù)列2,9,16，…的項，假如是，是第幾項？假如不是，請說明理由；(2)－20是不是等差數(shù)列0，－3\f(1,2)，－7，…的項，假如是，是第幾項？假如不是，請說明理由．解：(1)由題意，知a1＝2，d＝9－2＝7.因而通項公式為＝2＋(n－1)×7＝7n－5.令7n－5＝100，解得n＝15，所以100是這個數(shù)列的第15項．(2)由題意可知a1＝0，d＝－3\f(1,2)，因而此數(shù)列的通項公式為＝－\f(7,2)n＋\f(7,2).令－\f(7,2)n＋\f(7,2)＝－20，解得n＝\f(47,7).因為－\f(7,2)n＋\f(7,2)＝－20沒有正整數(shù)解，所以－20不是這個數(shù)列的項．例2一個等差數(shù)列首項為\f(1,25)，公差d＞0，從第10項起每一項都比1大，求公差d的范圍．活動：老師引導(dǎo)學(xué)生視察題意，思索條件“從第10項起每一項都比1大”的含義，應(yīng)轉(zhuǎn)化為什么數(shù)學(xué)條件？是否僅是a10＞1呢？d＞0的條件又說明什么？老師可讓學(xué)生合作探究，放手讓學(xué)生探討，不要怕學(xué)生出錯．解：∵d＞0，設(shè)等差數(shù)列為{}，則有a1＜a2＜a3＜…＜a9＜a10＜a11＜…，由題意，得\b\\{\\(\a\4\\1(1＜a10＜a11＜…，1＜a2＜…＜a9≤1，))即\b\\{\\(\a\4\\1(a10＞19≤1))\b\\{\\(\a\4\\1(\f(1,25)＋10－1d＞1，,\f(1,25)＋9－1d≤1，))解得\f(8,75)＜d≤\f(3,25).點(diǎn)評：本例學(xué)生很簡潔解得不完整，解完此題后讓學(xué)生反思解題過程．本題主要訓(xùn)練學(xué)生敏捷運(yùn)用等差數(shù)列的通項公式以與對公差的深刻理解．變式訓(xùn)練在數(shù)列{}中，已知a1＝1，\f(1＋1)＝\f(1)＋\f(1,3)(n∈N*)，求a50.解：已知條件可化為\f(1＋1)－\f(1)＝\f(1,3)(n∈N*)，由等差數(shù)列的定義，知{\f(1)}是首項為\f(11)＝1，公差為d＝\f(1,3)的等差數(shù)列，∴\f(150)＝1＋(50－1)×\f(1,3)＝\f(52,3).∴a50＝\f(3,52).例3已知數(shù)列{}的通項公式＝＋q，其中p、q是常數(shù)，則這個數(shù)列是否肯定是等差數(shù)列？若是，首項與公差分別是什么？活動：要判定{}是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，依據(jù)－－1(n＞1)是不是一個與n無關(guān)的常數(shù)．這事實上給出了推斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列的一個方法：假如一個數(shù)列的通項公式是關(guān)于正整數(shù)的一次型函數(shù)，則這個數(shù)列必定是等差數(shù)列．因而把等差數(shù)列通項公式與一次函數(shù)聯(lián)系了起來．本例設(shè)置的“旁注”，目的是為了揭示等差數(shù)列通項公式的結(jié)構(gòu)特征：對于通項公式形如＝＋q的數(shù)列，肯定是等差數(shù)列，一次項系數(shù)p就是這個等差數(shù)列的公差，首項是p＋q.因此可以深化學(xué)生對等差數(shù)列的理解，同時還可以從多個角度去看待等差數(shù)列的通項公式，有利于以后更好地把握等差數(shù)列的性質(zhì)．在教學(xué)時老師要依據(jù)學(xué)生解答的狀況，點(diǎn)明這點(diǎn)．解：當(dāng)n≥2時，〔取數(shù)列{}中的隨意相鄰兩項－1與(n≥2)〕－－1＝(＋q)－[p(n－1)＋q]＝＋q－(－p＋q)＝p為常數(shù)，所以{}是等差數(shù)列，首項a1＝p＋q，公差為p.點(diǎn)評：(1)若p＝0，則{}是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q，q，q，….(2)若p≠0，則是關(guān)于n的一次式，從圖象上看，表示數(shù)列的各點(diǎn)(n，)均在一次函數(shù)y＝＋q的圖象上，一次項的系數(shù)是公差p，直線在y軸上的截距為q.(3)數(shù)列{}為等差數(shù)列的充要條件是其通項＝＋q(p、q是常數(shù))，稱其為第3通項公式．變式訓(xùn)練已知數(shù)列的通項公式＝6n－1.問這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？若是等差數(shù)列，其首項與公差分別是多少？解：∵＋1－＝[6(n＋1)－1]－(6n－1)＝6(常數(shù))，∴{}是等差數(shù)列，其首項為a1＝6×1－1＝5，公差為6.點(diǎn)評：該訓(xùn)練題的目的是進(jìn)一步熟識例3的內(nèi)容．須要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)，若用－－1＝d，則必需強(qiáng)調(diào)n≥2這一前提條件，若用＋1－＝d，則可不對n進(jìn)行限制．\b\\\\(\a\4\\1(知能訓(xùn)練))1．(1)求等差數(shù)列8,5,2，…的第20項；(2)－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13，…的項？假如是，是第幾項？2．求等差數(shù)列3,7,11，…的第4項與第10項．答案：1．解：(1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得這個數(shù)列的通項公式為＝－5－4(n－1)＝－4n－1.由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得－401＝－4n－1成立．解這個關(guān)于n的方程，得n＝100，即－401是這個數(shù)列的第100項．2．解：依據(jù)題意可知a1＝3，d＝7－3＝4.∴該數(shù)列的通項公式為＝3＋(n－1)×4，即＝4n－1(n≥1，n∈N*)．∴a4＝4×4－1＝15，a10＝4×10－1＝39.\b\\\\(\a\4\\1(課堂小結(jié)))1．先由學(xué)生自己總結(jié)回顧這節(jié)課都學(xué)習(xí)了哪些學(xué)問？要留意的是什么？都用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？你在這節(jié)課里最大的收獲是什么？2．老師進(jìn)一步集中強(qiáng)調(diào)，本節(jié)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容是等差數(shù)列的定義與通項公式，等差數(shù)列的基本性質(zhì)是“等差”．這是我們探討有關(guān)等差數(shù)列的主要動身點(diǎn)，是推斷、證明一個數(shù)列是否為等差數(shù)列和解決其他問題的一種基本方法，要留意這里的“等差”是對隨意相鄰兩項來說的．\b\\\\(\a\4\\1(作業(yè)))習(xí)題2—2A組1、2.設(shè)計感想本教案設(shè)計突出了重點(diǎn)概念的教學(xué)，突出了等差數(shù)列的定義和對通項公式的相識與應(yīng)用．等差數(shù)列是特殊的數(shù)列，定義恰恰是其特殊性也是本質(zhì)屬性的精確反映和高度概括，精確地把握定義是正確相識等差數(shù)列，解決相關(guān)問題的前提條件．通項公式是項與項數(shù)的函數(shù)關(guān)系，是探討一個數(shù)列的重要工具．因為等差數(shù)列的通項公式的結(jié)構(gòu)與一次函數(shù)的解析式親密相關(guān)，因此通過函數(shù)圖象探討數(shù)列性質(zhì)成為可能．本教案設(shè)計突出了教法學(xué)法與新課程理念的接軌，引導(dǎo)綜合運(yùn)用視察、歸納、猜想、證明等方法探討數(shù)學(xué)，這是一種特別重要的學(xué)習(xí)方法；在問題探究求解中，常常是先從視察入手，發(fā)覺問題的特點(diǎn)，形成解決問題的初步思路，然后用歸納方法進(jìn)行摸索，提出猜想，最終采納證明方法(或舉反例)來檢驗所提出的猜想．本教案設(shè)計突出了發(fā)散思維的訓(xùn)練．通過一題多解，多題一解的訓(xùn)練，比較優(yōu)劣，換個角度視察問題，這是數(shù)學(xué)發(fā)散思維的基本素養(yǎng)．只有在學(xué)習(xí)過程中有意識地將學(xué)問遷移、組合、融合，激發(fā)新穎 心，體驗多樣性，學(xué)懂學(xué)透，融會貫穿，創(chuàng)新思維才能與日俱增．(設(shè)計者：周長峰)第2課時導(dǎo)入新課思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)上一節(jié)課我們探討了數(shù)列中的一個重要概念——等差數(shù)列的定義，讓學(xué)生回憶這個定義，并舉出幾個等差數(shù)列的例子．接著老師引導(dǎo)學(xué)生探究自己所舉等差數(shù)列例子中項與項之間有什么新的發(fā)覺？比如，在同一個等差數(shù)列中，與某一項“距離”相等的兩項的和會是什么呢？由此綻開新課．思路2.(干脆導(dǎo)入)老師先引導(dǎo)學(xué)生回顧上一節(jié)所學(xué)的內(nèi)容：等差數(shù)列的定義以與等差數(shù)列的通項，之后干脆提出等差中項的概念讓學(xué)生探究，由此而綻開新課．推動新課\b\\\\(\a\4\\1(新知探究))\b\\\\(\a\4\\1(提出問題))\a\4\(1請學(xué)生回憶上節(jié)課學(xué)習(xí)的等差數(shù)列的定義，如何證明一個數(shù)列是等差數(shù)列？,2等差數(shù)列的通項公式是怎樣得出來的？它與一次函數(shù)有什么關(guān)系？,3什么是等差中項？怎樣求等差中項？,4依據(jù)等差中項的概念，你能探究出哪些重要結(jié)論呢？)活動：借助課件，老師引導(dǎo)學(xué)生先回憶等差數(shù)列的定義，一般地，假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，即－－1＝d(n≥2，n∈N*)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差(通常用字母“d”表示)．再一起回顧通項公式，等差數(shù)列{}有兩種通項公式：＝＋(n－m)d或＝＋q(p、q是常數(shù))．由上面的兩個公式我們還可以得到下面幾種計算公差d的方法：①d＝－－1；②d＝\f(－a1－1)；③d＝\f(－－m).對于通項公式的探究，我們用歸納、猜想得出了通項公式，后又用疊加法與迭代法推導(dǎo)了通項公式．老師指導(dǎo)學(xué)生閱讀課本等差中項的概念，引導(dǎo)學(xué)生探究：假如我們在數(shù)a與數(shù)b中間插入一個數(shù)A，使三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則數(shù)A應(yīng)滿意什么樣的條件呢？由定義可得A－a＝b－A，即A＝\f(a＋b,2).反之，若A＝\f(a＋b,2)，則A－a＝b－A，由此可以得A＝\f(a＋b,2)a，A，b成等差數(shù)列．由此我們得出等差中項的概念：假如三個數(shù)x，A，y組成等差數(shù)列，則A叫做x和y的等差中項．假如A是x和y的等差中項，則A＝\f(x＋y,2).依據(jù)我們前面的探究不難發(fā)覺，在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等差中項．如數(shù)列：1,3,5,7,9,11,13…中5是3與7的等差中項，也是1和9的等差中項．9是7和11的等差中項，也是5和13的等差中項．等差中項與其應(yīng)用問題的解法關(guān)鍵在于抓住a，A，b成等差數(shù)列2A＝a＋b，以促成將等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為目標(biāo)量間的等量關(guān)系或干脆由a，A，b間的關(guān)系證得a，A，b成等差數(shù)列．依據(jù)等差中項的概念我們來探究這樣一個問題：如上面的數(shù)列1,3,5,7,9,11,13，…中，我們知道2a5＝a3＋a7＝a1＋a9＝a2＋a8，則你能發(fā)覺什么規(guī)律呢？再驗證一下，結(jié)果有a2＋a10＝a3＋a9＝a4＋a8＝a5＋a7＝2a6.由此我們猜想這個規(guī)律可推廣到一般，即在等差數(shù)列{}中，若m、n、p、q∈N*且m＋n＝p＋q，則＋＝＋，這個猜想與上節(jié)的等差數(shù)列的通項公式的猜想方法是一樣的，是我們歸納出來的，沒有嚴(yán)格證明，不能說它就肯定是正確的．讓學(xué)生進(jìn)一步探究怎樣證明它的正確性呢？只要運(yùn)用通項公式加以轉(zhuǎn)化即可．設(shè)首項為a1，則＋＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d，＋＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1＋(p＋q－2)d.因為我們有m＋n＝p＋q，所以上面兩式的右邊相等，所以＋＝＋.由此我們的一個重要結(jié)論得到了證明：在等差數(shù)列{}的各項中，與首末兩項等距離的兩項的和等于首末兩項的和．另外，在等差數(shù)列中，若m＋n＝p＋q，則上面兩式的右邊相等，所以＋＝＋.同樣地，我們還有：若m＋n＝2p，則＋＝2.這也是等差中項的內(nèi)容．我們自然會想到由＋＝＋能不能推出m＋n＝p＋q呢？舉個反例，這里舉個常數(shù)列就可以說明結(jié)論不成立．這說明在等差數(shù)列中，＋＝＋是m＋n＝p＋q成立的必要不充分條件．由此我們還進(jìn)一步推出＋1－＝d＝＋2－＋1，即2＋1＝＋＋2，這也是證明等差數(shù)列的常用方法．同時我們通過這個探究過程明白：若要說明一個猜想正確，必需經(jīng)過嚴(yán)格的證明，若要說明一個猜想不正確，僅舉一個反例即可．探討結(jié)果：(1)(2)略．(3)假如三個數(shù)x，A，y成等差數(shù)列，則A叫做x和y的等差中項，且A＝\f(x＋y,2).(4)得到兩個重要結(jié)論：①在數(shù)列{}中，若2＋1＝＋＋2(n∈N*)，則{}是等差數(shù)列．②在等差數(shù)列中，若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，則＋＝＋.\b\\\\(\a\4\\1(應(yīng)用示例))例1在等差數(shù)列{}中，若a1＋a6＝9，a4＝7，求a3，a9.活動：本例是一道基本量運(yùn)算題，運(yùn)用方程思想可由已知條件求出a1，d，進(jìn)而求出通項公式，則a3，a9不難求出．應(yīng)要求學(xué)生駕馭這種解題方法，理解數(shù)列與方程的關(guān)系．解：由已知，得\b\\{\\(\a\4\\1(a1＋a1＋5d＝9，1＋3d＝7，))解得\b\\{\\(\a\4\\1(a1＝－8，＝5.))∴通項公式為＝a1＋(n－1)d＝－8＋5(n－1)＝5n－13.∴a3＝2，a9＝32.點(diǎn)評：本例解法是數(shù)列問題的基本運(yùn)算，應(yīng)要求學(xué)生嫻熟駕馭，當(dāng)然對學(xué)有余力的同學(xué)來說，老師可引導(dǎo)探究一些其他解法，如a1＋a6＝a4＋a3＝9.∴a3＝9－a4＝9－7＝2.由此可得d＝a4－a3＝7－2＝5.∴a9＝a4＋5d＝32.點(diǎn)評：這種解法奇妙，技巧性大，需對等差數(shù)列的定義與重要結(jié)論有深刻的理解．變式訓(xùn)練已知數(shù)列{}對隨意的p，q∈N*滿意＋q＝＋，且a2＝－6，則a10等于()A．－165B．－33C．－30D．－21答案：C解析：依題意知，a2＝a1＋a1＝2a1，a1＝\f(1,2)a2＝－3，＋1＝＋a1＝－3，可知數(shù)列{}是等差數(shù)列，a10＝a1＋9d＝－3－9×3＝－30.例2(教材本節(jié)例5)活動：本例是等差數(shù)列通項公式的敏捷運(yùn)用．正如邊注所說，相當(dāng)于已知直線過點(diǎn)(1,17)，斜率為－0.6，求直線在x軸下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．可放手讓學(xué)生完成本例．變式訓(xùn)練等差數(shù)列{}的公差d＜0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，則數(shù)列{}的通項公式是…()A．＝2n－2(n∈N*)B．＝2n＋4(n∈N*)C．＝－2n＋12(n∈N*)D．＝－2n＋10(n∈N*)答案：D解析：由題意知\b\\{\\(\a\4\\1(a2·a4＝122＋a4＝8＜0))\b\\{\\(\a\4\\1(a2＝64＝2))\b\\{\\(\a\4\\1(a1＝8，＝－2，))所以由＝a1＋(n－1)d，得＝8＋(n－1)(－2)＝－2n＋10.例3已知a、b、c成等差數(shù)列，則a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差數(shù)列？活動：老師引導(dǎo)學(xué)生思索a、b、c成等差數(shù)列可轉(zhuǎn)化為什么形式的等式？本題的關(guān)鍵是考察在a＋c＝2b的條件下，是否有以下結(jié)果：a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(a＋c)．老師可讓學(xué)生自己探究完成，必要時賜予恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥．解：∵a、b、c成等差數(shù)列，∴a＋c＝2b.又∵a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)＝a2b＋a2c＋2＋2－2b2c－＝(a2b－22)＋(2－2b2c)＋(a2c＋＝(a－2b)＋(c－2b)＋(a＋c)＝－－＋2＝0，∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(a＋c)．∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差數(shù)列．點(diǎn)評：假如a、b、c成等差數(shù)列，常轉(zhuǎn)化為a＋c＝2b的形式，反之，假如求證a、b、c成等差數(shù)列，常改證a＋c＝2b.有時還需運(yùn)用一些等價變形技巧，才能獲得勝利．例4在－1與7之間順次插入三個數(shù)a、b、c，使這五個數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列．活動：老師引導(dǎo)學(xué)生從不同角度加以考慮：一是利用等差數(shù)列的定義與通項；一是利用等差中項加以處理．讓學(xué)生自己去探究，老師一般不要賜予提示，對個別探究有困難的學(xué)生可適時地給以點(diǎn)撥、提示．解：(方法一)設(shè)這些數(shù)組成的等差數(shù)列為{}，由已知，a1＝－1，a5＝7，∴7＝－1＋(5－1)d，即d＝2.∴所求的數(shù)列為－1,1,3,5,7.(方法二)∵－1，a，b，c,7成等差數(shù)列，∴b是－1,7的等差中項，a是－1，b的等差中項，c是b,7的等差中項，即b＝\f(－1＋7,2)＝3，a＝\f(－1＋b,2)＝1，c＝\f(b＋7,2)＝5.∴所求數(shù)列為－1,1,3,5,7.點(diǎn)評：通過此題可以看出，應(yīng)多角度思索，多角度視察，正像前面所提出的那樣，盡量換個角度看問題，以開闊視野，培育自己求異發(fā)散的思維實力．變式訓(xùn)練數(shù)列{}中，a3＝2，a7＝1，且數(shù)列{\f(1＋1)}是等差數(shù)列，則a11等于()A．－\f(2,5)\f(1,2)\f(2,3)D．5答案：B解析：設(shè)＝\f(1＋1)，則b3＝\f(1,3)，b7＝\f(1,2)，因為{\f(1＋1)}是等差數(shù)列，可求得公差d＝\f(1,24)，所以b11＝b7＋(11－7)d＝\f(2,3)，即a11＝\f(111)－1＝\f(1,2).例5某市出租車的計價標(biāo)準(zhǔn)為1.2元，起步價為10元，即最初的4千米(不含4千米)計費(fèi)10元．假如某人乘坐該市的出租車前往14處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，活動：老師引導(dǎo)學(xué)生從實際問題中建立數(shù)學(xué)模型．在這里也就是建立等差數(shù)列的數(shù)學(xué)模型．引導(dǎo)學(xué)生找出首項和公差，利用等差數(shù)列通項公式的學(xué)問解決實際問題．解：依據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4時，每增加1，乘客須要支付1.2元．所以，我們可以建立一個等差數(shù)列{}來計算車費(fèi)．令a1＝11.2表示4處的車費(fèi)，公差d＝1.2，則，當(dāng)出租車行至14處時，n＝11，此時須要支付車費(fèi)a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．答：須要支付車費(fèi)23.2元．點(diǎn)評：本例中令a1＝11.2，這點(diǎn)要引起學(xué)生留意，這樣一來，前往14處的目的地就相當(dāng)于n＝11，這點(diǎn)極簡潔弄錯．\b\\\\(\a\4\\1(知能訓(xùn)練))1．已知等差數(shù)列{}中，a1＋a3＋a5＋a7＝4，則a2＋a4＋a6等于()A．3B．4C．5D．62．在等差數(shù)列{}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，則a4＋a5＋a6等于()A．40B．42C．43D．45答案：1．解析：由a1＋a3＋a5＋a7＝4，知4a4＝4，即a4＝1.∴a2＋a4＋a6＝3a4＝3.答案：A2．解析：∵a2＋a3＝13，∴2a1＋3d＝13.∵a1＝2，∴d＝3.而a4＋a5＋a6＝3a5＝3(a1＋4d)＝42.答案：B\b\\\\(\a\4\\1(課堂小結(jié)))1．先由學(xué)生自己總結(jié)回顧這節(jié)課都學(xué)習(xí)了哪些學(xué)問？要留意的是什么？都用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？你是如何通過舊學(xué)問來獲得新學(xué)問的？你在這節(jié)課里最大的收獲是什么？2．老師進(jìn)一步畫龍點(diǎn)睛，本節(jié)課我們在上節(jié)課的基礎(chǔ)上又推出了兩個很重要的結(jié)論，一個是等差數(shù)列的證明方法，一個是等差數(shù)列的性質(zhì)，要留意這些重要結(jié)論的敏捷運(yùn)用．\b\\\\(\a\4\\1(作業(yè)))課本習(xí)題2—2A組5、6、7.設(shè)計感想本教案是依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)而設(shè)計的，設(shè)計的活動主要都是學(xué)生自己完成的．特殊是上節(jié)課通項公式的歸納、猜想給學(xué)生留下了很深的記憶；本節(jié)課只是接著對等差數(shù)列進(jìn)行這方面的探究．本教案除了支配教材上的兩個例題外，還針對性地選擇了既具有典型性又具有啟發(fā)性的幾道例題與變式訓(xùn)練．為了學(xué)生的課外進(jìn)一步探究，在備課資料中摘選了部分備用例題與備用習(xí)題，目的是讓學(xué)生對等差數(shù)列的有關(guān)學(xué)問作進(jìn)一步拓展探究，以開闊學(xué)生的視野．本教案的設(shè)計意圖還在于，加強(qiáng)數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系．這不僅有利于學(xué)問的融會貫穿，加深對數(shù)列的理解，運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)和方法解決有關(guān)數(shù)列的問題，而且反過來可使學(xué)生對函數(shù)的相識深化一步，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)是好玩的，探究是愉悅的，歸納猜想是令人激昂的，借此激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)愛好．備課資料一、備用例題【例1】梯子最高一級寬33，最低一級寬為110，中間還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列，計算中間各級的寬度．解：設(shè){}表示梯子自上而下各級寬度所成的等差數(shù)列，由已知條件，可知a1＝33，a12＝110，n＝12，所以a12＝a1＋(12－1)d，即得110＝33＋11d，解之，得d＝7.因此a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.答：梯子中間各級的寬度從上到下依次是40，47，54，61，68，75，82，89，96，103.【例2】已知\f(1)，\f(1)，\f(1)成等差數(shù)列，求證：\f(b＋)，\f(c＋)，\f(a＋)也成等差數(shù)列．證明：因為\f(1)，\f(1)，\f(1)成等差數(shù)列，所以\f(2)＝\f(1)＋\f(1)，化簡得2＝b(a＋c)，所以有\(zhòng)f(b＋)＋\f(a＋)＝\f(＋c2＋a2＋)＝\f(ba＋c＋a2＋c2)＝\f(2＋a2＋c2)＝\f(a＋c2)＝\f(a＋c2,\f(ba＋c,2))＝2·\f(a＋).因而\f(b＋)，\f(c＋)，\f(a＋)也成等差數(shù)列．【例3】設(shè)數(shù)列{}{}都是等差數(shù)列，且a1＝35，b1＝75，a2＋b2＝100，求數(shù)列{＋}的第37項的值．分析：由數(shù)列{}{}都是等差數(shù)列，可得{＋}是等差數(shù)列，故可求出數(shù)列{＋}的公差和通項．解：設(shè)數(shù)列{}{}的公差分別為d1，d2，則(＋1＋＋1)－(＋)＝(＋1－)＋(＋1－)＝d1＋d2為常數(shù)，所以可得{＋}是等差數(shù)列．設(shè)其公差為d，則公差d＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(35＋75)＝－10.因而a37＋b37＝110－10×(37－1)＝－250.所以數(shù)列{＋}的第37項的值為－250.點(diǎn)評：若一個數(shù)列未告知我們是等差數(shù)列時，應(yīng)先由定義法判定它是等差數(shù)列后，方可運(yùn)用通項公式＝a1＋(n－1)d.但對客觀試題則可以干脆運(yùn)用某些重要結(jié)論，干脆判定數(shù)列是否為等差數(shù)列．二、備用習(xí)題1．已知等差數(shù)列{}中，a7＋a9＝16，a4＝1，則a12的值是()A．15B．30C．31D．642．在數(shù)列{}中3＋1＝3＋2(n∈N*)，且a2＋a4＋a7＋a9＝20，則a10為()A．5B．7C．8D．103．在等差數(shù)列{}中，a1＋3a8＋a15＝120，則3a9－a11的值為()A．6B．12C．24D．484．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四個根組成一個首項為\f(1,4)的等差數(shù)列，則－等于()A．1\f(3,4)\f(1,2)\f(3,8)5．在等差數(shù)列{}中，a5＝3，a6＝－2，則a4＋a5＋…＋a10＝.6．已知a、b、c成等差數(shù)列，且a、b、c三數(shù)之和為15，若a2，b2＋9，c2也成等差數(shù)列，求a、b、c.7．設(shè)\f(1＋b)，\f(1＋c)，\f(1＋c)成等差數(shù)列，求證：a2，b2，c2也成等差數(shù)列．8．成等差數(shù)列的四個數(shù)之