第四章統(tǒng)計假設檢驗

第四章統(tǒng)計假設檢驗第1頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三一、大樣本平均數(shù)的假設檢驗--u檢驗1、u檢驗的基本原理將計算所得u值與設定顯著性水平下的否定無效假設的臨界值uα比較a.根據(jù)正態(tài)分布的理論分布，計算抽樣平均數(shù)總體的標準差第2頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三2、u檢驗的適用條件－抽樣分布為正態(tài)分布（1）基礎總體為正態(tài)分布，無論樣本容量大小，其抽樣分布肯定為正態(tài)分布（2）未知基礎總體，樣本容量很大時，根據(jù)中心極限定理，其抽樣分布也可以看作正態(tài)分布因為用的是大樣本的均方，所以此樣本的均方對總體方差的估計是有效的。直接用大樣本的均方代替總體方差，這時第3頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三3、一個樣本平均數(shù)的檢驗例：在江蘇沛縣調查333m2小地老虎蟲害情況的結果，μ=4.73頭，

=2.63頭。用某種抽樣方法隨機抽得一個樣本(n=30)，計算得=4.37頭。問這個樣本對該已知總體有無代表性？第4頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三解:注意：此處是對總體參數(shù)做假設a.提出無效假設(一尾or兩尾？)b.確定一個否定H0的概率

a＝0.05c.檢驗概率計算（首先判斷要用什么分布）Q總體標準差已知，且抽樣為大樣本（n=30）\可以用u檢驗第5頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三d.做出推斷結論并加以解釋根據(jù)以上計算可知樣本在假定總體中出現(xiàn)的概率P>0.05，即差異不顯著，所以，應該接受H0否定HA。由此，我們應該認為，所抽得的樣本平均數(shù)對總體平均數(shù)有代表性，抽樣平均數(shù)和總體平均數(shù)之間的差異是抽樣誤差造成的。第6頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三(1)在兩個樣本的總體方差和為已知時，用u檢驗由抽樣分布的公式知，兩樣本平均數(shù)和的差數(shù)標準誤，在和是已知時為：并有:在假設

下，正態(tài)離差u值為，故可對兩樣本平均數(shù)的差異作出假設檢驗。4、兩個樣本平均數(shù)的檢驗第7頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三例：據(jù)以往資料，已知某小麥品種每平方米產(chǎn)量的。今在該品種的一塊地上用A、B兩法取樣，Ａ法取12個樣點，得每平方米產(chǎn)量=1.2(kg)；B法取8個樣點，得

=1.4(kg)。試比較A、B兩法的每平方米產(chǎn)量是否有顯著差異？假設H0:A、B兩法的每平方米產(chǎn)量相同，即系隨機誤差；對

顯著水平

因為實得|u|<u0.05=1.96，故P>0.05推斷:接受

,即A、B兩種取樣方法所得的每平方米產(chǎn)量沒有顯著差異。第8頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三當總體的分布情況以及總體的方差未知，且樣本容量很小(n<30)時，只有用樣本算出的均方s2來估計總體的方差，此時，二、小樣本平均數(shù)的假設檢驗-t檢驗第9頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三1908年W.S.Gosset首先提出，又叫學生氏t分布(Student’st-distribution)1、t分布的提出第10頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三第11頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三2、u分布與t分布的比較t分布的平均數(shù)與u分布相同，都是0，并在t=0處曲線最高，以0為中心左右對稱t分布的曲線性狀隨自由度ν而改變，自由度ν越小，其分布越離散，隨ν值增大，逐漸趨近于u分布，當自由度增大到30時基本接近u分布b.與u分布曲線相比，t分布曲線的峰高較低，兩側接近x軸的速度更緩慢第12頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三3、t分布的概率估計第13頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三4、t

檢驗T檢驗通過比較t值與tα的大小關系來判斷否定還是接受H0tα可以通過查附表3獲得（注意是兩尾的臨界值）第14頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三一尾檢驗的t臨界值tα(1)通過查附表中的相應自由度下對應2α的t2α(2)獲得t表中，ν相同時，P越大，t值越小，反之亦然因此，當計算所得|t|大于或等于表中所查tα時，說明，其屬于隨機誤差的概率小于或等于規(guī)定的顯著性水平，即t位于否定區(qū)內，則否定H0，否則接受H0第15頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三5、單個樣本平均數(shù)的假設檢驗這是檢驗某一樣本所屬的總體平均數(shù)是否和某一指定的總體平均數(shù)相同。例：某春小麥良種的千粒重μ0=34g，現(xiàn)自外地引入一高產(chǎn)品種，在8個小區(qū)種植，得其千粒重(g)為：35.6,37.6,33.4,35.1,32.7,36.8,35.9,34.6,問新引入品種的千粒重與當?shù)亓挤N有無顯著差異？第16頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三檢驗步驟為：H0：新引入品種千粒重與當?shù)亓挤N千粒重指定值相同，即μ=μ0=34g；對HA：μ≠34g顯著水平α=0.05檢驗計算：

=(35.6+37.6+…+34.6)/8=35.2(g)第17頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三查附表3，ν=7時，t

0.05=2.365?，F(xiàn)實得|t|＜tα=2.365，故P＞0.05。推斷：接受H0：μ=34g，即新引入品種千粒重與當?shù)亓挤N千粒重指定值無顯著差異。第18頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三6、兩個樣本平均數(shù)的假設檢驗這是由兩個樣本平均數(shù)的相差，以檢驗這兩個樣本所屬的總體平均數(shù)有無顯著差異。檢驗的方法因試驗設計的不同而分為成組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比較和成對數(shù)據(jù)的比較兩種。第19頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三（1）成組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比較

如果兩個處理為完全隨機設計，各供試單位彼此獨立，不論兩個處理的樣本容量是否相同，所得數(shù)據(jù)皆稱為成組數(shù)據(jù)，以組平均數(shù)作為相互比較的標準。1、在兩個樣本的總體方差已知時，用u檢驗。第20頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三例：據(jù)以往資料，已知某小麥品種每平方米產(chǎn)量的σ2=0.4(kg)2。今在該品種的一塊地上用A、B兩法取樣，A法取了12個樣點，得每平方米=1.2(kg)；B法取得8個樣點，得=1.4(kg)。試比較A、B兩法的每平方米產(chǎn)量是否有顯著差異？系隨機誤差；假設H0：A、B兩法的產(chǎn)量相同，即H0：第21頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三對HA：μ1≠μ2，α=0.05推斷：接受H0：μ1＝μ2，即A、B兩種取樣方法所得每平方米產(chǎn)量沒有顯著差異。檢驗計算：因為實得|u|＜u0.05=1.96，故P＞0.05。第22頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三的加權平均值，即：2、在兩個樣本的總體方差和為未知，但可假定==σ2，而兩個樣本又為小樣本時，用t檢驗。首先，從樣本變異算出平均數(shù)差數(shù)的均方，作為對σ2的估計。由于可假定==σ2，故應為兩樣本均方第23頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三當n1=n2=n時，則上式變?yōu)椋旱?4頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三由于假設H0：μ1＝μ2，故上式為：例：研究矮壯素使玉米矮化的效果，在抽穗期測定噴矮壯素小區(qū)8株、對照區(qū)玉米9株，其觀察值如下表：第25頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三y1(噴施矮壯素)160160200160200170150210y2(對照)170270180250270290270230170從理論上判斷，噴施矮壯素只可能矮化無效而不可能促進植物長高，因此假設H0：噴施矮壯素的株高與未噴的相同或更高，，即H0：μ1≥μ2對HA：μ1＜μ2，即噴施矮壯素的株高較未噴的為矮。顯著水平α=0.05。檢驗計算：第26頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三第27頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三按ν=7+8=15，查t表得一尾t0.05=1.753(一尾檢驗t0.05等于兩尾檢驗的t0.10)，現(xiàn)實得t=-3.05＜-t0.05=-1.753，故P＜0.05。推斷：否定H0：μ1≥μ2，接受HA：μ1＜μ2，即認為玉米噴施矮壯素后，其株高顯著地矮于對照。第28頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三（2）成對數(shù)據(jù)的比較

若試驗設計是將性質相同的兩個供試單位配成對，并設有多個配對，然后對每一配對的兩個供試單位分別隨機地給予不同處理，則所得觀察值為成對數(shù)據(jù)。第29頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三成對數(shù)據(jù)，由于同一配對內兩個供試單位的試驗條件很是接近，而不同配對間的條件差異又可通過同一配對的差數(shù)予以消除，因而可以控制試驗誤差，具有較高的精確度。設兩個樣本的觀察值分別為y1和y2，共配成n對，各個對的差數(shù)為d=y1-y2，差數(shù)的平均數(shù)為第30頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三它具有ν=n-1。若假設H0：μd=0,則上式改成：即可檢驗H0：μd=0。則差數(shù)平均數(shù)的標準誤為：第31頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三例：選生長期、發(fā)育進度、植株大小和其它方面皆比較一致的兩株番茄構成一組，共得7組，每組中一株接種A處理病毒，另一株接種B處理病毒，以研究不同處理方法的純化的病毒效果，表中結果為組別y1(A法)y2(B法)d11025-152131213814-64315-1252027-762020-77618-12第32頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三病毒在番茄上產(chǎn)生的病痕數(shù)目，試檢驗兩種處理方法的差異顯著性。假設：兩種處理對純化病毒無不同效果，即：H0：μd=0；對HA：μd≠0。顯著水平α=0.01。檢驗計算：第33頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三查附表4，ν=7-1=6時，t0.01=3.707。實得|t|＞t0.01,故P＜0.01。推斷：否定H0：μd=0，接受HA：μd≠0，即A、B兩法對純化病毒的效應有極顯著差異。第34頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三第三節(jié)樣本頻率的假設檢驗許多生物試驗的結果是用百分數(shù)或成數(shù)表示的，稱為樣本頻率，如結實率、發(fā)芽率等，這些百分數(shù)系由計數(shù)某一屬性的個體數(shù)目求得，屬間斷性的計數(shù)資料。在理論上，這類百分數(shù)的假設檢驗應按二項分布進行，即從二項式(p+q)n的展開式中求出某項屬性個體百分數(shù)的概率。但是，如樣本容量n較大，p較小，而np和nq又均不小于5時,(p+q)n的分布趨近于正態(tài)。因而可以將百分數(shù)資料作正態(tài)分布處理，從而作出近似的檢驗。適于用u檢驗所需的二項樣本容量n見下表。第35頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三(樣本百分數(shù))(較小組次數(shù))n(樣本容量)0.5015300.4020500.3024800.20402000.10606000.05701400

表4.1適于用正態(tài)離差檢驗的二項樣本的和n值表第36頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三一、一個樣本頻率的假設檢驗檢驗某一樣本頻率所屬總體頻率與某一理論值或期望值p0的差異顯著性。由于樣本頻率的標準誤為：故由即可檢驗H0:p=p0，HA:p

≠p0。第37頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三[例]以紫花和白花的大豆品種雜交，在F2代共得289株，其中紫花208株，白花81株。如果花色受一對等位基因控制，則根據(jù)遺傳學原理，F(xiàn)2代紫花株與白花株的分離比率應為3∶1，即紫花理論百分數(shù)p=0.75，白花理論百分數(shù)q=1－p=0.25。問該試驗結果是否符合一對等位基因的遺傳規(guī)律？假設大豆花色遺傳符合一對等位基因的分離規(guī)律，紫花植株的百分數(shù)是75%，即H0:p=0.75；對HA:p≠0.75。顯著水平0.05，作兩尾檢驗,u0.05=1.96。檢驗計算：第38頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三因為實得|u|<u0.05，故P>0.05。

推斷：接受H0:p=0.75，即大豆花色遺傳是符合一對等位基因的遺傳規(guī)律的，紫花植株百分數(shù)=0.72和p=0.75的相差系隨機誤差。以上資料亦可直接用次數(shù)進行假設檢驗。當二項資料以次數(shù)表示時，,故檢驗計算：于是結果同上第39頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三二、兩個樣本頻率相比較的假設檢驗檢驗兩個樣本頻率和所屬總體頻率p1和p2的差異顯著性.一般假定兩個樣本的總體方差是相等的，即，設兩個樣本某種屬性個體的觀察頻率分別為和，而兩樣本總體該種屬性的個體頻率分別為p1和

p2，則兩樣本頻率的差數(shù)標準誤為：上式中的q1=(1－p1)，q2=(1－p2)。這是兩總體頻率為已知時的差數(shù)標準誤公式。第40頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三如果假定兩總體的頻率相同，即p1=p2=p,q1=q2=q，則：

p1和p2

未知時，則在的假定下，可用兩樣本頻率的加權平均值作為p1和p2的估計。第41頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三因而兩樣本頻率的差數(shù)標準誤為：故由即可對H0:p1=p2作出假設檢驗。第42頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三[例]調查低洼地小麥378株(n1)，其中有銹病株355株(y1)，銹病率93.92%()；調查高坡地小麥396株(n2)，其中有銹病346株(y2)，銹病率87.31%()。試檢驗兩塊麥田的銹病率有無顯著差異？假設H0：兩塊麥田的總體銹病率無差別，即H0:p1

=p2；對HA:p1≠p2

。顯著水平取

，作兩尾檢驗，u0.05=1.96。檢驗計算：第43頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三實得|u|>u0.05，故P<0.05，推斷：否定H0:p1

=p2

接受HA

:p1≠p2

，即兩塊麥田的銹病率有顯著差異。第44頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三[例]原殺蟲劑A在1000頭蟲子中殺死657頭，新殺蟲劑B在1000頭蟲子中殺死728頭，問新殺蟲劑B的殺蟲率是否高于原殺蟲劑A？假設新殺蟲劑B的殺蟲率并不高于原殺蟲劑A，即H0:P2≤P1

；對HA:P2＞P1

。顯著水平

，作一尾檢驗,u0.01=2.326(一尾概率)。檢驗計算：第45頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三實得u<－u0.01=－2.326，故P<0.01，推斷：否定H0:P2≤P1

，接受HA:P2＞P1

，即新殺蟲劑Ｂ的殺蟲率極顯著地高于原殺蟲劑A。第46頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三三、二項樣本假設檢驗時的連續(xù)性矯正二項總體的頻率的分布是間斷性的二項分布。把它當作連續(xù)性的正態(tài)分布或t分布處理，結果會有些出入，一般容易發(fā)生第一類錯誤。因此,在假設檢驗時需進行連續(xù)性矯正。(1)在n<30，而<5時這種矯正是必須的；經(jīng)過連續(xù)性矯正的正態(tài)離差u值或t

值，分別以uC或tC表示。(2)如果樣本大，試驗結果符合前表條件，則可以不作矯正，用u檢驗。第47頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三(一)單個樣本頻率假設檢驗的連續(xù)性矯正單個樣本頻率的連續(xù)性矯正公式為：它具有v=n－1。式中是的估計值(5·23)(5·24)第48頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三[例]用基因型純合的糯玉米和非糯玉米雜交，按遺傳學原理，預期F1植株上糯性花粉粒的p0=0.5，現(xiàn)在一視野中檢視20粒花粉，得糯性花粉8粒，試問此結果和理論百分數(shù)p0=0.5是否相符？假設系p=p0=0.5的一個隨機樣本，即H0:p=0.5

對HA:p≠0.5

顯著水平取,用兩尾檢驗。檢驗計算：np=nq=20×0.5=10第49頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三推斷認為實得頻率0.4與理論百分數(shù)0.5沒有顯著差異。查附表4，v

=

20－1=19，t0.05=2.093，現(xiàn)實得|t|<t0.05，故P>0.05

=20×0.4=8粒(糯)，=20-8=12粒(非糯)

第50頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三(二)兩個樣本頻率相比較的假設檢驗的連續(xù)性矯正設兩個樣本頻率中，取較大值的具有y1

和n1

，取較小值的具有y2

和n2

，則經(jīng)矯正的tC

公式為：(5·25)它具有v=n1+n2－2。其中為中的估計值。第51頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三[例]用新配方農藥處理25頭棉鈴蟲，結果死亡15頭，存活10頭；用樂果處理24頭，結果死亡9頭，存活15頭。問兩種處理的殺蟲效果是否有顯著差異？本例不符合表5.6條件，故需要進行連續(xù)性矯正。假設兩種處理的殺蟲效果沒有差異，即H0:p1

=p2

；對HA

:p1≠p2

。顯著水平，作兩尾檢驗。檢驗計算：第52頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三查附表，v

=24+25－2=47≈45時，t0.05=2.014。現(xiàn)實得|tC|<t0.05

，故P>0.05。推斷：接受H0:p1

=p2

，否定HA

:p1≠p2

，即承認兩種殺蟲劑的殺蟲效果沒有顯著差異。本例如不作連續(xù)性矯正，t=(0.60－0.375)/0.143，大于1.29，增加了否定H0發(fā)生第一類錯誤的可能性。第53頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三第四節(jié)參數(shù)的區(qū)間估計與點估計參數(shù)估計（estimationofparameter）,是統(tǒng)計推斷的另一個方面，它是指由樣本統(tǒng)計結果對總體參數(shù)在一定概率水平下所作出的估計。參數(shù)估計包括區(qū)間估計（intervalestimation）和點估計（pointestimation）。所謂參數(shù)的區(qū)間估計,是指在一定的概率保證之下,估計出一個范圍或區(qū)間以能夠覆蓋參數(shù)。第54頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三一、參數(shù)區(qū)間估計與點估計的原理參數(shù)估計和點估計是建立在一定理論分布基礎上的一種方法。由中心極限定理和大數(shù)定律得知，只要抽樣為大樣本，不論其總體是否為正態(tài)分布，其樣本平均值都近似地服從正態(tài)分布，因而，當概率水平α=0.05或0.01時，即置信度為p=1-α=0.95或0.99的條件下，有：第55頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三則：因此對于某一概率標準α，則有通式：第56頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三二、一個總體平均數(shù)區(qū)間估計與點估計(一)在總體方差為已知時，服從正態(tài)分布的區(qū)間估計為：并有以上式中的為正態(tài)分布下置信度1－時的u臨界值。(二)在總體方差為未知時，服從t分布需由樣本均方s2估計，于是區(qū)間估計為：并有上式中的為置信度P=(1－)時t分布的t臨界值。第57頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三[例]某棉花株行圃36個單行的皮棉平均產(chǎn)量為kg，已知=0.3kg，求99%置信度下該株行圃單行皮棉產(chǎn)量的置信區(qū)間。在置信度P=(1－)=99%下，由附表3查得u0.01=2.58；并算得；故99%置信區(qū)間為

即推斷：估計該株行圃單行皮棉平均產(chǎn)量在4.0~4.2kg之間，此估計值的可靠度有99%。第58頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三[例]上例已算得某春小麥良種在8個小區(qū)的千粒重平均數(shù)，。試估計在置信度為95%時該品種的千粒重范圍。由附表4查得v=7時

t0.05=2.365，故代入前面通式有，即推斷：該品種總體千粒重在33.8~36.6g之間的置信度為95%。在表達時亦可寫作形式，即該品種總體千粒重95%置信度的區(qū)間是35.2±(2.365×0.58)=35.2±1.4(g)

，即33.8~36.6g。第59頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三三、兩個總體平均數(shù)差數(shù)()的區(qū)間估計在一定的置信度下，估計兩總體平均數(shù)至少能差多少。估計方法依兩總體方差是否已知或是否相等而有不同。(一)在兩總體方差為已知或兩總體方差雖未知但為大樣本時對的1－

置信區(qū)間應為：并且上式中的為平均數(shù)差數(shù)標準誤，為正態(tài)分布下置信度為1－

時的u臨界值。第60頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三[例]測得高農選1號甘薯332株的單株平均產(chǎn)量，

15×50(g)，5.3×50(g)，白皮白心甘薯282株，

12×50(g)，3.7×50(g)。試估計兩品種單株平均產(chǎn)量的相差在95%置信度下的置信區(qū)間。由附表查得置信度為0.95時，u0.05=1.96；并可算得：因而，95%的置信限為：

L1=(750-600)－1.96×18=114.7(g)

L2=(750-600)+1.96×18=185.3(g)故高農選1號甘薯的單株平均產(chǎn)量比白皮白心甘薯多114.7~185.7(g)，這個估計有95%的把握。第61頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三(二)在兩個總體方差為未知時,

有兩種情況：1.假設兩總體方差相等，即：的1-置信區(qū)間為：并有以上的為平均數(shù)差數(shù)標準誤，是置信度為1－

，自由度為v=n1+n2－2時t分布的臨界值。第62頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三[例]試估計右邊表中資料兩種密度畝產(chǎn)量差數(shù)在置信度為99%時的置信區(qū)間。計算得：由附表3查得v=8時，t0.01=3.355

故有L1=(428－440)－(3.355×11.136)=－

49.4，

L2=(428－440)+(3.355×11.136)=25.4(kg)。

的。Y1(每畝30萬苗)Y2(每畝35萬苗)400450420440435445460445425420第63頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三當被接受時，意味著兩總體平均數(shù)相等，即。因此，可用兩樣本平均數(shù)的加權平均數(shù)作為對的估計：或因而對的置信區(qū)間為：第64頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三2.兩總體方差不相等，即,這時由兩樣本的和作為和估計而算得的t，已不是v=v1+v2的t分布，而是近似于自由度為的t分布。

可得對的1－的置信區(qū)間為：故根據(jù)并有為置信度1－

時自由度的t分布臨界值其中第65頁，共71頁，2023年，2月20日，星期三[例]測定冬小麥品種東方紅