matlib的數(shù)值計算學習

第六章MATLAB的數(shù)值計算——matlab具有出色的數(shù)值計算能力，占據(jù)世界上數(shù)值計算軟件的主導地位一、代數(shù)方程組求解matlab中有兩種除運算——左除和右除。對于方程ax=b，a為am×n矩陣，有三種情況：當n=m時，此方程成為“恰定”方程當n<m時，此方程成為“超定”方程當n>m時，此方程成為“欠定”方程

matlab定義的除運算可以很方便地解上述三種方程1.恰定方程組的解方程ax=b(a為非奇異)x=a-1

b

矩陣逆兩種解:x=inv(a)b—采用求逆運算解方程x=a\b—采用左除運算解方程方程ax=ba=[12;23];b=[8;13];x=inv(a)*b

x=a\bx=x=2.002.003.003.00

=

ax=b例:x1+2x2=82x1+3x2=132.超定方程組的解方程ax=b,m>n時此時不存在唯一解。方程解(a'a)x=a'bx=(a'

a)-1a'b——求逆法

x=a\b——matlab用最小二乘法找一個準確地基本解。例:x1+2x2=12x1+3x2=23x1+4x2=3a=[12;23;34];b=[1;2;3];

解1x=a\b

解2x=inv(a'a)a'b

x=x=1.001.0000.00

=

ax=b3.欠定方程組的解

當方程數(shù)少于未知量個數(shù)時,即不定情況,有無窮多個解存在。matlab可求出兩個解：一個是用除法求的解，是具有最多零元素的解一個是具有最小長度或范數(shù)的解，這個解是基于偽逆pinv求得的。x1+2x2+3x3=12x1+3x2+4x3=2a=[123;234];b=[1;2];x=a\bx=pinv(a)bx=x=1.000.8300.330-0.17=ax=b二、多項式運算及其求根鑒于MATLAB無零下標，故把多項式的一般形式表達為：二、多項式運算及其求根在MATLAB中可以用長度n+1的行向量表示為：1.多項式求根命令格式：x=roots(A)。這里A為多項式的系數(shù)A(1),A(2),…,A(N),A(N+1)；解得的根賦值給數(shù)組X，即X(1),X(2),…,X(N)?！纠?】試用ROOTS函數(shù)求多項式x4+8x3-10的根這是一個4次多項式，它的五個系數(shù)依次為：1,8,0,0,-10。下面先產(chǎn)生多項式系數(shù)的向量A，然后求根：A=[1800-10]A=1800-10x=roots(A)x=-8.0194-0.5075+0.9736i-0.5075-0.9736i1.0344二、多項式運算及其求根2.多項式的建立若已知多項式的全部根，則可以用POLY函數(shù)建立起該多項式；也可以用POLY函數(shù)求矩陣的特征多項式。POLY函數(shù)是一個MATLAB程序，調(diào)用它的命令格式是：A=poly(x)若x為具有N個元素的向量，則poly(x)建立以x為其根的多項式，且將該多項式的系數(shù)賦值給向量A。在此種情況下，POLY與ROOTS互為逆函數(shù)；若x為N×N的矩陣x，則poly(x)返回一個向量賦值給A，該向量的元素為矩陣x的特征多項式之系數(shù)：A(1),A(2),…,A(N),A(N+1)。二、多項式運算及其求根【例7】試用POLY函數(shù)對例7.8所求得的根，建立相應的多項式。x=[-8.0194-0.5075+0.9736i-0.5075-0.9736i1.0344];z=poly(x)z=1.00008.00000.00000.0000-9.9996二、多項式運算及其求根3.求多項式的值POLYVAL函數(shù)用來求代數(shù)多項式的值，調(diào)用的命令格式為：Y=polyval(A,x)本命令將POLYVAL函數(shù)返回的多項式的值賦值給Y。若x為一數(shù)值，則Y也為一數(shù)值；若x為向量或矩陣，則對向量或矩陣中的每個元素求其多項式的值。二、多項式運算及其求根【例8】以4次多項式、分別取x=1.2和下面的矩陣的2×3個元素為自變量計算該多項式的值。A=[1800-10];%例7.8的4次多項式系數(shù)x=1.2;%取自變量為一數(shù)值y1=polyval(A,x) y1=-5.8976x=[-11.2-1.4;2-1.81.6]%給出一個矩陣xy1=polyval(A,x)y1=-17.00005.8976-28.110470.0000-46.158429.3216二、多項式運算及其求根4.多項式的四則運算(1)多項式加、減對于次數(shù)相同的若干個多項式，可直接對多項式系數(shù)向量進行加、減的運算。如果多項式的次數(shù)不同，則應該把低次的多項式系數(shù)不足的高次項用零補足，使同式中的各多項式具有相同的次數(shù)。二、多項式運算及其求根(2)多項式乘法若A、B是由多項式系數(shù)組成的向量，則CONV函數(shù)將返回這兩個多項式的乘積。調(diào)用它的命令格式為：C=conv(A,B)命令的結(jié)果C為一個向量，由它構(gòu)成一個多項式。二、多項式運算及其求根【例9】求4次多項式與多項式2x2-x+3的乘積。A=[1800-10];B=[2-13]B=2-13C=conv(A,B)C=215-524-2010-30本例的運行結(jié)果是求得一個6次多項式2x6+15x5-5x4+24x3-20x2+10x-30二、多項式運算及其求根(3)多項式除法當A、B是由多項式系數(shù)組成的向量時，DECONV函數(shù)用來對兩個多項式作除法運算。調(diào)用的命令格式為：[Q,r]=deconv(A,B)本命令的結(jié)果：多項式A除以多項式B獲商多項式賦予Q（也為多項式系數(shù)向量）；獲余項多項式賦予r（其系數(shù)向量的長度與被除多項式相同，通常高次項的系數(shù)為0）。DECONV是CONV的逆函數(shù)，即有A=conv(B,Q)+r。二、多項式運算及其求根【例10】試用4次多項式與多項式2x2-x+3相除。A=[1800-10];B=[2-13];[P,r]=deconv(A,B)P=0.50004.25001.3750r=000-11.3750-14.1250商多項式P為0.5x2+4.25x+1.375，余項多項式r為-11.375x-14.125。二、多項式運算及其求根(4).多項式微分matlab提供了polyder函數(shù)多項式的微分。命令格式：polyder(p):求p的微分polyder(a,b):求多項式a,b乘積的微分[p,q]=polyder(a,b):求多項式a,b商的微分例：a=[12345];poly2str(a,'x')ans=x^4+2x^3+3x^2+4x+5b=polyder(a)b=4664poly2str(b,'x')ans=4x^3+6x^2+6x+4(5).多項式積分Matlab中沒有專門的多項式積分函數(shù)。但可以用[p./(length(p):-1:1),k]來完成積分 其中k為常數(shù)項例：a=[12345];b=polyder(a)b=4664c=[b./(length(b):-1:1),0]c=12340三、擬合與插值1.多項式擬合：用一個多項式來逼近一組給定的數(shù)據(jù)。擬合的準則是最小二乘法x0=0:0.1:1;y0=[-.4471.9783.115.255.024.664.014.583.455.359.22];p=polyfit(x0,y0,3)p=56.6915-87.117440.0070-0.9043xx=0:0.01:1;yy=polyval(p,xx);plot(xx,yy,'-b',x0,y0,'or')2.插值插值是根據(jù)數(shù)據(jù)點的規(guī)律，找到一個多項式可以連接兩個點，插值得出兩個數(shù)據(jù)點之間的數(shù)值。當不能很快地求出所需中間點的函數(shù)時，插值是一個非常有價值的工具。Matlab提供了一維、二維、三次樣條等許多插值選擇y1=interp1(x,y,x1,方法);方法可以選：‘linear’、’cubic’、’spline’例：x=0:10;y=sin(x);xx=0:.25:10;yy=spline(x,y,xx);yy=interp1(x,y,xx,'spline');plot(x,y,'o',xx,yy)習題1．已知某班的5名學生的三門課成績列表如下：學生序號 12345

高等數(shù)學 7889647368

外語 8377807870 MATLAB語言 82