第四章正交矩陣

第四章正交矩陣第1頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三2一、的標(biāo)準(zhǔn)正交基和正交矩陣平面上通常選擇坐標(biāo)軸上的單位向量(1,0)和(0,1)組成的所謂標(biāo)架對(duì)于平面上的所有向量進(jìn)行分解.為了研究幾何問題有時(shí)需要旋轉(zhuǎn)這個(gè)標(biāo)架得到新的標(biāo)架,這兩個(gè)向量仍然正交,并且長度為1.這樣的向量組稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基.定義

中的n個(gè)向量的向量組,如果兩兩正交,并且每個(gè)向量的長度為1,則稱為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.

第2頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三3第3頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三4經(jīng)典標(biāo)架繞z軸旋轉(zhuǎn)第4頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三5我們知道一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基必定是一個(gè)線性無關(guān)的向量組,而n+1個(gè)n維向量必定線性相關(guān),故每個(gè)n維向量必定可以用標(biāo)準(zhǔn)正交基線性表示設(shè)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,組成行列式第5頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三6定義如果則稱Q為正交矩陣.第6頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三7對(duì)于正交矩陣Q,所以有正交矩陣等價(jià)定義列向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交基行向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交基第7頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三8例設(shè)A是n階正交矩陣，則對(duì)于任意n維向量x有證明例若對(duì)于任意n維向量x有則對(duì)于任意n維向量有證明第8頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三9例若對(duì)于任意任意n維向量x有則A是正交矩陣.證明記A的列向量為為的標(biāo)準(zhǔn)基,則根據(jù)上個(gè)例題,即A的列向量組成的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,故A為正交矩陣.第9頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三10例設(shè)是的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,向量則證明第10頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三11二、兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基之間的過渡矩陣設(shè)和是的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,并且有關(guān)系Q

的列向量正交,Q為正交矩陣.

定理兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基之間的過渡矩陣為正交矩陣第11頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三12定理正交矩陣的行列式等于±1.證明定理正交矩陣P,Q的乘積PQ是正交矩陣.證明三、正交矩陣的性質(zhì)第12頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三13行向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交基列向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交基正交矩陣的等價(jià)性質(zhì)第13頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三14四施密特標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法定理對(duì)于一個(gè)線性無關(guān)的向量組,可以求得一個(gè)等價(jià)的正交向量組,并且過渡矩陣為三角矩陣.證明設(shè)是線性無關(guān)向量組,取取與正交,即取一般地,令第14頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三15第15頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三16以s=3為例,說明合理性有意義.可用線性表示.而可用線性表示.否則，可用線性表示,此與線性無關(guān)矛盾.第16頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三17第17頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三18證明任意兩個(gè)正交設(shè)互相正交，則對(duì)于第18頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三19例設(shè)為的一組基，將其化為標(biāo)準(zhǔn)正交基。解先正交化，再標(biāo)準(zhǔn)化，第19頁，共21頁，2023