第十章 彎曲應(yīng)力

第十章彎曲應(yīng)力第1頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三圖10-1圖10-2第2頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三一、變形幾何關(guān)系為了尋求梁彎曲時(shí)的變形規(guī)律，可自圖10-1(a)所示的梁中截取一段純彎曲梁來分析，該段梁兩端截面上有相等的彎矩M，使其產(chǎn)生彎曲變形，如圖10-2(a)所示。如通過該段梁的中點(diǎn)作一中線1—1，可以看出，由于梁的形狀和受力情況對(duì)稱于中線，則通過中線的橫截面在變形后的形狀也必對(duì)稱，因此該橫截面唯一可能的形狀是仍保持為一平面。同樣，再將該段梁自中線處截為兩段，由于純彎曲梁各橫截面上的彎矩相同，則此兩段第3頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三梁的受力情況又對(duì)稱于它自身的中線2—2。因此，通過其中線2—2的橫截面也必為一平面。依此類推，繼續(xù)分割下去，可以證明：純彎曲梁變形后名橫截面仍保持為一平面。這個(gè)變形規(guī)律稱為平截面規(guī)律。根據(jù)平截面規(guī)律，梁彎曲時(shí)兩相近的橫截面將作相對(duì)的轉(zhuǎn)動(dòng)?？梢栽O(shè)想，梁由一束縱向纖維所組成，這時(shí)在兩橫截面間的縱向纖維將產(chǎn)生伸長(zhǎng)或縮短。由于變形的連續(xù)性，在伸長(zhǎng)纖維與縮短纖維之間，必然存在一層既不伸長(zhǎng)也不縮短的纖維，這一層稱為中性層，中性層與橫截面的交線稱為中性軸，如第4頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三圖10-3所示。圖10-3圖10-4第5頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三自梁中截取長(zhǎng)為dx的一微段梁，令y軸的橫截面的對(duì)稱軸，z軸與截面的中性軸重合，如圖10-4所示，至于中性軸的確切位置，暫未確定?，F(xiàn)研究距中性層y處縱向纖維ab的變形。由平截面規(guī)律知，在梁變形后該微段梁兩端相對(duì)地旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度d，如果以ρ代表梁變曲后中性層的曲率半徑，因中性層在梁彎曲變形后的長(zhǎng)度不變，所以第6頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三距中性層y處的縱向纖維ab變形前的長(zhǎng)度為變形后為其縱向線應(yīng)變則為第7頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三對(duì)于選定的橫截面，式中的ρ為常量，故此式表明彎曲時(shí)梁橫截面上各點(diǎn)的縱向線應(yīng)變?chǔ)排c該點(diǎn)至中性軸的距離y成正比。根據(jù)這一關(guān)系，可以得到橫截面上的正應(yīng)力按線性分布的規(guī)律。二、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系前面已經(jīng)設(shè)想，梁由一束縱向纖維組成。設(shè)各縱向纖維之間互不擠壓，每根纖維都只受到單向的拉伸或壓縮，則在應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力與線應(yīng)變的關(guān)系，應(yīng)服從虎克定律第8頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三將式（a）代入，可得這就是正應(yīng)力在梁橫截面上分布規(guī)律的表達(dá)式。此式表明，橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離y成正比；在距中性軸等距離的各點(diǎn)上正應(yīng)力相等。第9頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三三、靜力學(xué)關(guān)系自純彎曲的梁中截開一個(gè)橫截面來分析，如圖10-5所示，圖中y軸為橫截面的對(duì)稱軸；z軸為中性軸，z軸的確切位置待定。在截面中取一微面積dA，作用于其上的法向內(nèi)力元素為σdA，截面上各處的法向內(nèi)力元素構(gòu)成了一個(gè)空間平行力系。由于梁彎曲時(shí)橫截面上沒有軸向外力，所以這些內(nèi)力元素的合力在x方向的分量應(yīng)等于零，即圖10-5第10頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三將式(b)代入上式，得因?yàn)闈M足上式，必然式中，積分為截面圖形對(duì)z軸的靜矩，故第11頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三顯然，式中橫截面積A≠0，故yc=0。這說明橫截面的形心就在z軸上，也就是說，中性軸必然通過橫截面的形心。這樣，就確定了中性軸的位置。內(nèi)力元素σdA對(duì)z軸之矩的總和組成了橫截面上的彎矩，即將式（b）代入得(c)第12頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三令則式（c）可以寫為或?qū)⑹剑?0-2）代入式（b），得到(10-1)(10-2)(10-3)第13頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三§10-2慣性矩的計(jì)算一、簡(jiǎn)單截面的慣性矩(1)矩形截面設(shè)矩形截面的高和寬分別為h和b，通過其形心O作y軸和z軸，如圖10-9所示。現(xiàn)求對(duì)z軸的慣性矩Iz。取到中性軸為y、寬為b、高為dy的狹長(zhǎng)條的微面積，即取dA=bdy，則由慣性矩的定義，積分得第14頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三同理可得對(duì)y軸的慣性矩(2)圓形與圓環(huán)形截面設(shè)圓形截面的直徑為D，y軸和z軸通過圓心O，如圖10-10(a)所示。取微面積dA，至圓心距離為ρ，根據(jù)圓形截面對(duì)圓心的慣性矩為圖10-9圖10-10第15頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三現(xiàn)在由的關(guān)系可得又由于y軸和z軸皆為通過圓截面直徑的軸，故，因此第16頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三由此可得圓環(huán)形截面對(duì)z軸或y軸的慣性矩為

(10-5)對(duì)于外徑為D內(nèi)徑為d的圓形截面，如圖10-10(b)，用同樣的方法可以得到(10-6a)積分法是計(jì)算簡(jiǎn)單規(guī)則圖形截面的慣性矩的基本方法，但在實(shí)際應(yīng)用中，并不需要或(10-6b)式中第17頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三將所遇到的問題都由自己一一加以計(jì)算。為便于應(yīng)用，現(xiàn)將常見的幾種簡(jiǎn)單圖形截面的慣性矩以及圖形形心位置列于表10-1中，以備查用。表10-1幾種圖形的形心位置和慣性矩陣二、組合截面的慣性矩平行移軸公式工程實(shí)際中有許多梁的截面形狀是比較復(fù)雜的，例如由鋼板焊成的箱形梁(圖10-11(a))、由型鋼和鋼板并成的組合梁(圖10-11(b)，(c))以及T字形梁(圖10-11(d))等，機(jī)器的機(jī)架，其截面常采用更復(fù)雜的形第18頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三狀。但這些梁的截面形式都是由一些簡(jiǎn)單圖形組成的，所以稱之為組合截面梁。根據(jù)慣性矩的定義，組合截面對(duì)某一軸的慣性矩可以視為其各個(gè)組成部分(即簡(jiǎn)單圖形)對(duì)同一軸的慣性矩之和。例如圖10-11(d)所示的T字形截面，可將其分為兩個(gè)矩形部分Ⅰ和Ⅱ，整個(gè)截面對(duì)z軸的慣性矩Iz則為這圖10-11第19頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三兩個(gè)矩形部分對(duì)z軸的慣性矩IzⅠ與IzⅡ之和，即圖10-12第20頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三由圖10-12中可以看出，，代入上式得 上式中等號(hào)右邊的第一項(xiàng)是截面對(duì)z軸的慣性矩Iz，第二項(xiàng)中的積分為截面對(duì)z軸的靜矩，因z軸通過截面形心，故，所以第二項(xiàng)為零，第三項(xiàng)中的積分為截面的面積A。因此，上式可表為同理可得 (10-7a)(10-7b)第21頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三式(10-7)說明截面對(duì)任一軸的慣性矩，等于它對(duì)平行于該軸的形心軸的慣性矩，加上截面面積與兩軸間距離平方的乘積。這就是平行移軸公式。下面舉例說明這一公式的應(yīng)用和組合截面慣性矩的計(jì)算。*§10-3梁彎曲時(shí)的剪應(yīng)力一、矩形截面梁設(shè)一寬為b高為h的矩形截面梁，在其截面y軸方向有剪力Q，如圖10-14所示。如h＞b，可以假設(shè)橫截面上任意點(diǎn)處的剪應(yīng)力τ都平行于剪力Q，且距中性軸等遠(yuǎn)各點(diǎn)上的剪第22頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三應(yīng)力相等。這時(shí)橫截面上任意點(diǎn)處的剪應(yīng)力的計(jì)算公式為①圖10-14圖10-14第23頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三二、工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼緣組成。其橫截面如圖10-15所示，中間狹長(zhǎng)部分為腹板；上、下扁平部分為翼緣。梁橫截面上的剪應(yīng)力主要分布于腹板上，翼緣部分的剪應(yīng)力情況比較復(fù)雜，數(shù)值很小，可以不予考慮。由于腹板比較狹長(zhǎng)，可以充分地認(rèn)為，其上的剪應(yīng)力平行于腹板的豎邊，且沿寬度方向均勻分布。由式(10-8)求得，剪應(yīng)力τ沿腹板高度方向也是呈二次拋物線規(guī)律變化的(圖10-15)，最大剪應(yīng)力在中性軸上，其值為第24頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三在計(jì)算工字鋼的時(shí)，式中的比值可直接由型鋼規(guī)格表中查得。由圖10-15可以看到，腹板上的最大剪應(yīng)力圖10-15(10-10)第25頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三與最小剪應(yīng)力差別并不太大，剪應(yīng)力接近于均勻分布，因此也可按下式近似地估算腹板上的最大剪應(yīng)力三、圓形、薄壁圓環(huán)形截面梁在圓形截面某一水平弦m—m的兩端剪應(yīng)力應(yīng)與圓周相切，相交于y軸上的A點(diǎn)，如圖10-16所示。由于對(duì)稱的原因，m—m弦中點(diǎn)C的剪應(yīng)力必然是垂直的，因而也通過A點(diǎn)。(10-11)第26頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三如果在假定m—m弦上各點(diǎn)剪應(yīng)力的垂直分量τy是均勻分布的，這就與矩形截面的假設(shè)完全相同，可以應(yīng)用(10-8)式來計(jì)算橫截面上任一點(diǎn)處的τy。經(jīng)計(jì)算，在中性軸圖10-16第27頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三上各點(diǎn)的剪應(yīng)力最大，顯然此處的剪應(yīng)力均與y軸平行，即平行于剪力Q，其值為對(duì)于薄壁圓環(huán)形截面，若壁厚t遠(yuǎn)小于圓環(huán)的平均半徑R0(圖10-17)，則可認(rèn)為橫截面上的剪應(yīng)力沿厚度τ均勻分布，方向與圓周相切。在中性軸上各點(diǎn)的剪應(yīng)力就平行于Q且沿厚度均勻分布。應(yīng)用(10-8)式算得最大剪應(yīng)力也在中性軸上，其值為（10-12）第28頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三§10-4梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算一、彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算由梁的彎曲正應(yīng)力公式知道，對(duì)等截面梁來說，彎矩最大的截面為危險(xiǎn)截面，該截面上的最大正應(yīng)力在距中性軸最遠(yuǎn)的地方，其計(jì)算式為式中的Iz和ymax，都是與截面的形狀和尺寸有關(guān)的幾何量，可以用一個(gè)符號(hào)Wz來表示，即令（10-13）（10-14）第29頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三Wz稱為抗彎截面模量，它是衡量橫截面抗彎強(qiáng)度的一個(gè)幾何量，其值與橫截面的形狀和尺寸有關(guān)，單位為米3(m3)或厘米3(cm3)。對(duì)于矩形截面(圖10-9)對(duì)于圓形截面(圖10-10(a))，（10-16）（10-17）（10-15）第30頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三對(duì)于空心圓形截面(圖10-10(b))，各種型鋼的Wz值可由型鋼規(guī)格表中查得。這樣，最大正應(yīng)力的計(jì)算式可表為如果限制梁的最大工作應(yīng)力為σmax，使其不超過材料的許用彎曲應(yīng)力，就可以保證梁的安全。因此梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力強(qiáng)度條（10-18）（10-19）第31頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三件為式中Mmax——梁的最大彎矩；Wz——梁橫截面的抗彎截面模量；［σ］——材料的許用彎曲應(yīng)力。二、彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算就整個(gè)梁而言，梁的最大剪應(yīng)力τmax在最大剪力Qmax所在的截面內(nèi)，且一般在此截面的中性軸上。此外,梁的彎曲正應(yīng)力σ=0，處于純剪切狀態(tài)。因此，梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件是第32頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三式中Smax——中性軸一側(cè)的截面面積對(duì)中性軸的靜矩；b——截面在中性軸處的寬度；［τ］——材料的許用剪應(yīng)力。在梁的強(qiáng)度計(jì)算中，必須同時(shí)滿足正應(yīng)力和剪應(yīng)力兩個(gè)強(qiáng)度條件。通常是先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇橫截面的尺寸和形狀，必要時(shí)再按剪應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。一般對(duì)以下幾種情況需要進(jìn)行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核：（10-20）第33頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三(1)若梁較短或載荷很靠近支座，這時(shí)梁的最大彎矩Mmax可能很小，而最大剪應(yīng)力Qmax卻相對(duì)地較大，如果按這時(shí)的Mmax來設(shè)計(jì)截面尺寸，就不一定能滿足剪應(yīng)力的強(qiáng)度條件；(2)對(duì)于一些組合截面梁，如其腹板的寬度b相對(duì)于截面高度很小時(shí)，橫截面上可能產(chǎn)生較大的剪應(yīng)力；(3)對(duì)于木梁，順纖維方向抗剪能力較差，根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，在中性層上也同時(shí)有τmax作用，因而可能沿中性層發(fā)生剪切破壞，所以需要校核其剪應(yīng)力強(qiáng)度。第34頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三§10-5提高梁抗彎能力的措施一、采用變截面梁根據(jù)等強(qiáng)度梁的要求，應(yīng)有或者寫成這是等強(qiáng)度梁的W(x)沿梁軸線變化的規(guī)律。如圖10-20(a)所示，在集中力作用下的簡(jiǎn)（10-21）第35頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三支梁為等強(qiáng)度梁，截面為矩形，若設(shè)截面的高度h=常數(shù)，而寬度b為x的函數(shù)，即b=b(x)，由公式(10-21)得：于是所以截面寬度b(x)是x的一次函數(shù)(圖10-20(b))。由于載荷P對(duì)稱于跨度中點(diǎn)，因而（a）第36頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三梁的截面形狀也對(duì)跨度中點(diǎn)對(duì)稱。按(a)式，在梁的兩端，x=0，b(x)=0，即截面寬度等于零。這顯然不能滿足剪切強(qiáng)度要求。因而應(yīng)按剪切強(qiáng)度條件改變支座附近的截面寬度。設(shè)所需最小寬度為bmin(圖10-20(c))，根據(jù)矩形截面梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件由此求得（b）第37頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三如果把這一等強(qiáng)度梁分成若干狹條，然后重疊起來，并使其略微拱起，這就成為汽車以及其他車輛上經(jīng)常使用的疊板彈簧，如圖10-21所示。圖10-20第38頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三圖10-21圖10-22第39頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三如果上述矩形截面等強(qiáng)度梁的寬度b為常數(shù)，而高度h為x的函數(shù)，即h=h(x)。用完全相同的方法，可以求得按(c)式所確定的梁的形狀如圖10-22(a)所示。如把梁做成圖10-22(b)所示的形式，就成為在廠房建筑中經(jīng)常采用的魚腹梁。在工程實(shí)際中不少構(gòu)件都采用了變截面梁的形式。例如橋式起重機(jī)的大梁(圖10-23(a))，（c）（d）第40頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三上下加焊蓋板的板梁(圖10-23(b))、傳動(dòng)系統(tǒng)中的階梯軸(圖10-23(c))、搖臂鉆床的搖臂(圖10-23(d))等，都是根據(jù)各截面上彎矩的不同而采用的變截面梁。圖10-23第41頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三二、選用合理截面可以用比值Wz

/A來衡量截面的經(jīng)濟(jì)程度。這個(gè)比值愈大，所采用的截面愈經(jīng)濟(jì)合理。如果采用圓形、矩形和工字形三種不同的截面，它們所需要的截面尺寸及相應(yīng)的比值Wz/A列于下表：第42頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三第43頁，共49頁，2023年，2月20日，星期三三、適當(dāng)布置載荷和支座位置在梁的內(nèi)力一章中知道，梁的彎矩圖與載荷作用的位置和梁的支承位置有關(guān)。在可能的情況下，如查適當(dāng)?shù)卣{(diào)整載荷