2023年經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性代數(shù)講義

經(jīng)濟數(shù)學(xué)線性代數(shù)學(xué)習(xí)講義

合川電大蘭冬生

1,矩陣：

'012'

A=114,稱為矩陣。結(jié)識矩陣第一步：行與列，橫為行，豎為列，

_2-10

第一行依次0,1,2,

第二行1,1,4

第一列0,1,2

這是一個三行三列矩陣，

再給出一個三行四列矩陣

~2-52-3一

A=12-13

-214-612

教材概念的m行n列矩陣。

a\\a\2…a\n

?a：-，這個矩陣記作兒*“，表白這個矩陣有加行，“列，注意行m

41an,2…a,nn_

寫在前面，列n寫在后面，括號里面的稱為元素，記為％,i是行，，是列，

例如：

-2-52-3'

12-13是三行四列矩陣,也說成3x4矩陣，注意行3在前面，列4在

-214-612

后面，這里即=2（就是指的第一行第一列那個數(shù)）

43=-1（就是指的第二行第三列那個數(shù)）

2,矩陣加法

矩陣加法，滿足行列相同的矩陣才干相加,相應(yīng)位置的數(shù)相加。

01oiroi2022

例如：101+114215

-1-102-101-20

減法是相應(yīng)位置的數(shù)相減。，

3,矩陣的乘法

矩陣乘法參看以下法則：注意字母相應(yīng)

a

\2。1341%如

a2\a22“23X%。22023

“32a33_瓦1、32%

X

anX。"+al2xZ?2l+al3x/731a\lX^I2+a\2X姐+為3X%仇3+。12X匕23+413"/3

a2ixbi2+a22xb22+a23xb32X

=X。"+。22X021+。23*。31?2|X仿3+?22*823+。23。33

_?xb“+aXh+axh

313221333]a3lX仇2+a32X°22+“33X032濟3+032X623+033X633

注意角標(biāo)，角標(biāo)是23,就

乘積的結(jié)果矩陣人等于第一個矩陣的第一行元素為的為3乘以第二個矩陣

的第一列元素如與勾，注意是相應(yīng)元素相乘，再求和。

乘積的結(jié)果矩陣等于第一個矩陣的第二行元素%I。22的3乘以第二個矩陣

的第一列元素如&砥。

第一行乘以第一列，lx6+0xl+(-2)x4=(-2)

第一行乘以第二列，1X3+0X2+(—2)xl=l

第二行乘以第一列，1x6+(—2)xl+0x4=4

第二行乘以第二列,1x3+(—2)x2+0x1=—1

可以乘的條件：第一個矩陣的列數(shù)和第二個矩陣的行數(shù)必須相同，就是尾首必須

相同，A,”*,,線XV可以乘必須是A矩陣腳標(biāo)的尾〃等于6矩陣腳標(biāo)的首w相

等，n=w

例如：4*3鳥/3可乘4*334x3不可乘,

只要尾首相同就可乘，人…氏岡,乘積為〃?XV矩陣

例如：AZNAM可乘,乘積結(jié)果為。2*3矩陣

A4X3B3X2可乘,乘積結(jié)果為。4*2矩陣

矩陣的數(shù)乘，一個數(shù)乘以一個矩陣,等于這個矩陣的每個元素乘以這個數(shù)

矩陣的乘法可以看出，矩陣的乘法不可互換,一般情況下ABwBA

4,矩陣的轉(zhuǎn)置

矩陣A轉(zhuǎn)置矩陣記為A"

士求卜缶妊

從這里看出,下面一個矩陣A是2X3矩陣（2行3歹U）則AT是3X2矩陣（3行2

列），

2023年1月考題：

設(shè)A為3X4矩陣，B為5X2矩陣，且乘積矩陣/。丁）故意義，則C為

（B）矩陣。

A.4X2B.2X4C.3X5D.5X3

分析：根據(jù)尾首相同法AC51"可表達為（3X4）（）（2*5）,中間一個就是

4X2,注意是C,所以C就是2X4。

對稱矩陣：

對稱矩陣的元素依主對角線對稱：

'02'

1.設(shè)4=3，當(dāng)0_時，A是對稱矩陣.

23X1

5,求矩陣的逆

預(yù)備知識：（1）,在數(shù)的學(xué)習(xí)中，數(shù)的單位是l,3x；=l,

-10…0'

01???0

矩陣的單位是/=：..:，除主對角是1以外，其余全是0,并且，單位矩陣

00-??1

全是方陣（行數(shù)與列數(shù)相等）

任何矩陣乘以單位陣不變（可以試一試）

'100'

例，3階單位陣，7=010，我們以3階陣來說逆，

001

一012-

已知A=114

2-10

與前面3x1=l類似，能不能找到一個矩陣，使得力乘以這個矩陣等于單位陣？

3

記為AAT'=1,A~'稱為A的逆,

（2）矩陣的初等變換，

①將矩陣的任意兩行互換，

②把某一行乘以一個數(shù)（指對這一行的每個元素都乘以這個數(shù)）,

③把某一行乘以一個數(shù),然后加到此外一行。

求逆

求逆原理：[A/]—MAf,

012

舉例：設(shè)矩陣力=114,求逆矩陣

2-10

分析：第一步:把/和單位陣/寫在一起,

012100

]=114010

2-10001

第二步:初等變換

114010'

-012100,（由于第一行第一個數(shù)是0,要化成前面是單位

2-10001

陣，這里就不能是0,于是互換1,2行，隨便兩行都可以互換，由于第二行第

一個數(shù)是1,簡樸，所以就1,2行互換）

114010

―012100第一行乘以-2加到第三行，目的是化0,除

0-3-80-21

主對角以外，其他所有化成0

114010

7012100第二行乘以3加到第三行,

00-23-21

102-110

f012100現(xiàn)在開始化上面，第二行乘以一1加到

00-23-21

第一行

1002-11

T0104-21第三行直接加到第一行；加到第二行

00-23-2I

把對角線上的都化成1,

'1002-11

第三行乘以T這一步是把前面化

->0104-21

001-3/21-1/2_

成單位陣,這個就是我們要的[/A-1],前半部分是/,后半部分就是AT

2-11

所以A'=4-21

-3/21-1/2

這是個考題，具體計算可以省略些環(huán)節(jié)，給出解題答案為:

012

設(shè)矩陣/=114求逆矩陣A*4.

2-10

0121001p14010

解由于（力I)114010-012100

2-100010-3-80-21

102-1101「1002-11

―012100—0104-21

00-23-21J[o0-23-2I

1002-11

T0104-21

001-3/2I-1/2

2-11

所以A-4-21

-3/21-1/2

另一種題型,解矩陣方程,其原理是對4乂=3兩邊左乘（就是靠在左邊）得

ATAX=AT5由于A-k=/,所以X=A-%,注意任何矩陣乘以單位陣保持不

變。

例:已知AX=3,其中A求X.

分析:先求逆，在計算。

解：運用初等行變換得

1231001F123100

357010-0-1-2-310

58100010-2-5-501

123100'1204-63

-0123-10-0105-52

00-11-21001-12-1

100-64

-0105-52

001-12-I

-64-1

即=5-52

-12-1

由矩陣乘法和轉(zhuǎn)置運算得

考題舉例:

1,

63

10-2

2.設(shè)矩陣A=,B12,計算(Z3)T.

1-20

41

63

10-2-21

解由于力612

1-204-1

41

11o-■一11o-

()1-I

/----2O

1o121I

-?一-_

-

-111

o-1-1O--

f>--

121o22

121

-」_

1-_

-1_

所以

/雨--

V22_

21

1

12-3

3.設(shè)矩陣A=0-2B計算

0-12

20

1

12-3-5-3

解由于BA二0-2

0-1242

0

-5-310-1-111

{BAI）=

42014201

11-1-1101

->%

0-24501-2

所以（刃）T=

-2

-2-3-1

4.解矩陣方程X=

342

-2-310111

解由于

34013401

11111043

01-3-201-3-2

-2-343

即

34-3-2

3T-12

所以,X-

-22-1

10-212-3

5.設(shè)矩陣A，計算(/9)

1-200-12

解:

10

10-2

ABT=2-1

1-20

-32

7-4

-32

12

所以(A*)”37

22.

1235

6.設(shè)矩陣A且有+AB=，求矩陣8.

-1-342

35

解：A3=-A7'

42

35(351-1、

所以8=A-I

42422-3

77

2632

=A-1，又Ai

25-1-1

3

所以8

-1

7.設(shè)矩陣4，計算(Z-TTB.

設(shè)矩陣A=[-1-6],B=L1]

解:

,-25-}

因為A-l=

-7

r-2510-]T51On

[A-//]=—

.3-701J1-211

rO3rO321075i

110750132

r75n

所以/)

2

-75」

11CA—l)'B

32--11

12323

8.已知AX=3,其中A357,B58，求X.

581001

解:運用初等行變換得

12310012310()

357000-2-30

58100010-2-5-501

1231001204—63

0123-10->0I05-52

00-11-210012-1

100-64-1

0105-52

001-12-1

-64-1

即A-15-52

-12-1

由矩陣乘法和轉(zhuǎn)置運算得

-64

X=A''B5-5

-12

12

9.已知AX=3,其中A-1-1

13

A-』53-2....................................................................................................10分

1

-6-

=7..................................................................15分

-3

求解矩陣方程XA=B.

解：由于

121012101Fl0-52'

—>

35010-1-3f[o13-1

12-52

即

353-1

121212T-521F1O-

所以，才=

233523_|[3-1J[-11

0-1-3

11.設(shè)矩陣A=-2-2-7，/是3階單位矩陣，求(/-A)，

_-3-4-8

解：由矩陣減法運算得

運用初等行變換得

113100113100

237010->011-210

349001J|_00-301

113100I10-2-33

->011-210010-301

00-1-1-1100111-1

1001-32

->010-301

00111-1

1-32

即(/-A)r=-301

11-1

1-102

12.設(shè)矩陣A=-121,8=-1,求

2231

解：運用初等行變換得

I-101oo]ri-10100

-121010-011110

223001043-201

1-1010I"1一?0100

T011110f010-5-31

00-1-6-41J|_00164-1

100-4-31

-010-5-31

00164-1

-4-31

即AT=-5-31

64-1

由矩陣乘法得

-4-312--4'

A-'B^-5-31-1=-6

64-117

1021

13.設(shè)矩陣A=-124B=-2，求(2/-AT)3.

3113

T

-100--102

解由于2/-41=2010—-124

_001_311

-200一1-13'-11-3

=020—021=00-1

002241-2-41

11

所以（2/-川）800

-2-4

1-10

14.設(shè)矩陣A-121

223

1-10I100

解：由于-1210110

2230-201

1-101I00

0111-5-31

00-1-664-1

100-4-31

010-5-31

00164-1

-4-31

即A-1-5-31

64-1

-4-311-5

所以Ay-5-312-6

64-159

-13-6-3

15.設(shè)矩陣/-4-2-1，求Al

211

-13—6-3100114107

解由于（4I)-4-2-1010001012

211001211001

114107I101-4-1

00101200I012

0-1-7-20-1300-27

100-130100-130

0-10-2710102-7-1

001012001012

-130

所以2-7-1

012

—113

16.、=1—15，求（I+A)

1-2—1

解

0+10+3

I+A=11+(-1)0+5

20+(-2)0+(-1)

013100105010

[I+A1]=105010■?013100

1-2000-20001

105010105010

>013100>013100

0-2—50—1I0012—11

100-106-5-106-5

010-53-3:(I+A)-x=-53-3

0012-112-11

1001

17.設(shè)矩陣A0-1,B=01，求(BZ)T。

-1212

解：因為

ri01

P0r

BrA0-1

112.3

1

所以由公式可得

F3-21

(BTA)-?=

(-1)X3-2X(-1)]-1

-112

18.設(shè)矩陣A=104，計算(/+A)-1

2-1-1

13.解：因為5分

且(/+A/)=

02-1101002n

0121000104-21

00-23-2100-23-21

002-11

0104-2113分

001-3/21-1/2

r21

所以(/+A)T4-2115分

-3/21-1/2.

矩陣求秩

秩就是通過初等變換后,剩下的不全是0行數(shù)！表達為r(A)

T-11、

例:矩陣20-1的秩是2

J-34,

‘1-11](1-11]PT］、

20-1-02一3-02-3,2行不是0,秩是2

4J10-23)100

J-30,

考題舉例:

111

1.設(shè)A=-2-2-2,貝。(A)=1

333

rr212■-6r

Io2

2.設(shè)矩陣A=,3=01022，計算“BAT+C).

1-20八八

L」002-42

212][11I卜61

解：由于+C=0100-2+22

00220-42

60-6101

=0-2+2220

40-4202

0120

且+C=2001

0200

解方程組：這是每年必考題目!

就是把方程組的系數(shù)寫成相應(yīng)的矩陣，通過初等變換，求出方程組的解。

例如:

求下列線性方程組的一般解:

規(guī)定必須掌握

1

陽=產(chǎn)+1

所以一般解為（其中當(dāng)是自由未知量）

4

%2=產(chǎn)+1

增廣矩陣就是系數(shù)和等號后面的數(shù)一起構(gòu)成的矩陣,

2X]—5光2+2元3—3

<再+2X2一/=3

-2X1+14%26尤3=12

2-52

的系數(shù)矩陣是12-1，記為力，僅僅是系數(shù)構(gòu)成的矩陣。

-214-6

2-52-3

增廣矩陣是12-13,記為耳，加了后面一列。

-214-612

就是多了等號后面一列

方程組有解的條件：

線性方程組AX=b有解的條件是,他的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩

即秩（⑷二秩（不，也可以寫成"4）="萬

注意書上的定理,容易拿來考考填空：

若線性方程組AX=匕滿足秩3）=秩（N）=r,則當(dāng)「="時，線性方程組有解

且只有惟一解；當(dāng)「〈〃時，線性方程組有無窮多解。

通俗說法線性方程組AX=匕有唯一解的條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩

等于未知量個數(shù)，

解的環(huán)節(jié)：

①寫出增廣矩陣，

②進行初等變換，規(guī)定主對角全是1或0,主對角是1的那一列其余元素全是0.

③根據(jù)矩陣結(jié)果寫出解組。（注意表白自由未知量）

自由未知量可以理解為參數(shù)，例如：上題的解是

'1,

西=在+1

■:（其中當(dāng)是自由未知量）

%=§七+1

1,

X.=-C+1

19

也可以寫成，設(shè)x,=C,解就可以寫成＜*2=［。+1,其中C是任意常數(shù)。

（這里說明這個方程組的有很多解，不僅僅是一組數(shù)解，寫成沒有C的形式更簡

潔。）

再看例子

例：求下列線性方程組的一般解：

一%2+%4=2

<X-2X2+%+4X4=3

2%,—3X2+￡+5X4=5

解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形

-1012]-1一1012]

11131—?0-1131

|2

-315一］131J00000

-10-1-2b

-01-1-3-1

00000_

故方程組的一般解為:

Xi=x,-r2j-t+1

（J,?小是自由未知最）

.八-,rs-|-3.ri-1

注意理解最后的矩陣還原。

齊次型線性方程組

有非0解（就是所有都不是0）的條件是秩（A）<〃，也就是系數(shù)矩陣A的秩小于

行數(shù)（未知量的個數(shù)）

15.設(shè)齊次線性方程組

xx—3X2+2X3=0

<2否-5X2+3X3=0,

3X1-8X2+AX3=0

X為什么值時,方程組有非零解？在有非零解時求其一般解.

解：由于

1-321-32

2-53-?01-1

3-8201A-6

1-3210-1

01-1-?01-1

002-5002-5

所以，當(dāng)2=5時方程組有非零解.

一般解為

~=七（其中專為自由未知量）

產(chǎn)2=X3

有解的條件是最下面一行必須全為0,所以4-5=0!

考題舉例

1.求當(dāng)幾取何值時，線性方程組

2玉-x2+x3+x4-1

<X1+2X2-X3+4X4-2

$+7X2-4X3+1lx4=2

有解，并求出一般解.

解:將方程組的增廣矩陣化為階梯形

2-111112-142

12-142-0-53-7-3

17-411|_°5-372-2

12-142

f0—53-7-3

00002-5

當(dāng)X=5時,方程組有解，且方程組的一般解為

416

—匕

其中￡,乙為自由未知量.

337

2.求線性方程組

3%,-8X2-4X3-x4=0

一2玉+%2-+2乙——1

一網(wǎng)一2%2—6%3+2=2

的一般解.

解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形

1-3-2-111-3-2-11

3-8-4-100122-3

一

-21-4210-5-803

-1-2-6120-5-803

1-3-2

012

002

000

此時齊次方程組化為

**2

x3+5X4=-6

得方程組的一般解為

x[=16+15X4

<Jr2=9+8X4

x3=-6-5尢4

其中乙是自由未知量.

3.求解線性方程組的一般解

$-3X2+2X3+x4=0

v-X1+2%2-尤3+2%4=0

x}-2X2+3X3-2X4=0

解：將方程組的系數(shù)矩陣化為階梯形

1

-1

1

100-8

->010-3

0010

一般解為

$=8X4

。。?0=3匕（乙是自由未知量）

%3=°

4.求當(dāng)4取何值時，線性方程組

X]+工2—2犬3-工4二-2

<2xl+工2+7X3+3X4=6

9x}+7元2+4犬3+工4=4+1

有解,在有解的情況下求方程組的一般解.

解將方程組的增廣矩陣化為階梯形

11-2-1-21r11-2-1-21「11-2-1-2

21736->0-111510-?0-111510

97412+1J[o-222102+1900002-1

所以，當(dāng)2=1時，方程組有解，且有無窮多解,

10948

―01-11-5-10

00000

玉七-為其中當(dāng)，是自由未知量?

一般解為：<=8-9z

X-)=—10+11/+

X1+%+=0

5.求線性方程組\2X]-x2+8當(dāng)+3%4=0的一般解.

2%1+3X2-x4=0

-1110一1110-031

A=2-183->0-363f01-2-1

230-101-2-10000

一般解為：其中與，%是自由未知量.

x2=2X3+x4

王+2元3—匕=0

6.求線性方程組｛-匹+&-3七+2匕=0的一般解.

2x}-x2+5X3-3X4=0

解：由于系數(shù)矩陣

102-11「102-1

A=-11-32-0-11

2-15-3J[Q-11-1

102-1

-4-01-11

0000

所以一般解為2七+為

（其中與，工4是自由未知量）

x2=x3-x4

X）+x2+x3=1

7.當(dāng)X取何值時,線性方程組，2X,+X2-4X3=A有解？并求一般解.