蘇教版-必修三-第二章 統(tǒng)計-2.4 線性回歸方程 全市獲獎

《線性回歸方程》素材一、學(xué)法指導(dǎo)利用樣本數(shù)據(jù)的情況估計總體數(shù)據(jù)的情況，這是統(tǒng)計的基本思想．線性回歸方程是從樣本中各個數(shù)據(jù)之間的相關(guān)關(guān)系入手，來分析驗證樣本中各個數(shù)據(jù)的特點規(guī)律，進(jìn)而對總體數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系作出估計．因此學(xué)好線性回歸方程，要在進(jìn)一步體會統(tǒng)計的基本思想和方法的基礎(chǔ)上，還要回憶我們已學(xué)過的兩個變量之間存在的函數(shù)關(guān)系（即確定性關(guān)系）．學(xué)習(xí)本節(jié)時，首先要知道變量相互關(guān)系有兩種：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系，如正方形的邊長與面積的關(guān)系；另一類是變量確實存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有隨機性的．例如，某位同學(xué)的“物理成績”與“數(shù)學(xué)成績”之間的關(guān)系，我們稱它們?yōu)橄嚓P(guān)關(guān)系；其次是如何判斷和分析具有相關(guān)關(guān)系的兩個或多個變量，也就是如何尋找具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量中非確定性關(guān)系的某種確定性．本節(jié)的難點問題是建立回歸直線方程的思想方法，其關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看各點與直線的距離最小”，即最貼近已知的數(shù)據(jù)點，最能代表變量x與y之間的關(guān)系，這就是“最小二乘法”的思想．另外還要注意，進(jìn)行回歸分析，通常先進(jìn)行相關(guān)性檢驗，若能確定兩個變量具有線性相關(guān)性，再去求其線性回歸方程，否則所求方程毫無意義．二、知識點概要1．相關(guān)關(guān)系所謂相關(guān)關(guān)系是自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定的隨機性．對相關(guān)關(guān)系的理解應(yīng)注意以下幾點：（1）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同．因為函數(shù)關(guān)系是一種非常確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量之間的關(guān)系．而函數(shù)關(guān)系可以看成是兩個非隨機變量之間的關(guān)系．因此，不能把相關(guān)關(guān)系等同于函數(shù)關(guān)系．（2）函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，它也可能是伴隨關(guān)系．（3）在現(xiàn)實生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系，如何判斷和描述相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計學(xué)發(fā)揮著非常重要的作用．變量之間的相關(guān)關(guān)系帶有不確定性，這需要通過收集大量的數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，才能作出科學(xué)的判斷．2．回歸分析對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法叫做回歸分析．通俗地講，回歸分析就是尋找相關(guān)關(guān)系中非確定性關(guān)系的某種確定性．3．散點圖我們把一組具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點（即樣本點）畫在坐標(biāo)系內(nèi)，得到的圖形叫做散點圖．利用散點圖可以判斷變量之間有無相關(guān)關(guān)系，所以判斷兩個變量之間是否存在某種關(guān)系時，必須從散點圖入手．畫出散點圖，可以作出如下判斷：（1）如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系，即說明變量之間具有函數(shù)關(guān)系；（2）如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近，則說明變量之間具有相關(guān)關(guān)系；（3）如果所有的樣本點都落在某一直線附近，則變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系．4．正相關(guān)、負(fù)相關(guān)線性相關(guān)關(guān)系又分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)．正相關(guān)是指兩個變量具有相同的變化趨勢，即從整體上來看一個變量會隨另一個變量變大而變大．從散點圖可以看出因變量隨自變量的增大而增大，圖中的點分布在左下角到右上角的區(qū)域．負(fù)相關(guān)是指兩個變量具有相反的變化趨勢，即從整體上來看一個變量會隨另一個變量變大而變小．負(fù)相關(guān)的散點圖中的點分布在左上角到右下角的區(qū)域．由此，我們得出判斷兩個變量之間到底是不是具有線性相關(guān)關(guān)系，可以用“數(shù)據(jù)”說話，畫出散點圖更具有說服力．5．回歸直線和回歸直線方程如果散點圖中的點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系．這條直線叫做這兩個變量的回歸直線，回歸直線的方程叫做回歸方程．這里注意，只有散點圖中的點呈條狀集中在某一直線周圍的時候，才可以說兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，才有兩個變量的正線性相關(guān)和負(fù)線性相關(guān)的概念，才可以用回歸直線來描述這兩個變量之間的關(guān)系．（1）求回歸直線方程的思想方法觀察散點圖的特征，發(fā)現(xiàn)各點大致分布在一條直線的附近．類似圖中的直線可畫出不止一條，比如可以連接最左側(cè)點和最右側(cè)點得到一條直線，也可以讓畫出的直線上方的點和下方的點數(shù)目相等，……，但這些能保證各點與此直線在整體上是最接近的嗎？它們雖然都有一定的道理，卻總讓人感到可靠性不強．那么，其中的哪一條直線最能代表變量x與y之間的關(guān)系呢？實際上求回歸直線方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看各點與此直線的距離最小”，即最貼近已知的數(shù)據(jù)點，最能代表變量x與y之間的關(guān)系．最能代表變量x與y之間關(guān)系的直線的特征是直線與這n個點的離差的平方和最?。?）回歸直線方程的求法根據(jù)最小二乘法的思想和公式，利用計算器或計算機，可以方便地求出回歸方程．利用計算機求回歸方程（Excel軟件）：在Excel的工作表中添加“圖表”得到散點圖后，用鼠標(biāo)選中散點，單擊鼠標(biāo)右鍵，單擊“添加趨勢線”，在出現(xiàn)的對話框中單擊類型標(biāo)簽，選擇“線性”，單擊“選項”標(biāo)簽，選中“顯示公式”單選框，最后點擊“確定”即可．利用科學(xué)計算器求回歸方程：大多科學(xué)計算器都有回歸計算（REG模式），但不同的計算器參數(shù)可能不同，這里不作詳細(xì)介紹．一般在輸入數(shù)據(jù)后按相應(yīng)按鍵可直接得到a和b，這樣就可以寫出回歸方程，非常簡便，同學(xué)們在使用前一定要看懂計算器的使用說明書．回歸直線方程在現(xiàn)實生活與生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用．應(yīng)用回歸直線方程可以把非確定性問題轉(zhuǎn)化成確定性問題，把“無序”變?yōu)椤坝行颉?，并且可根?jù)情況進(jìn)行估測、補充．因此，學(xué)過回歸直線方程以后，應(yīng)能積極應(yīng)用回歸直線方程解決一些相關(guān)的實際問題，并進(jìn)一步體會回歸直線的應(yīng)用價值．（3）相關(guān)系數(shù)與相關(guān)性檢驗給定，只要不全相等，就能求出一條回歸直線，但它有無意義可是一個大問題．由于根據(jù)散點圖看數(shù)據(jù)點是否大致在一直線附近主觀性太強，為此可以利用樣本相關(guān)系數(shù)來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強弱．樣本相關(guān)系數(shù)： 叫做變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)，簡稱相關(guān)系數(shù)，用它來衡量它們之間的線性相關(guān)程度．，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越高；越接近于0，相關(guān)程度越低．統(tǒng)計學(xué)認(rèn)為，相關(guān)變量的相關(guān)系數(shù)：時，兩變量負(fù)相關(guān)很強；時，兩變量正相關(guān)很強；或時，兩變量相關(guān)性一般；時，兩變量相關(guān)程度很弱．三、特別提示1．相關(guān)關(guān)系的理解．借助實例（如數(shù)學(xué)成績與物理成績之間的關(guān)系，糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系，吸煙與健康之間的關(guān)系，父母身高與子女身高之間的關(guān)系等）明確相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同，它是一種非確定性的關(guān)系，即一個變量取值一定時，另一個變量的取值帶有一定的隨機性．相關(guān)關(guān)系包括正相關(guān)和負(fù)相關(guān)．2．相關(guān)關(guān)系的研究方法：散點圖法和寫出回歸直線方程，其中3．線性回歸思想：把相關(guān)關(guān)系（不確定性關(guān)系）轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系（確定性關(guān)系）．當(dāng)兩個具有相關(guān)關(guān)系的變量近似滿足一次函數(shù)關(guān)系時，所進(jìn)行的回歸分析又叫線性回歸分析，所求的函數(shù)關(guān)系就是線性回歸方程．4．求線性回歸直線方程前應(yīng)對數(shù)據(jù)進(jìn)行線性相關(guān)分析，其關(guān)鍵是求，由于計算量大，因此計算過程要注意分層次、按步驟進(jìn)行．四、線性回歸中的相關(guān)系數(shù)線性回歸問題在生活中應(yīng)用廣泛，求解回歸直線方程時，應(yīng)該先判斷兩個變量是否是線性相關(guān)，若相關(guān)再求其直線方程，判斷兩個變量有無相關(guān)關(guān)系的一種常用的簡便方法是繪制散點圖；另外一種方法是量化的檢驗法，即相關(guān)系數(shù)法．下面為同學(xué)們介紹相關(guān)系數(shù)法．（一）關(guān)于相關(guān)系數(shù)法統(tǒng)計中常用相關(guān)系數(shù)r來衡量兩個變量之間的線性相關(guān)的強弱，當(dāng)不全為零，yi也不全為零時，則兩個變量的相關(guān)系數(shù)的計算公式是：r就叫做變量y與x的相關(guān)系數(shù)（簡稱相關(guān)系數(shù)）．說明：（1）對于相關(guān)系數(shù)r，首先值得注意的是它的符號，當(dāng)r為正數(shù)時，表示變量x，y正相關(guān)；當(dāng)r為負(fù)數(shù)時，表示兩個變量x，y負(fù)相關(guān)；（2）另外注意r的大小，如果，那么正相關(guān)很強；如果，那么負(fù)相關(guān)很強；如果或，那么相關(guān)性一般；如果，那么相關(guān)性較弱．下面我們就用相關(guān)系數(shù)法來分析身邊的問題，確定兩個變量是否相關(guān)，并且求出兩個變量間的回歸直線．（二）典型例題剖析例1測得某國10對父子身高（單位：英寸）如下：父親身高（）60626465666768707274兒子身高（）6670（1）對變量y與x進(jìn)行相關(guān)性檢驗；（2）如果y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程；（3）如果父親的身高為73英寸，估計兒子身高．解：（1），，，，，，，，所以 ，所以y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系．（2）設(shè)回歸直線方程為，則，．故所求的回歸直線方程為．（3）當(dāng)英寸時，，所以當(dāng)父親身高為73英寸時，估計兒子的身高約為69.9點評：回歸直線是對兩個變量線性相關(guān)關(guān)系的定量描述，利用回歸直線，可以對一些實際問題進(jìn)行分析、預(yù)測，由一個變量的變化可以推測出另一個變量的變化．這是此類問題常見題型．例210名同學(xué)在高一和高二的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦卤恚?471726876736770657476757170767965776272其中x為高一數(shù)學(xué)成績，y為高二數(shù)學(xué)成績．（1）y與x是否具有相關(guān)關(guān)系；（2）如果y與x是相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程．解：（1）由已知表格中的數(shù)據(jù)，利用計算器進(jìn)行計算得，，，，． ，． ．由于，由知，有很大的把握認(rèn)為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系．（2）y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)回歸直線方程為，則， ．所以y關(guān)于x的回歸直線方程為．點評：通過以上兩例可以看出，回歸方程在生活中應(yīng)用廣泛，要明確這類問題的計算公式、解題步驟，并會通過計算確定兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系．五、方方面面評說回歸直線方程（一）回歸分析對于線性回歸分析，我們要注意以下幾個方面：（1）回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法．兩個變量具有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提．（2）對于關(guān)系不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點圖，在圖上看它們有無關(guān)系，關(guān)系的密切程度，然后再進(jìn)行回歸分析．（3）通過散點圖的觀察，一般地，若圖中數(shù)據(jù)大致分布在一條直線附近，那么這兩個變量近似成線性相關(guān)關(guān)系．（4）求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點圖大至呈線性時，求出的回歸直線方程才有實際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義．（二）回歸直線方程一般地，設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，且對應(yīng)于n組觀測值的n個點大致分布在一條直線的附近，求在整體上與這n個點最接近的一條直線，記此直線方程為（1）這里在y的上方加記號“＾”，是為了區(qū)分的實際值y，表示當(dāng)x取值時，相應(yīng)的觀察值為，而直線上對應(yīng)于的縱坐標(biāo)是．（1）式叫做對x的回歸直線方程，a，b叫做回歸系數(shù)．（三）求回歸直線方程的思想方法在觀察散點圖特征時，我們會發(fā)現(xiàn)有時各點大致分布在一條直線的附近，且畫出不止一條類似的直線，而最能代表變量x與y之間關(guān)系的直線的特征，即為n個離差的平方和最?。O(shè)所求直線方程為，其中a，b是待定系數(shù)，則．于是得到各個離差．顯然，離差的符號有正有負(fù)，若將它們相加會造成相互抵消，故采用n個離差的平方和，采用最小二乘法可求出使為最小值時的a和b．，，其中，．（四）求回歸直線方程的一般步驟（1）作出散點圖，判斷散點是否在一條直線附近；（2）如果散點在一條直線附近，用公式求出a，b，并寫出回歸直線方程．注：計算a，b時由于計算量較大,所以在計算時應(yīng)借助技術(shù)手段（如計算器或計算機），認(rèn)真細(xì)致，謹(jǐn)防計算中產(chǎn)生錯誤．例在10年期間，某城市居民收入與某種商品的銷售額之間的關(guān)系見下表．第幾年城市居民收入（億元）某商品銷售額（萬元）12345678910（1）畫出散點圖；（2）如果散點圖中各點大致分布在一條直線的附近，求x與y之間的回歸直線方程；（3）試預(yù)測居民年收入50億元時這種商品的銷售額．解題指導(dǎo)：只有散點圖大致表現(xiàn)為線性時，求回歸直線方程才有實際