第六節(jié)方向?qū)?shù)與梯度

第六節(jié)方向?qū)?shù)與梯度第1頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三實(shí)例：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱．假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比．在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問(wèn)這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行．一、問(wèn)題的提出第2頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、方向?qū)?shù)的定義回顧函數(shù)在點(diǎn)處關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)定義：第3頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（如圖）討論函數(shù)在一點(diǎn)

沿任意方向的變化率問(wèn)題就是方向?qū)?shù)問(wèn)題．第4頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三當(dāng)沿著趨于時(shí)，是否存在？第5頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1、方向?qū)?shù)的定義第6頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

依定義，函數(shù)在點(diǎn)沿著軸正向、軸正向的方向?qū)?shù)分別為.

沿著軸負(fù)向、軸負(fù)向的方向?qū)?shù)分別是：.

第7頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2、方向?qū)?shù)的計(jì)算第8頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為第9頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三注：(1)僅由函數(shù)在一點(diǎn)可偏導(dǎo)，未必可推出函數(shù)在該點(diǎn)處沿各方向的方向?qū)?shù)存在.此例同時(shí)也說(shuō)明函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)也未必能推出函數(shù)在該點(diǎn)處沿各方向的方向?qū)?shù)都存在.第10頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(2)函數(shù)在一點(diǎn)處沿各方向的方向?qū)?shù)都存在，也未必在該點(diǎn)處連續(xù).此例同時(shí)也說(shuō)明函數(shù)可微并不是函數(shù)沿任一方向的方向?qū)?shù)存在的必要條件.第11頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解這里方向即為,

第12頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3、方向?qū)Ш瘮?shù)

若在區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)都存在，則是上的一個(gè)函數(shù)，稱為方向?qū)Ш瘮?shù).

第13頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4、推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義第14頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第15頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第16頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三*5、方向?qū)?shù)的幾何意義：是函數(shù)沿方向的變化率,第17頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三*6、二階方向?qū)?shù)如果在沿仍有方向?qū)?shù),就把它稱為在沿的二階方向?qū)?shù)并記作.第18頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第19頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二階方向?qū)?shù)幾何意義：，則說(shuō)明在的近旁的切線斜率沿方向單調(diào)增加，曲線為下凸；，的切線斜率沿方向單調(diào)減少，曲線為上凸.第20頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三、梯度的概念

1、定義第21頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三方向：f(x,y)

變化率最大的方向模:

f(x,y)

的最大變化率之值第22頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系2)在點(diǎn)處沿與梯度垂直方向的方向?qū)?shù)等于零.3)在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)等于梯度在方向上的投影.第23頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三在幾何上表示一個(gè)曲面曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影如圖等高線梯度為等高線上的法向量第24頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3、梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.第25頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解由梯度計(jì)算公式得故第26頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4、梯度應(yīng)用實(shí)例第27頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系（注意方向?qū)?shù)與一般所說(shuō)偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）（注意梯度是一個(gè)向量）五、小結(jié)第28頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1、方向?qū)?shù)的概念（注意方向?qū)?shù)與一般所說(shuō)偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）五、小結(jié)二元函數(shù)

f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)沿方向(方向角為)的方向?qū)?shù)為:三元函數(shù)

f(x,y,z)在點(diǎn)P(x,y,z)沿方向(方向角為)的方向?qū)?shù)為:第29頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2、梯度的概念（注意梯度是一個(gè)向量）二元函數(shù)

f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的梯度為:三元函數(shù)

f(x,y,z)在點(diǎn)P(x,y,z)的梯度為:第30頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在可微梯度在方向

上的投影.第31頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三思考題第32頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期三思考題解答第33頁(yè)