高一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識點總結(jié)

高一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)問點總結(jié)1．集合2．函數(shù)3．基本初等函數(shù)4．立體幾何初步5．平面解析幾何初步6．基本初等函數(shù)7．平面對量8．三角恒等變換9．解三角形10.數(shù)列11.不等式1集合肯定范圍的，確定的，可以區(qū)分的事物，當作一個整體來看待，就叫做集合，簡稱集，其中各事物叫做集合的元素或簡稱元。如（1）阿Q正傳中出現(xiàn)的不同漢字（2）全體英文大寫字母

集合的分類:并集：以屬于A或?qū)儆贐的元素為元素的集合稱為A及B的并（集），記作A∪B（或B∪A），讀作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}

交集：以屬于A且屬于B的元素為元素的集合稱為A及B的交（集），記作A∩B（或B∩A），讀作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}

差：以屬于A而不屬于B的元素為元素的集合稱為A及B的差（集）

注:空集包含于任何集合，但不能說“空集屬于任何集合

注:空集屬于任何集合,但它不屬于任何元素.某些指定的對象集在一起就成為一個集合，含有有限個元素叫有限集，含有無限個元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做Φ。

集合的性質(zhì)：

確定性：每一個對象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能成為集合，例如“個子高的同學(xué)”“很小的數(shù)”都不能構(gòu)成集合。

互異性：集合中隨意兩個元素都是不同的對象。不能寫成{1，1，2}，應(yīng)寫成{1，2}。

無序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一個集合

集合有以下性質(zhì)：若A包含于B，則A∩B=A，A∪B=B常用數(shù)集的符號：

（1）全體非負整數(shù)的集合通常簡稱非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N

（2）非負整數(shù)集內(nèi)解除0的集，也稱正整數(shù)集，記作N+（或N*）

（3）全體整數(shù)的集合通常稱作整數(shù)集，記作Z

（4）全體有理數(shù)的集合通常簡稱有理數(shù)集，記作Q

（5）全體實數(shù)的集合通常簡稱實數(shù)集，級做R集合的運算：

1.交換律

A∩B=B∩A

A∪B=B∪A

2.結(jié)合律

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

(A∪B)∪C=A∪(B∪C)

3.安排律

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)例題已知集合A＝｛a2，a＋1，－3｝，B＝｛a－3，2a－1，a2＋1｝，且A∩B＝｛－3｝，求實數(shù)a的值．∵?A∩B＝｛－3｝∴?－3∈B．①若a－3＝－3，則a＝0，則A＝｛0，1，－3｝，B＝｛－3，－1，1｝∴?A∩B＝｛－3，1｝及∩B＝｛－3｝沖突，所以a－3≠－3．②若2a－1＝－3，則a＝－1，則A＝｛1，0，－3｝，B＝｛－4，－3，2｝此時A∩B＝｛－3｝符合題意，所以a＝－1．2函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I.

假如對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的隨意兩個自變量的值x1,x2,當x1<x2時：

（1）若總有f(x1)<f(x2),則稱函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)；

（2）若總有f(x1)>f(x2),則稱函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)。

假如函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有嚴格的單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。函數(shù)的奇偶性：在函數(shù)y=f(x)中，假如對于函數(shù)定義域內(nèi)的隨意一個x.

（1）若都有f(-x)=-f(x),則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；

（2）若都有f(-x)=f(x),則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。

假如函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是奇函數(shù)或者偶函數(shù)，那么稱函數(shù)y=f(x)在該區(qū)間上具有奇偶性。1．作法及圖形：通過如下3個步驟（1）列表；（2）描點；（3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖像及x軸和y軸的交點）

2．性質(zhì)：（1）在一次函數(shù)上的隨意一點P（x，y），都滿意等式：y=kx+b。（2）一次函數(shù)及x軸交點的坐標總是（0，b)正比例函數(shù)的圖像總是過原點。

3．k，b及函數(shù)圖像所在象限：

當k＞0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；

當k＜0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

當b＞0時，直線必通過一、二象限；當b＜0時，直線必通過三、四象限。

特殊地，當b=O時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。

這時，當k＞0時，直線只通過一、三象限；當k＜0時，直線只通過二、四象限。

自變量x和因變量y有如下關(guān)系：

y=kx+b

則此時稱y是x的一次函數(shù)。

當b=0時，y是x的正比例函數(shù)。

即：y=kx（k為常數(shù)，k≠0）例證明函數(shù)在上是增函數(shù)．1．分析解決問題

針對學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，組織學(xué)生探討、溝通．

證明：任取,

設(shè)元

求差

變形

,

斷號

∴∴即∴函數(shù)在上是增函數(shù)．定論3基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)的一般形式為y=a^x(a>0且不=1)，從上面我們對于冪函數(shù)的探討就可以知道，要想使得x能夠取整個實數(shù)集合為定義域，則只有使得

如圖所示為a的不同大小影響函數(shù)圖形的狀況。

在函數(shù)y=a^x中可以看到：

（1）指數(shù)函數(shù)的定義域為全部實數(shù)的集合，這里的前提是a大于0且不等于1，對于a不大于0的狀況，則必定使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮，

同時a等于０一般也不考慮。

（2）指數(shù)函數(shù)的值域為大于0的實數(shù)集合。

（3）函數(shù)圖形都是下凹的。

（4）a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增；a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的。

（5）可以看到一個明顯的規(guī)律，就是當a從0趨向于無窮大的過程中（當然不能等于0），函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸及X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸及X軸的負半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

（6）函數(shù)總是在某一個方向上無限趨向于X軸,永不相交。

（7）函數(shù)總是通過（0，1）這點

（8）明顯指數(shù)函數(shù)無界。

（9）指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。例1：下列函數(shù)在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)？⑴y=4^x

因為4>1，所以y=4^x在R上是增函數(shù)；

⑵y=(1/4)^x

因為0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是減函數(shù)對數(shù)函數(shù)一般地，假如a（a大于0，且a不等于1）的b次冪等于N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作logaN=b,其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。

真數(shù)式子沒根號那就只要求真數(shù)式大于零,假如有根號,要求真數(shù)大于零還要保證根號里的式子大于零，

底數(shù)則要大于0且不為1

對數(shù)函數(shù)的底數(shù)為什么要大于0且不為1

在一個一般對數(shù)式里a<0,或=1的時候是會有相應(yīng)b的值的。但是，依據(jù)對數(shù)定義:logaa=1；假如a=1或=0那么logaa就可以等于一切實數(shù)（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）其次，依據(jù)定義運算公式：logaM^n=nlogaM假如a<0,那么這個等式兩邊就不會成立（比如，log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4；一個等于1/16，另一個等于-1/16）

對數(shù)函數(shù)的一般形式為，它事實上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，可表示為x=a^y。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。

右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：

可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數(shù)。

（1）對數(shù)函數(shù)的定義域為大于0的實數(shù)集合。

（2）對數(shù)函數(shù)的值域為全部實數(shù)集合。

（3）函數(shù)總是通過（1，0）這點。

（4）a大于1時，為單調(diào)遞增函數(shù)，并且上凸；a小于1大于0時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，并且下凹。

（5）明顯對數(shù)函數(shù)無界。

對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)：

假如a〉0，且a不等于1,M>0,N>0，那么：

（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M)（n屬于R）4立體幾何初步1.1.1構(gòu)成空間幾何體的基本元素柱1.1.2棱、棱錐和棱臺的結(jié)構(gòu)特征1.1.3圓柱、圓錐和圓臺的結(jié)構(gòu)特征1.1.4投影及直觀圖1.1.5三視圖1.1.6棱柱、棱錐和棱臺的表面積1.1.7柱、錐和臺的體積棱柱表面積A=L*H+2*S,體積V=S*H

(L--底面周長,H--柱高,S--底面面積)

圓柱表面積A=L*H+2*S=2π*R*H+2π*R^2,體積V=S*H=π*R^2*H

(L--底面周長,H--柱高,S--底面面積,R--底面圓半徑)

球體表面積A=4π*R^2,體積V=4/3π*R^3

(R-球體半徑)

圓錐表面積A=1/2*s*L+π*R^2,體積V=1/3*S*H=1/3π*R^2*H

(s--圓錐母線長,L--底面周長,R--底面圓半徑,H--圓錐高)

棱錐表面積A=1/2*s*L+S,體積V=1/3*S*H

(s--側(cè)面三角形的高,L--底面周長,S--底面面積,H--棱錐高)長方形的周長=（長+寬）×2正方形a—邊長C＝4a

S＝a2長方形a和b－邊長C＝2(a+b)

S＝ab三角形a,b,c－三邊長h－a邊上的高

s－周長的一半A,B,C－內(nèi)角其中s＝(a+b+c)/2S＝ah/2＝ab/2·sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2a2sinBsinC/(2sinA)四邊形d,D－對角線長α－對角線夾角S＝dD/2·sinα

平行四邊形a,b－邊長h－a邊的高α－兩邊夾角S＝ah＝absinα

菱形a－邊長α－夾角D－長對角線長d－短對角線長S＝Dd/2

＝a2sinα梯形a和b－上、下底長h－高

m－中位線長S＝(a+b)h/2＝mhd－直徑C＝πd＝2πr

S＝πr2＝πd2/4扇形r—扇形半徑正方形的周長=邊長×4長方形的面積=長×寬

正方形的面積=邊長×邊長三角形的面積=底×高÷2平行四邊形的面積=底×高

梯形的面積=（上底+下底）×高÷2直徑=半徑×2半徑=直徑÷2圓的周長=圓周率×直徑=圓周率×半徑×2圓的面積=圓周率×半徑×半徑

長方體的表面積=（長×寬+長×高＋寬×高）×2長方體的體積=長×寬×高正方體的表面積=棱長×棱長×6正方體的體積=棱長×棱長×棱長圓柱的側(cè)面積=底面圓的周長×高

圓柱的表面積=上下底面面積+側(cè)面積圓柱的體積=底面積×高

圓錐的體積=底面積×高÷3長方體（正方體、圓柱體）

的體積=底面積×高平面圖形名稱符號周長C和面積Sa—圓心角度數(shù)

C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr2×(a/360)

弓形l－弧長b－弦長h－矢高r－半徑α－圓心角的度數(shù)S＝r2/2·(πα/180-sinα)＝r2arccos[(r-h)/r]-(r-h)(2rh-h2)1/2

＝παr2/360-b/2·[r2-(b/2)2]1/2

＝r(l-b)/2+bh/2

≈2bh/3圓環(huán)R－外圓半徑r－內(nèi)圓半徑D－外圓直徑d－內(nèi)圓直徑S＝π(R2-r2)

＝π(D2-d2)/4橢圓D－長軸d－短軸S＝πDd/4

立方圖形名稱符號面積S和體積V正方體a－邊長S＝6a2V＝a3

長方體a－長b－寬c－高S＝2(ab+ac+bc)

V＝abc棱柱S－底面積h－高V＝Sh棱錐S－底面積

h－高V＝Sh/3棱臺S1和S2－上、下底面積h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3擬柱體S1－上底面積S2－下底面積

S0－中截面積h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6

圓柱r－底半徑h－高C—底面周長

S底—底面積S側(cè)—側(cè)面積S表—表面積C＝2πrS底＝πr2

S側(cè)＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h

空心圓柱R－外圓半徑r－內(nèi)圓半徑

h－高V＝πh(R2-r2)直圓錐r－底半徑h－高V＝πr2h/3

圓臺r－上底半徑R－下底半徑

h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球r－半徑

d－直徑V＝4/3πr3＝πd2/6球缺h－球缺高r－球半徑

a－球缺底半徑V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球臺r1和r2－球臺上、下底半徑

h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圓環(huán)體R－環(huán)體半徑

D－環(huán)體直徑r－環(huán)體截面半徑d－環(huán)體截面直徑V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4

桶狀體D－桶腹直徑d－桶底直徑h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12(母線是圓弧形,圓心是桶的中心)

V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15

(母線是拋物線形)三視圖的投影規(guī)則是：

主視、俯視長對正

主視、左視高平齊

左視、俯視寬相等點線面位置關(guān)系公理一：假如一條線上的兩個點在平面上則該線在平面上

公理二：假如兩個平面有一個公共點則它們有一條公共直線且全部的公共點都在這條直線上

公理三：三個不共線的點確定一個平面

推論一：直線及直線外一點確定一個平面

推論二：兩相交直線確定一個平面

推論三：兩平行直線確定一個平面

公理四：和同一條直線平行的直線平行

異面直線定義：不平行也不相交的兩條直線

判定定理：經(jīng)過平面外一點及平面內(nèi)一點的直線及平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線。

等角定理：假如一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，且方向相同，那么這兩個角相等線線平行→線面平行假如平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

線面平行→線線平行假如一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。

線面平行→面面平行假如一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

面面平行→線線平行假如兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。

線線垂直→線面垂直假如一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

線面垂直→線線平行假如連條直線同時垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

線面垂直→面面垂直假如一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面相互垂直。

線面垂直→線線垂直線面垂直定義：假如一條直線a及一個平面α內(nèi)的隨意一條直線都垂直，我們就說直線a垂直于平面α。

面面垂直→線面垂直假如兩個平面相互垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。

三垂線定理假如平面內(nèi)的一條直線垂直于平面的血現(xiàn)在平面內(nèi)的射影，則這條直線垂直于斜線。例題對于四面體ABCD,(1)若AB=AC,BD=CD如何證明BC垂直于AD?(2)若AB垂直于CD,BD垂直于AC,如何證明BC垂直于AD?證明：(1).取BC的中點F,連結(jié)AF,DF,則

∵AB=AC,BD=CD，

∴△ABC及△DBC是等腰三角形，

AF⊥BC,DF⊥BC.而AF∩DF=F,

∴BC⊥面AFD.又AD在平面AFD內(nèi)，

∴BC

(2).設(shè)A在面BCD上的射影為O.連結(jié)BO,CO,DO.則

∵CD⊥AB,CD⊥AO,AB∩AO=A,∴CD⊥面ABO.

而BO在平面ABO內(nèi)，∴BO⊥CD.

同理，DO⊥BC.因此，O是△BCD的垂心，因此有

CO⊥BD.

∵BD⊥CO,BD⊥AO,CO∩AO=O,∴BD⊥面AOC.

而AC在平面AOC內(nèi)，∴BD⊥AC.5平面解析幾何初步兩點距離公式：根號[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]中點公式：X=(X1+X2)/2Y=(Y1+Y2)/2直線的斜率

傾斜角不是90°的直線`，它的傾斜角的正切，叫做這條直線的斜率.通常用k來表示，記作：

k=tga(0°≤a＜180°且a≠90°)

傾斜角是90°的直線斜率不存在，傾斜角不是90°的直線都有斜率并且是確定的．點斜式:y-y1=k(x-x1)；斜截式：y=kx+b；截距式：x/a+y/b=1直線的標準方程：Ax+Bx+C=0圓的一般方程：

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2《2表示平方》圓及圓的位置關(guān)系：1點在圓上(點到半徑的距離等于半徑)

點在圓外(點到半徑的距離大于半徑)

點在圓內(nèi)(點到半徑的距離小于半徑)

2(1)相切:圓心到直線的距離等于半徑

(2)相交:圓心到直線的距離小于半徑

(3)相離:圓心到直線的距離大于半徑

3圓的切線是指垂直于半徑,直線到圓心距離等于半徑的直線,垂足叫切點

4圓心距為Q大圓半徑為R小圓半徑為r

兩圓外切Q=R+r

兩圓內(nèi)切Q=R-r(用大減小)

兩圓相交Q<R-r

兩圓外離Q>R+r

兩圓內(nèi)含Q<R-r直線及圓的位置關(guān)系有三種:相離,相交,相切.

有如下關(guān)系

相離則d>r,反之d>r則相離,

相切則d=r,反之d=r則相切,

相交則d<r,反之d<r則相交.空間直角坐標系的定義ABCD–A′B′C′O是長方體，以O(shè)為原點，分別以射線OB、OA’、OB’為正方向，以線段OB、

OA’、OB’建立三條坐標軸：x軸、y軸、z軸，這樣就建立了一個空間直角坐標系O–xyz，點O叫做坐標

原點，x、y、z軸叫做坐標軸，由兩條坐標軸組成的平面叫做坐標平面，分別叫做xOy平面、yOz平zOx平面，這種坐標系叫做右手直角坐標空間直角坐標系內(nèi)點的坐標表示方法設(shè)點M為空間的一個定點，過點M分別作垂直于x、y、z軸的平面，依次交x、y、z軸于點P、Q、R設(shè)點P、Q、R在x、y、z軸上的坐標分別為x、y、z，那么就得到及點M對應(yīng)惟一確定的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）叫做點M的坐標，記作M(x，y，z)，其中x、y、z分別叫做點M的橫坐標、縱坐標、豎坐標?？臻g內(nèi)兩點之間的距空間中兩點P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)的距離|P1P2|＝√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2空間中點公式空間中兩點P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)，中點P坐標[（x1+x2）/2,(y1+y2)/2,(z1+z2)/2]例題：1直線L及直線3x+4y-7=0平行，且和兩坐標軸圍成的三角形面積為24，求直線L的方程。解：直線L及3x+4y-7平行，所以斜率相等，同為-3/4

設(shè)直線的方程是y=(-3/4)x+b

它及兩坐標軸的交點坐標分別是(0,b),(4b/3,0)

和兩坐標軸圍成的三角形面積為24

(1/2)*|b|*|4b/3|=24

|b2|=36

b=±6

直線L有兩條，方程分別是y=(-3/4)x+6或y=(-3/4)x-62求兩點(-5,-1),(-3,4)連成線段的垂直平分線的方程.解設(shè)y=k1x+b1過兩點(-5,-1)(-3,4)得{-1=-5k1+b1

{4=-3k1+b1解之得{k1=5/2；b1=23/2

y=5x/2+23/2因為k1*k2=-1

所以k2=-2/5(x1+x2)/2=(-5-3)/2=-4

(y1+y2)/2=(-1+4)/2=3/2(-4,3/2)過所求方程y=k2x+b

3/2=-2/5*(-4)+bb=-1/10

所以y=-2x/5-1/10化簡4x+10y+1=06基本初等函數(shù)從其中一個頂點向一個邊引一條線，交另一邊上某一點，則這個圖形變成有一條公共邊且另一組邊在同始終線上的兩個三角形。有六個內(nèi)角，其中公共邊及另一組在同始終線上的邊相交形成的兩個角中，每一個角都是一個三角形的一個內(nèi)角，且是另一個三角形的一個外角……

另外還有大于平角小于周角的角。

正弦函數(shù)sinθ=y/r

余弦函數(shù)cosθ=x/r

正切函數(shù)tanθ=y/x

余切函數(shù)cotθ=x/y

正割函數(shù)secθ=r/x

余割函數(shù)cscθ=r/y同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式：

·平方關(guān)系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·積的關(guān)系：

sinα=tanα*cosα

cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα

cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα

cscα=secα*cotα

·倒數(shù)關(guān)系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1一個園,弧長和半徑相等時所對應(yīng)的角度是1弧度.弧度和角度的換算關(guān)系:

弧度*180/(2*π)=角度誘導(dǎo)公式★

常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組：

公式一：

設(shè)α為隨意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

設(shè)α為隨意角，π+α的三角函數(shù)值及α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

隨意角α及-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α及α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α及α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α及α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)函數(shù)類型

第一象限

其次象限

第三象限

第四象限

正弦

+

+

—

—

余弦

+

—

—

+

正切

+

—

+

—

余切

+

—

+

—正弦函數(shù)的性質(zhì)：解析式：y=sinx\o"返回頁首"圖像波形圖像（由單位圓投影到坐標系得出）\o"返回頁首"定義域R(實數(shù))\o"返回頁首"值域：[-1，1]最值：①最大值：當x=(π/2)+2kπ時，y(max)=1②最小值：當x=-(π/2)+2kπ時，y(min)=-1值點：(kπ,0)\o"返回頁首"對稱性：1)對稱軸：關(guān)于直線x=(π/2)+kπ對稱2)中心對稱：關(guān)于點(kπ,0)對稱周期：2π\(zhòng)o"返回頁首"奇偶性：奇函數(shù)\o"返回頁首"單調(diào)性：在[-(π/2)+2kπ,(π/2)+2kπ]上是增函數(shù)，在[(π/2)+2kπ,(3π/2)+2kπ]上是減函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)：

余弦函數(shù)\o"返回頁首"圖像：波形圖像\o"返回頁首"定義域：R\o"返回頁首"值域：[-1，1]\o"返回頁首"最值：

1）當x=2kπ時,y(max)=1

2）當x=2kπ+π時,y(min)=-1

零值點：(π/2+kπ,0)\o"返回頁首"對稱性：1）對稱軸：關(guān)于直線x=kπ對稱

2）中心對稱：關(guān)于點(π/2+kπ,0)對稱\o"返回頁首"周期：2π\(zhòng)o"返回頁首"奇偶性：偶函數(shù)\o"返回頁首"單調(diào)性：在[2kπ-π,2kπ]上是增函數(shù)

在[2kπ,2kπ+π]上是減函數(shù)定義域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}

值域：R

最值：無最大值及最小值

零值點：(kπ,0)

對稱性：

軸對稱：無對稱軸

中心對稱：關(guān)于點(kπ,0)對稱

周期：π

奇偶性：奇函數(shù)

單調(diào)性：在(-π/2+kπ,π/2+kπ)上都是增函數(shù)7平面對量坐標表示法平面對量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取及x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底。由平面對量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于及數(shù)對(x,y)是一一對應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標。在數(shù)學(xué)中，我們通常用點表示位置，用射線表示方向．在平面內(nèi)，從任一點動身的全部射線，可以分別用來表示平面內(nèi)的各個方向

向量的表示向量常用一條有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．向量也可用字母a①、b、c等表示，或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示．

向量的大小，也就是向量的長度(或稱模)，記作|a|長度為0的向量叫做零向量，記作0．長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a、b、c平行，記作a∥b∥c．0向量長度為零，是起點及終點重合的向量，其方向不確定，我們規(guī)定0及任一向量平行．

長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a及b相等，記作a=b．零向量及零向量相等．隨意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且及有向線段的起點無關(guān)．向量的運算1、向量的加法：

AB+BC=AC

設(shè)a=（x,y）b=(x',y')

則a+b=(x+x',y+y')

向量的加法滿意平行四邊形法則和三角形法則。

向量加法的性質(zhì)：

交換律：

a+b=b+a

結(jié)合律：

(a+b)+c=a+(b+c)

a+0=0+a=a

2、向量的減法

AB-AC=CBa-b=(x-x',y-y')

若a//b

則a=eb

則xy`-x`y=0

若a垂直b

則ab=0

則xx`+yy`=0

3、向量的乘法

設(shè)a=（x,y）b=(x',y')

a·b(點積）=x·x'+y·y'=|a|·|b|*cos夾角1、向量有關(guān)概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，留意向量和數(shù)量的區(qū)分。向量常用有向線段來表示，留意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））

（2）零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，留意零向量的方向是隨意的；

（3）單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(及共線的單位向量是)；

（4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；

（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：‖，規(guī)定零向量和任何向量平行。提示：①相等向量肯定是共線向量，但共線向量不肯定相等；②兩個向量平行及及兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性?。ㄒ驗橛?；④三點共線共線；

（6）相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是例題：1.已知點A(1,1),B(-1,5)及AC向量=1/2AB向量，AD向量=2AB向量，AE向量=-1/2AB向量，求點C，D，E的坐標。設(shè)C點(x，y)，則AB＝(－2，4)，AC＝(x－1，y－1).

由AC＝1/2AB得：

x－1＝1/2×(－2)＝－1，

y－1＝1/2×4＝2

所以，x＝0，y＝3，所以點C的坐標是(0,3)設(shè)D點(x，y)，則AD＝(x－1，y－1).

由AD＝2AB得：

x－1＝2×(－2)＝－4，

y－1＝2×4＝8

所以，x＝－3，y＝9，所以點C的坐標是(－3,9)設(shè)E點(x，y)，則AE＝(x－1，y－1).

由AE＝－1/2AB得：

x－1＝－1/2×(－2)＝1，

y－1＝－1/2×4＝－2

所以，x＝2，y＝－1，所以點C的坐標是(2,－1)8三角恒等變換兩角和差公式⒉兩角和及差的三角函數(shù)公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ（α＋β）＝——————

1－tanα·tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα·tanβ\o"返回頁首"倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα

tan2α＝—————

1－tan^2(α)\o"返回頁首"半角公式⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴角公式）

1－cosα

sin^2(α/2)＝—————

2

1＋cosα

cos^2(α/2)＝—————

2

1－cosα

tan^2(α/2)＝—————

1＋cosα\o"返回頁首"萬能公式⒌萬能公式

2tan(α/2)

sinα＝——————

1＋tan^2(α/2)

1－tan^2(α/2)

cosα＝——————

1＋tan^2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝——————

1－tan^2(α/2)和差化積公式⒎三角函數(shù)的和差化積公式

α＋β

α－β

sinα＋sinβ＝2sin—----·cos—---

2

2

α＋β

α－β

sinα－sinβ＝2cos—----·sin—----

2

2

α＋β

α－β

cosα＋cosβ＝2cos—-----·cos—-----

2

2

α＋β

α－β

cosα－cosβ＝－2sin—-----·sin—-----

2

2\o"返回頁首"積化和差公式⒏三角函數(shù)的積化和差公式

sinα·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

cosα·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]

cosα·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

sinα·sinβ＝－0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]9解三角形步驟1.

在銳角△ABC中，設(shè)三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點D

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到

a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步驟2.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，隨意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O于D.

連接DA.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R

a/SinA=BC/SinD=CD=2R

類似可證其余兩個等式。二.正弦定理的變形公式

(1)a=2RsinA,

b=2RsinB,

c=2RsinC;

(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c;a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA

b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB

c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosCCosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac

CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc證明：

∵如圖，有a+b=c∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（留意：這里用到了三角函數(shù)公式）

再拆開，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

同理可證其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。例題：1已知（B+C）：（C+A）：（A+B）=4：5：6，求此三角形的最大內(nèi)角解：設(shè)b+c=4x，可得a=7x/2,b=5x/2,c=3x/2,

再用余弦定理

cosA=-1/2,即A=12021.在三角形ABC中,已知(b+c);(c+a);(a+b)=4;5;6,則sinA;sinB;sinC=_________解：、a/sinA=b/sinB=c/sinC

(b+c);(c+a);(a+b)=4;5;6

(sinB+sinC):(sinC+sinA):(sinA+sinB)=4k:5k:6k

解得sinA=7k/2sinB=5k/2sinC=3k/2

所以sinA:sinB:sinC=7:5:310數(shù)列一、等差數(shù)列

假如一個數(shù)列從其次項起，每一項及它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。

等差數(shù)列的通項公式為：

an=a1+(n-1)d(1)

前n項和公式為：

Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)

從(1)式可以看出，an是n的一次數(shù)函(d≠0)或常數(shù)函數(shù)(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由(2)式知，Sn是n的二次函數(shù)(d≠0)或一次函數(shù)(d=0，a1≠0)，且常數(shù)項為0。

在等差數(shù)列中，等差中項：一般設(shè)為Ar，Am+An=2Ar,所以Ar為Am，An的等差中項。

且隨意兩項am，an的關(guān)系為：

an=am+(n-m)d

它可以看作等差數(shù)列廣義的通項公式。

從等差數(shù)列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有

am+an=ap+aq

Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差數(shù)列，等等。

和＝（首項＋末項）×項數(shù)÷2

項數(shù)＝（末項-首項）÷公差＋1

首項=2和÷項數(shù)-末項

末項=2和÷項數(shù)-首項

等差數(shù)列的應(yīng)用：

日常生活中，人們經(jīng)常用到等差數(shù)列如：在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級別

時，當其中的最大尺寸及最小尺寸相差不大時，常按等差數(shù)列進行分級。

若為等差數(shù)列，且有an=m,am=n.則a(m+n)＝0。等比數(shù)列假如一個數(shù)列從第2項起，每一項及它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示。

（1）等比數(shù)列的通項公式是：An=A1*q^（n－1）

若通項公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當q＞0時，則可把an看作自變量n的函數(shù)，點(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點。

（2）求和公式：Sn=nA1(q=1)

Sn=A1(1-q^n)/(1-q)

=(a1-a1q^n)/(1-q)

=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n(即A-Aq^n)

(前提：q不等于1)

隨意兩項am，an的關(guān)系為an=am·q^(n-m)

（3）從等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

（4）等比中項：aq·ap=ar*2，ar則為ap，aq等比中項。

記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

另外，一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底數(shù)數(shù)后構(gòu)成一個等差數(shù)列；反之，以任一個正數(shù)C為底，用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數(shù)列及等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。

性質(zhì)：

①若m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，則am·an=ap·aq；

②在等比數(shù)列中，依次每k項之和仍成等比數(shù)列.

“G是a、b的等比中項”“G^2=ab（G≠0）”.

(5)等比數(shù)列前n項之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)

在等比數(shù)列中，首項A1及公比q都不為零.

留意：上述公式中A^n表示A的n次方。

等比數(shù)列在生活中也是經(jīng)常運用的。

如：銀行有一種支付利息的方式---復(fù)利。

即把前一期的利息赫本金價在一起算作本金，

在計算下一期的利息，也就是人們通常說的利滾利。

依據(jù)復(fù)利計算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期例題1已知數(shù)列：（An),Sn=3an+2,求證，An是等比數(shù)列。解：當n=1時a1=3a1+2得a1=-1

當n>=2時有Sn=3an+2………………1式

S(n-1)=3a(n-1)+2（括號代表下標下同）…………2式

1式-2式得an=3an-3a(n-1)【an=Sn-S(n-1)】

所以3a(n-1)=2anan=3/2a(n-1)

所以{an}是以-1為首項以3/2為公比的等比數(shù)列2已知等差數(shù)列{AN}的前N項和為SN，且A3=5，S15=225.數(shù)列{BN}是等比數(shù)列，B3=A2+A3，B2B5=128.

（1）求數(shù)列{AN}的通項AN及數(shù)列{BN}的前9項的和T9解1.設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d；等比數(shù)列首項b1,公比為q

a3=a1+2d=5

s15=(a1+a15)*15/2=(a1+a1+14d)*15/2=225

解出a1=1d=2

所以數(shù)列an通項公式an=a1+(n-1)d=2n-1

可以求出a2=3,a3=5,所以b3=8

b3=b1q^2=8

b2b5=(b1q)*(b1q^4)=b1^2*q^5=128

解出b1=1q=2

所以bn=b1*q^(n-1)=2^(n-1)

tn=a1(1-q^n)/(1-q)=2^n-1

所以t9=2^9-1=51111不等式不等式(inequality)

用不等號將兩個解析式連結(jié)起來所成的式子。例如2x＋2y≥2xy，sinx≤1，ex＞0，2x＜3等。依據(jù)解析式的分類也可對不等式分類，不等號兩邊的解析式都是代數(shù)式的不等式，稱為代數(shù)不等式；只要有一邊是超越式，就稱為超越不等式。例如lg(1＋x)＞x是超越不等式。

通常不等式中的數(shù)是實數(shù)，字母也代表實數(shù)，不等式的一般形式為F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z)（其中不等號也可以為＜，≥，＞中某一個），兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域，不等式既可以表達一個命題，也可以表示一個問題。

不等式的最基本性質(zhì)有：①假如x＞y，那么y＜x；假如y＜x，那么x＞y；②假如x＞y，y＞z；那么x＞z；③假如x＞y，而z為隨意實數(shù)，那么x＋z＞y＋z；④假如x＞y，z＞0，那么xz＞yz；⑤假如x＞y，z＜0，那么xz＜yz。

由不等式的基本性質(zhì)動身，通過邏輯推理，可以論證大量的初等不等式，其中比較出名的有：

柯西不等式：對于2n個隨意實數(shù)x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，恒有（x1y1＋x2y2＋…＋xnyn）2≤（x12＋x22＋…＋xn2）（y12＋y22＋…＋yn2）。

排序不等式：對于兩組有序的實數(shù)x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，設(shè)yi1，yi2，…，yin是后一組的隨意一個排列，記S＝x1yn＋x2yn-1＋…＋xny1，M＝x1yi1＋x2yi2＋…＋xnyin，L＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn，那么恒有S≤M≤L。

依據(jù)不等式的基本性質(zhì)，也可以推出解不等式可遵循的一些同解原理。主要的有：①不等式F（x）＜G（x）及不等式G（x）＞F（x）同解。②假如不等式F（x）＜G（x）的定義域被解析式H（x）的定義域所包含，那么不等式F（x）＜G（x）及不等式F（x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。③假如不等式F（x）＜G（x）的定義域被解析式H（x）的定義域所包含，并且H（x）＞0，那么不等式F(x)＜G（x）及不等式H（x）F（x）＜H（x）G（x）同解；假如H（x）＜0，那么不等式F（x）＜G（x）及不等式H(x)F（x）＞H（x）G（x）同解。④不等式F（x）G（x）＞0及不等式同解；不等式F（x）G（x）＜0及不等式同解。

不等式分為嚴格不等式及非嚴格不等式。一般地，用純粹的大于號、小于號“＞”“＜”連接的不等式稱為嚴格不等式，用不小于號（大于或等于號）、不大于號（小于或等于號）

“≥”“≤”連接的不等式稱為非嚴格不等式，或稱廣義不等式。

在一個式子中的數(shù)的關(guān)系,不全是等號,含不等符號的式子，那它就是一個不等式.

如:甲大于乙(甲>乙),就是一個不等式.不等式不肯定只有「>」,「0,即A>B.又同理可證:A>C,A>D.所以,A最大.

不等式是不包括等號在