等差數(shù)列及其前項(xiàng)數(shù)列

等差數(shù)列及其前項(xiàng)數(shù)列第1頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三知能遷移3在等差數(shù)列{an}中，a16+a17+a18=a9=-36,其前n項(xiàng)和為Sn.

（1）求Sn的最小值，并求出Sn取最小值時(shí)n的值；（2）求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.

解（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,∵a16+a17+a18=3a17=-36,∴a17=-12,∴d==3,∴an=a9+(n-9)·d=3n-63,an+1=3n-60,

an=3n-63≤0

an+1=3n-60≥0∴S20=S21=∴當(dāng)n=20或21時(shí)，Sn最小且最小值為-630.令,得20≤n≤21,第2頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（2）由（1）知前20項(xiàng)小于零，第21項(xiàng)等于0，以后各項(xiàng)均為正數(shù).當(dāng)n≤21時(shí)，Tn=-Sn=當(dāng)n＞21時(shí)，Tn=Sn-2S21=綜上，Tn=（n≤21，n∈N*）（n＞21,n∈N*）.第3頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三方法與技巧1.等差數(shù)列的判斷方法有

(1)定義法：an+1-an=d(d是常數(shù)){an}是等差數(shù)列.(2)中項(xiàng)公式：2an+1=an+an+2(n∈N*){an}是等差數(shù)列.(3)通項(xiàng)公式：an=pn+q(p,q為常數(shù)）{an}是等差數(shù)列.(4)前n項(xiàng)和公式：Sn=An2+Bn

（A、B為常數(shù)）{an}是等差數(shù)列.思想方法感悟提高第4頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.方程思想和基本量思想：在解有關(guān)等差數(shù)列的問(wèn)題時(shí)可以考慮化歸為a1和d等基本量，通過(guò)建立方程（組）獲得解.3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式本身可以由累加法得到.4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=很像梯形面積公式，其推導(dǎo)方法也與梯形面積公式的推導(dǎo)方法完全一樣.(倒序相加法）5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=na1+d可以變形為類(lèi)似于勻加速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式，只要把d理解為加速度.第5頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三失誤與防范1.如果p+q=r+s,則ap+aq=ar+as,一般地，ap+aq≠ap+q，必須是兩項(xiàng)相加，當(dāng)然可以是ap-t+ap+t=2ap.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式通常是n的一次函數(shù)，除非公差d=0.3.公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.若某數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是n的常數(shù)項(xiàng)不為0的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列.4.公差d=類(lèi)似于由兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率的計(jì)算.5.當(dāng)d不為零時(shí)，等差數(shù)列必為單調(diào)數(shù)列.6.從一個(gè)等差數(shù)列中，每隔一定項(xiàng)抽出一項(xiàng)，組成的數(shù)列仍是等差數(shù)列.第6頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第7頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三充分利用等差數(shù)列和Sn的二次函數(shù)性．第8頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第9頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第10頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三要點(diǎn)梳理1.等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列

，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的

，通常用字母

表示.2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an=

.§6.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和從第二項(xiàng)起，后項(xiàng)與相鄰前項(xiàng)的比是一個(gè)確定的常數(shù)（不為零）公比qa1·qn-1基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)第11頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.等比中項(xiàng)若

，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).4.等比數(shù)列的常用性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：an=am·

,(n，m∈N*).（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l=m+n，（k，l，m，n∈N*），則

.（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{an}（≠0），，{}，{an·bn}，仍是等比數(shù)列.G2=a·bqn-mak·al=am·an第12頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三基礎(chǔ)自測(cè)1.設(shè)a1=2,數(shù)列{an+1}是以3為公比的等比數(shù)列，則a4的值為 （ ）

A.80 B.81 C.54 D.53

解析由已知得an+1=(a1+1)·qn-1,

即an+1=3·3n-1=3n,∴an=3n-1，∴a4=34-1=80.A第13頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.等比數(shù)列{an}中，a4=4,則a2·a4·a6等于（ ）

A.4B.8C.32D.64

解析∵a4是a2與a6的等比中項(xiàng)，∴a2·a6==16.∴a2·a4·a6=64.D第14頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.（2009·廣東文，5）已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3·a9=2,a2=1,則a1=（ ）

A.2B.C.D.

解析設(shè)公比為q,由已知得a1q2·a1q8=2(a1q4)2,即q2=2.因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的公比為正數(shù),所以q=,故a1=C第15頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三題型一等比數(shù)列的基本運(yùn)算【例1】已知{an}為等比數(shù)列，a3=2，a2+a4=，求{an}的通項(xiàng)公式.

根據(jù)等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及性質(zhì)建立首項(xiàng),公比的方程組.

解

方法一設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q≠0，

a2=a4=a3q=2q，∴+2q=

解得q1=，q2=3.思維啟迪題型分類(lèi)深度剖析第16頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三①當(dāng)q=時(shí)，a1=18，∴an=18×（）n-1==2×33-n.②當(dāng)q=3時(shí)，a1=，∴an=×3n-1=2×3n-3.綜上所述，an=2×33-n或an=2×3n-3.方法二由a3=2,得a2a4=4，又a2+a4=，則a2，a4為方程x2-x+4=0的兩根，第17頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三a2=a2=6a4=6a4=解得或.①當(dāng)a2=時(shí),q=3,an=a3·qn-3=2×3n-3.②當(dāng)a2=6時(shí)，q=,an=2×33-n∴an=2×3n-3或an=2×33-n.

（1）等比數(shù)列{an}中，an=a1qn-1,Sn=

中有五個(gè)量，可以知三求五；（2）注意分類(lèi)討論的應(yīng)用.探究提高第18頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三知能遷移1

已知等比數(shù)列{an}中，a1=2,a3+2是a2和a4的等差中項(xiàng).

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）記bn=anlog2an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

解（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,

由題意知：2(a3+2)=a2+a4,∴q3-2q2+q-2=0，即(q-2)(q2+1)=0.∴q=2，即an=2·2n-1=2n.第19頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期三（2）bn=anlog2an=n·2n,∴Sn