雙減背景下一題多解與多題一解思想的滲透 論文

雙減背景下一題多解與多題一解思想的滲透摘要：初中數(shù)學(xué)注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思維和能力的培養(yǎng)，“一題多解與多題一解”的數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮巨大作用，利用這種思想，可以有效地幫助學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)發(fā)散思維和提高其歸納總結(jié)能力。教師在教學(xué)中應(yīng)認(rèn)識到一題多解的重要性,并結(jié)合不同的數(shù)學(xué)題型,積極組織學(xué)生開展一題多解教學(xué)活動,拓展學(xué)生的視野,促進(jìn)其解題技能的進(jìn)一步提升。本文以一道中考復(fù)習(xí)題為例，淺談如何在初中教學(xué)中滲透“一題多解與多題一解”的數(shù)學(xué)思想。關(guān)鍵詞：雙減，一題多解，多題一解，發(fā)散思維1引言近年來所提出的新課標(biāo)教學(xué)理念要求教師有意識地激發(fā)學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性，使學(xué)生在積極主動的狀態(tài)下探索知識的聯(lián)系，為學(xué)生的的思維發(fā)散提供情境、條件和機(jī)會，從而培養(yǎng)學(xué)生濃厚的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果只是簡單地以多做題來提高解題能力，面對越來越多解決不完的數(shù)學(xué)問題，題海戰(zhàn)術(shù)只會讓越來越多的學(xué)生失去對數(shù)學(xué)的興趣，所以如何提高學(xué)生的解題能力，把所學(xué)的不同知識聯(lián)系起來顯得尤為重要。現(xiàn)如今，在“雙減”的背景下，更需要我們在如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，自主合作探究，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力上找到合適的辦法，而“一題多解與多題一解”的思想則是有效指導(dǎo)學(xué)生達(dá)到事半功倍的好方法。本文通過探究一道中考復(fù)習(xí)題的幾種不同解法，歸納和總結(jié)出如何利用題目中的線索來發(fā)散思維，讓學(xué)生體會知識間的互相轉(zhuǎn)化，以及拓展與其有相似方法的復(fù)習(xí)題，來闡述在日常教學(xué)過程中，如何通過發(fā)散學(xué)生思維來滲透“一題多解與多題一解”的思想。第1頁，共7頁2原題呈現(xiàn)如圖：已知矩形ABCD，tanBAC4，BEAC5交AC于E點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，連接CF交BE于H點(diǎn)，過F作FGFC交AC于P點(diǎn)，交AD于G點(diǎn)，若FP=FH，求BF的值。AF3解法探究及變式3.1解法一：利用“一線三等角”，構(gòu)造全等或相似解：過P與H分別作PMAB,HNAB，由FP=FH，且FGFC，可易得VFPM@VHFN，再由tanBAC4，可設(shè)PM4a，AM5a，BN4b，5NH5b，再由全等可得MFNH5b，NFPM4a，即AFAMMF55b，BFBNNF44a所以BF4。AF5分析：對于tanBAC4，我們常用的思路是找一個與之相等的角進(jìn)行5轉(zhuǎn)換，或者構(gòu)造垂直，而對于FP=FH，且FGFC，首先想到的可能是連接PH，構(gòu)造等腰直角三角形，也可以利用作垂直構(gòu)造“一線三等角”得到全等的同時也構(gòu)造出與BAC有相等角的RtBHN，并在計(jì)算的時候“巧設(shè)未知數(shù)”最后利用全等轉(zhuǎn)化，從而解決問題。變式：將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______.分析：涉及到求坐標(biāo)，自然想到過C點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，過CCEx軸，再由正方形想構(gòu)造“一線三等角”，所以再過A作AFx軸，再由全等即可求出答案。第2頁，共7頁總結(jié)：在日常的教學(xué)中，我們要注重對線索條件的靈活運(yùn)用，除了注重模型的運(yùn)用外，也要注重模型的變化，如這里的“一線三等角”不只是直角而可以是任意角，如45。、60。也可以，所以在不同的題目當(dāng)中，輔助線的做法也不一樣；類似的，像“同（等）角的余角相等”也可將直角變?yōu)槿我饨侨プC明角相等，引導(dǎo)他們由特殊到一般的思維的轉(zhuǎn)變。我們需要通過這道題引導(dǎo)學(xué)生，不要盲目教條的去記方法，而是讓他們知道有時候結(jié)論只是一個特例，我們更應(yīng)該學(xué)會將它一般化，不可讓學(xué)生形成思維定式。另外，“巧設(shè)未知數(shù)”也是很多同學(xué)所薄弱的，有些題目會因?yàn)槲粗獢?shù)設(shè)的不好，導(dǎo)致計(jì)算麻煩，答案算不對，費(fèi)時又費(fèi)力，這也是需要我們在平時的教學(xué)與解題中發(fā)現(xiàn)并滲透的。3.2解法二：利用“四點(diǎn)共圓”解：由PFHPEH90，可得FHEP四點(diǎn)共圓，連接PH，則VFPH為等腰直角三角形，連接EF，則FEHFPH45，F(xiàn)EPFHP45，可得EF是PEH的角平分線，所以過F分別作FMAC,FNBE,且可得FN=FM，再由VAFM∽VFBN，得BFFNFM4.AFAMAM5分析：在第一種方法中，大部分同學(xué)容易連接PH，得到等腰三角形，但后面可能就沒有思路，如能聯(lián)系題目中的條件，敏銳的發(fā)現(xiàn)FHEP四點(diǎn)共圓，以及總結(jié)過四點(diǎn)共圓常見的結(jié)論是得到對角互補(bǔ)或者連接對角線構(gòu)造圓周角相等，自然會連接EF，得到FEHFEP45，45一般考慮構(gòu)造等腰直角三角形，角平分線一般考慮角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，故過F分別作垂線，并得到相似，再由正切值的條件解決問題。第3頁，共7頁變式：已知正方形ABCD，點(diǎn)E、F分別為AB，BC的中點(diǎn)，連接AF，DE交于G點(diǎn)，連接BD交AF于H點(diǎn)，連接BG，求證：BG2AGDG分析：根據(jù)要證的結(jié)論，我們轉(zhuǎn)化為AGBG,從而定位到證明VAGB∽VBGD，由于BGDG是證明對應(yīng)邊成比例，故想通過兩角相等來證明相似，由正方形ABCD和點(diǎn)E、F分別為AB，BC的中點(diǎn)，可易得VABF@VDAE,由此可得DEAF,則與上一題類似，可得BEGF四點(diǎn)共圓，連接EF可得VBEF為等腰直角三角形，利用圓周角的轉(zhuǎn)化可證得EGBEFB45,BGFBEF45,故可得AGBBGD135,再由GABABG45,GBDABG45,可得BAGDBG，故VAGB∽VBGD，故得證。總結(jié)：在日常教學(xué)中，要想做到一題多解，一方面需要我們老師平時的多積累多總結(jié)，另一方面需要我們學(xué)會站在學(xué)生的角度出發(fā)，盡量用學(xué)生的思路來引導(dǎo)他們解決不能解決的問題。這就要求我們需要注重基礎(chǔ)知識點(diǎn)的教學(xué)，以及一些常見條件的轉(zhuǎn)化，如：遇角平分線，可作垂線；遇45，可構(gòu)造等腰直角三角形；遇對角互補(bǔ)四點(diǎn)共圓，考慮找圓周角相等構(gòu)造相似；遇圓周角相等四點(diǎn)共圓，可考慮對角互補(bǔ)或另一組三角形相似；若想利用相似證明邊的關(guān)系，考慮用兩角證明相似；若想由相似證明角相等，則考慮兩邊夾一角證明相似；以及類似于同（等）角的余角相等這樣的等量代換等等，在教學(xué)中要學(xué)會引導(dǎo)學(xué)生從條件中找到線索，并善于將不同條件在不同題目中的應(yīng)用總結(jié)起來，這樣對于學(xué)生思維的培養(yǎng)，一題多解及多題一解能力的培養(yǎng)，具有重要的意義。第4頁，共7頁3.3解法三：由相似構(gòu)造“acb”證明線段相等c解：由FGFC，可得AGPBFH，再由BAGAEB90，可得GAPFBH，故VAGP∽VBFH，故AGBFGP，過F作FM//AG，則FHVAGP∽VMFP，所以AGFMGP，再由FP=FH，可得FPAGGPGPAG，所以可得BF=FM，故BFFHFPFMBFFMAF4。AF5分析：由于本題中有很多的垂直關(guān)系，故想利用“同（等）角的余角相等”，來找到一些相等的角，從而定位到VAGP∽VBFH，由于是由兩角相等得到的相似，從而得到邊成比例的結(jié)論，并發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)了我們需要的BF，另一方面由GP，及FP=FH，想轉(zhuǎn)化為GP，故想到作平行線構(gòu)造VAGP∽VMFPFHFP，從而構(gòu)造出AGGPGPAG，并最后解決問題。BFFHFPFM變式：已知VABC為等腰直角三角形，ACB90，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，連接AD，E點(diǎn)為AD上一點(diǎn)，且BEDDBE，求證AE=CF.分析：由BEDDBE，可得BD=ED，又點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則BD=ED=CD，則可證CEBE,所以BCECBE90,BCEFCE90，可得FCEDBEBEDAEF，從而可證VAEF∽VACE，所以AFAEEF,題目中要證明AEACCEAE=CF，故聯(lián)想到若能將比例式轉(zhuǎn)化為AFAEAF或CF者AECF,則都可證明結(jié)論，但前者AF可由VAEF∽VACE得到比例式，ACACAE第5頁，共7頁但AF不易由已知條件得到轉(zhuǎn)化，故轉(zhuǎn)為后者，同樣AE可由VAEF∽VACECFAC得到轉(zhuǎn)化，CF由VABC為等腰直角三角形，可轉(zhuǎn)化為CF，故可轉(zhuǎn)化到ACBCVCEF∽VBCF,從而得到EFCECF,故AEEFCFCF,故可證AE=CF.BCACCEBCAC總結(jié)：很多同學(xué)可能會狹隘的認(rèn)為多題一解中的題目題干，可能會出現(xiàn)類似的條件或者圖形，或者只是改變其中的數(shù)據(jù)，實(shí)則不然，可能兩道毫不相干的題目，在某一個解題過程中，用了相同的思路，我們都可以認(rèn)為是多題一解。如在這兩道題中，都利用了兩組不同相似有共同的對應(yīng)邊成比例，從而建立起等量關(guān)系，然后證明了線段相等，我們也可以認(rèn)為是多題一解，這兩道題的解法也為我們在幾何題中證明線段相等，提供了一種新的思路。通過這兩道題的解法，也要求我們在平時的教學(xué)中，要善于對題目進(jìn)行總結(jié)，把題目中的難點(diǎn)重點(diǎn)提煉出來，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，學(xué)會從結(jié)果倒推條件，注重對方法的積累，對于不同的條件具有至少一種的解決方法。4結(jié)束語本文只以一道例題對多題一解與一題多解作了簡單的闡述，一題多解與多題一解的例題還有很多，需要我們在實(shí)際教學(xué)中有針對性、有意識地去探索、研究和分析，善于將我們平時的例題與練習(xí)題作為“一題多解與多題一解”的原型來拓展開來，當(dāng)然，我們也不能一味的為了追求一題多解，為了體現(xiàn)一種解法的巧妙，而故意設(shè)置更為復(fù)雜的解法，這樣既不利于學(xué)生的學(xué)習(xí)，也不利于學(xué)生自信心的培養(yǎng)。我們應(yīng)該在平時的解題教學(xué)時，還是要在做好正常的雙基教學(xué)后，再發(fā)散他們的思維，對于不同的方法，學(xué)會讓他們自己去比較、討論，從而找到最簡便最富有新意的解題方法，有利于加深他們對多種方法的真正理解，真正培養(yǎng)學(xué)生的