數(shù)學(xué)九年級上冊24.1.4 圓周角

1/1624.1圓的有關(guān)性質(zhì)24.1.4圓周角一、教學(xué)目標【知識與技能】理解圓周角的概念。探索圓周角與同弧所對的圓心角之間的關(guān)系，并會用圓周角定理及推論進行有關(guān)計算和證明.【過程與方法】經(jīng)歷探索圓周角定理的過程，初步體會分類討論的數(shù)學(xué)思想，滲透解決不確定的探索型問題的思想和方法，提高學(xué)生的發(fā)散思維能力.【情感態(tài)度與價值觀】通過積極引導(dǎo)，幫助學(xué)生有意識地積累活動經(jīng)驗，獲得成功的體驗.二、課型新授課三、課時1課時。四、教學(xué)重難點【教學(xué)重點】 圓周角定理及其推論的探究與應(yīng)用.【教學(xué)難點】 圓周角定理的證明中由一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法以及圓周角定理及推論的應(yīng)用.五、課前準備 課件、圖片、直尺等.六、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課教師問：什么叫圓心角？指出圖中的圓心角？（出示課件2）學(xué)生答：頂點在圓心的角叫圓心角,∠BOC.教師問：如圖，∠BAC的頂點和邊有哪些特點?學(xué)生答：∠BAC的頂點在☉O上，角的兩邊分別交☉O于B、C兩點.（二）探索新知探究一圓周角的概念頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.（出示課件4）教師強調(diào)：兩個條件必須同時具備，缺一不可.出示課件5：練一練：下列各圖中的∠BAC是否為圓周角并簡述理由.學(xué)生觀察，思考后口答：⑴是；⑵不是，頂點不在圓上；⑶不是，邊AC沒有和圓相交；⑷不是，頂點不在圓上；⑸是；⑹是.探究二圓周角定理及其推論教師問：如圖，連接BO、CO，得圓心角∠BOC.試猜想∠BAC與∠BOC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系.學(xué)生測量后猜想：出示課件7-10：分圓心O在∠BAC的一邊上；圓心O在∠BAC的內(nèi)部；圓心O在∠BAC的外部三種情況進行證明.⑴圓心O在∠BAC的一邊上（特殊情形）.師生共同解答.證明：∵OA=OC，∴∠A=∠C，而∠BOC=∠A+∠C，∴∠BAC=∠C=∠BOC.⑵圓心O在∠BAC的內(nèi)部.教師提示：此題的證明方法與（1）不同，但可以轉(zhuǎn)化成（1）的基本圖形進行證明，證明過程請學(xué)生們討論完成.證明：連接AO并延長交⊙O于D.⑶圓心O在∠BAC的外部.教師提示：（3）的證明方法與（1）不同，但可以轉(zhuǎn)化成（1）的基本圖形進行證明，證明過程請學(xué)生們討論完成.證明：連接AO并延長交⊙O于點D.教師歸納總結(jié)：圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.（出示課件11）教師問：如圖，OB，OC都是⊙O的半徑，點A,D是上任意兩點，連接AB，AC，BD，CD.∠BAC與∠BDC相等嗎？請說明理由.（出示課件12）學(xué)生答：相等.證明：在⊙O中，∵∴∠BAC=∠BDC.教師問：如圖，若∠A與∠B相等嗎？（出示課件13）學(xué)生答：相等.證明：連接OC，OE，OD，OF，∵教師問：反過來，若∠A=∠B，那么成立嗎？學(xué)生答：成立.教師問：若CD是直徑，你能求出∠A的度數(shù)嗎？學(xué)生答：90°.師生共同總結(jié)：圓周角定理的推論：同弧或等弧所對的圓周角相等.（出示課件14）出示課件15：試一試：如圖，點A、B、C、D在☉O上，點A與點D在點B、C所在直線的同側(cè)，∠BAC=35o.(1)∠BOC=o，理由是；(2)∠BDC=o，理由是.學(xué)生思考后口答：⑴70；一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半⑵35；同弧所對的圓周角相等出示課件16：如圖，線段AB是☉O的直徑，點C是☉O上的任意一點（除點A、B外），那么，∠ACB就是直徑AB所對的圓周角，想一想，∠ACB會是怎樣的角？學(xué)生獨立思考后，師生共同解答.解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.又∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.教師歸納：圓周角和直徑的關(guān)系（出示課件17）半圓或直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.出示課件18：例1如圖，AB是☉O的直徑，∠A=80°.求∠ABC的大小.學(xué)生思考后師生共同解答.解：∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-90°-80°=10°.鞏固練習(xí)：（出示課件19）如圖，AB是⊙O的直徑，∠A＝10°，則∠ABC＝______．學(xué)生口答：80°.出示課件20：例2如圖，分別求出圖中∠x的大小.學(xué)生觀察思考后師生共同解答.解：(1)∵同弧所對圓周角相等，∴∠x=60°.(2)連接BF，∵同弧所對圓周角相等，∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.鞏固練習(xí)：（出示課件21）如圖,正方形ABCD的頂點都在☉O上,P是弧DC上的一點,則∠BPC=_____.學(xué)生思考后獨立解答：連接BD,則BD是直徑,∴△BCD是等腰直角三角形,∴∠BDC=45°,∴∠BPC=∠BDC=45°.出示課件22,23：例3如圖，⊙O的直徑AC為10cm，弦AD為6cm.（1）求DC的長；（2）若∠ADC的平分線交⊙O于B,求AB、BC的長．學(xué)生自主思考后師生共同解答.解：(1)∵AC是直徑，∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中，(2)∵AC是直徑,∴∠ABC=90°.∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC.∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC.在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，教師強調(diào)：解題妙招：在圓周角問題中，若題干中出現(xiàn)“直徑”這個條件，則找直徑所對的圓周角，通過構(gòu)造直角三角形來解決.鞏固練習(xí)：（出示課件24）如圖，BD是⊙O的直徑，∠CBD＝30°，則∠A的度數(shù)為()A．30°B．45°C．60°D．75°學(xué)生自主解答：C.探究三圓內(nèi)接四邊形教師出示定義：如果一個多邊形所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓.（出示課件25）出示課件26：如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O為四邊形ABCD的外接圓.教師問：∠A與∠C,∠B與∠D之間有什么關(guān)系？學(xué)生猜想：∠A+∠C=180o，∠B+∠D=180o.教師問：如何證明你的猜想呢？學(xué)生思考后，師生共同解答.（出示課件27）證明：連接OD,OD,∵弧BCD和弧BAD所對的圓心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°.教師歸納總結(jié)：推論：圓內(nèi)接四邊形的對角互補.教師問：圖中∠A與∠DCE的大小有何關(guān)系？（出示課件28）學(xué)生交流后口答：∵弧BCD和弧BAD所對的圓心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°，∵∠BCD＋∠DCE＝180°.∴∠A＝∠DCE.教師歸納總結(jié)：推論：圓的內(nèi)接四邊形的任何一個外角都等于它的內(nèi)對角.（出示課件29）出示課件30：如圖，AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求證：∠FGD＝∠ADC.學(xué)生自主思考后師生共同解答.證明：∵四邊形ACDG內(nèi)接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.鞏固練習(xí)：（出示課件31）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是()A．120°B．100°C．80°D．60°學(xué)生自主思考后獨立解答：A.（三）課堂練習(xí)（出示課件32-27）1.如圖，⊙O中，弦BC與半徑OA相交于點D，連接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，則∠C的度數(shù)是（）A．25°B．27.5° C．30°D．35°2.如圖，點B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，則∠BOD的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．80° D．100°3.判斷.（1）同一個圓中等弧所對的圓周角相等（）（2）相等的弦所對的圓周角也相等（）（3）同弦所對的圓周角相等（）4.已知△ABC的三個頂點在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,則∠AOB=．5.如圖，已知BD是⊙O的直徑，⊙O的弦AC⊥BD于點E，若∠AOD=60°，則∠DBC的度數(shù)為（）A.30°B.40°C.50°D.60°6.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,如∠BOD=130°則∠BCD的度數(shù)是（）A.115°B.130°C.65°D.50°7.如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC.求證：∠ACB=2∠BAC.8.船在航行過程中，船長通過測定角數(shù)來確定是否遇到暗礁，如圖，A、B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A、B兩點的一個圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧AB上任一點C都是有觸礁危險的臨界點，∠ACB就是“危險角”，當船位于安全區(qū)域時，∠α與“危險角”有怎樣的大小關(guān)系？參考答案：1.D2.D解析：圓上取一點A，連接AB，AD，∵點A、B、C、D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°.3.⑴√⑵×⑶×4.166°5.A6.C7.證明：∵∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC.8.解：當船位于安全區(qū)域時，即船位于暗礁區(qū)域外（即⊙O外），與兩個燈塔的夾角∠α小于“危險角”.（四）課堂小結(jié)通過這堂課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些知識點?（五）課前預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)下節(jié)課（24.2.1）的相關(guān)內(nèi)容.七、課后作業(yè)配套練習(xí)冊內(nèi)容八、板書設(shè)計：九、教學(xué)反思：1.這節(jié)課首先是類比圓心角得出圓周角的概念.在探索圓周角與圓心角關(guān)系過程中，要求學(xué)生學(xué)會