人教版高中數學選修1-2全部教案

人教版高中數學選修1-2全部教案PAGE優(yōu)質數學資源下載/sxzyxz第1頁共50頁高中數學教案選修修全套【選修1-2教案｜全套】目錄第一章統(tǒng)計案例第一課時1.1回歸分析的基本思想及其初步應用（一）教學要求：通過典型案例的探究，進一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應用.教學重點：了解線性回歸模型與函數模型的差異，了解判斷刻畫模型擬合效果的方法－相關指數和殘差分析.教學難點：解釋殘差變量的含義，了解偏差平方和分解的思想.教學過程：一、復習準備：1.提問：“名師出高徒”這句彥語的意思是什么？有名氣的老師就一定能教出厲害的學生嗎？這兩者之間是否有關？2.復習：函數關系是一種確定性關系，而相關關系是一種非確定性關系.回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法，其步驟：收集數據作散點圖求回歸直線方程利用方程進行預報.二、講授新課：1.教學例題：①例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數據如下表所示：編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重.（分析思路教師演示學生整理） 第一步：作散點圖 第二步：求回歸方程 第三步：代值計算②提問：身高為172cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？不一定，但一般可以認為她的體重在60.316kg左右.③解釋線性回歸模型與一次函數的不同事實上，觀察上述散點圖，我們可以發(fā)現(xiàn)女大學生的體重和身高之間的關系并不能用一次函數來嚴格刻畫（因為所有的樣本點不共線，所以線性模型只能近似地刻畫身高和體重的關系）.在數據表中身高為165cm的3名女大學生的體重分別為48kg、57kg和61kg，如果能用一次函數來描述體重與身高的關系，那么身高為165cm的3名女在學生的體重應相同.這就說明體重不僅受身高的影響還受其他因素的影響，把這種影響的結果（即殘差變量或隨機變量）引入到線性函數模型中，得到線性回歸模型，其中殘差變量中包含體重不能由身高的線性函數解釋的所有部分.當殘差變量恒等于0時，線性回歸模型就變成一次函數模型.因此，一次函數模型是線性回歸模型的特殊形式，線性回歸模型是一次函數模型的一般形式.2.相關系數：相關系數的絕對值越接近于1，兩個變量的線性相關關系越強，它們的散點圖越接近一條直線，這時用線性回歸模型擬合這組數據就越好，此時建立的線性回歸模型是有意義.3.小結：求線性回歸方程的步驟、線性回歸模型與一次函數的不同.第二課時1.1回歸分析的基本思想及其初步應用（二）教學要求：通過典型案例的探究，進一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應用.教學重點：了解評價回歸效果的三個統(tǒng)計量：總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和.教學難點：了解評價回歸效果的三個統(tǒng)計量：總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和.教學過程：一、復習準備：1．由例1知，預報變量（體重）的值受解釋變量（身高）或隨機誤差的影響.2．為了刻畫預報變量（體重）的變化在多大程度上與解釋變量（身高）有關？在多大程度上與隨機誤差有關？我們引入了評價回歸效果的三個統(tǒng)計量：總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和.二、講授新課：1.教學總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和：（1）總偏差平方和：所有單個樣本值與樣本均值差的平方和，即.殘差平方和：回歸值與樣本值差的平方和，即.回歸平方和：相應回歸值與樣本均值差的平方和，即.（2）學習要領：①注意、、的區(qū)別；②預報變量的變化程度可以分解為由解釋變量引起的變化程度與殘差變量的變化程度之和，即；③當總偏差平方和相對固定時，殘差平方和越小，則回歸平方和越大，此時模型的擬合效果越好；④對于多個不同的模型，我們還可以引入相關指數來刻畫回歸的效果，它表示解釋變量對預報變量變化的貢獻率.的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合的效果越好.2.教學例題：例2關于與有如下數據：245683040605070為了對、兩個變量進行統(tǒng)計分析，現(xiàn)有以下兩種線性模型：，，試比較哪一個模型擬合的效果更好.分析：既可分別求出兩種模型下的總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和，也可分別求出兩種模型下的相關指數，然后再進行比較，從而得出結論.（答案：，，84.5%＞82%，所以甲選用的模型擬合效果較好.）3.小結：分清總偏差平方和、殘差平方和、回歸平方和，初步了解如何評價兩個不同模型擬合效果的好壞.第三課時1.1回歸分析的基本思想及其初步應用（三）教學要求：通過典型案例的探究，進一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應用.教學重點：通過探究使學生體會有些非線性模型通過變換可以轉化為線性回歸模型，了解在解決實際問題的過程中尋找更好的模型的方法.教學難點：了解常用函數的圖象特點，選擇不同的模型建模，并通過比較相關指數對不同的模型進行比較.教學過程：一、復習準備：1.給出例3：一只紅鈴蟲的產卵數和溫度有關，現(xiàn)收集了7組觀測數據列于下表中，試建立與之間的回歸方程.溫度21232527293235產卵數個711212466115325（學生描述步驟，教師演示）2.討論：觀察右圖中的散點圖，發(fā)現(xiàn)樣本點并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內，即兩個變量不呈線性相關關系，所以不能直接用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關系.二、講授新課：1.探究非線性回歸方程的確定：①如果散點圖中的點分布在一個直線狀帶形區(qū)域，可以選線性回歸模型來建模；如果散點圖中的點分布在一個曲線狀帶形區(qū)域，就需選擇非線性回歸模型來建模.②根據已有的函數知識，可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條指數函數曲線y=的周圍（其中是待定的參數），故可用指數函數模型來擬合這兩個變量.③在上式兩邊取對數，得，再令，則，而與間的關系如下：X21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784觀察與的散點圖，可以發(fā)現(xiàn)變換后樣本點分布在一條直線的附近，因此可以用線性回歸方程來擬合.④利用計算器算得，與間的線性回歸方程為，因此紅鈴蟲的產卵數對溫度的非線性回歸方程為.⑤利用回歸方程探究非線性回歸問題，可按“作散點圖建模確定方程”這三個步驟進行.其關鍵在于如何通過適當的變換，將非線性回歸問題轉化成線性回歸問題.2.小結：用回歸方程探究非線性回歸問題的方法、步驟.三、鞏固練習：為了研究某種細菌隨時間x變化，繁殖的個數，收集數據如下：天數x/天123456繁殖個數y/個612254995190（1）用天數作解釋變量，繁殖個數作預報變量，作出這些數據的散點圖；（2）試求出預報變量對解釋變量的回歸方程.（答案：所求非線性回歸方程為.）第四課時1.1回歸分析的基本思想及其初步應用（四）教學要求：通過典型案例的探究，進一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應用.教學重點：通過探究使學生體會有些非線性模型通過變換可以轉化為線性回歸模型，了解在解決實際問題的過程中尋找更好的模型的方法，了解可用殘差分析的方法，比較兩種模型的擬合效果.教學難點：了解常用函數的圖象特點，選擇不同的模型建模，并通過比較相關指數對不同的模型進行比較.教學過程：一、復習準備：1.提問：在例3中，觀察散點圖，我們選擇用指數函數模型來擬合紅鈴蟲的產卵數和溫度間的關系，還可用其它函數模型來擬合嗎？441529625729841102412257112124661153252.討論：能用二次函數模型來擬合上述兩個變量間的關系嗎？（令，則，此時與間的關系如下：觀察與的散點圖，可以發(fā)現(xiàn)樣本點并不分布在一條直線的周圍，因此不宜用線性回歸方程來擬合它，即不宜用二次曲線來擬合與之間的關系.）小結：也就是說，我們可以通過觀察變換后的散點圖來判斷能否用此種模型來擬合.事實上，除了觀察散點圖以外，我們也可先求出函數模型，然后利用殘差分析的方法來比較模型的好壞.二、講授新課：1.教學殘差分析：①殘差：樣本值與回歸值的差叫殘差，即.②殘差分析：通過殘差來判斷模型擬合的效果，判斷原始數據中是否存在可疑數據，這方面的分析工作稱為殘差分析.③殘差圖：以殘差為橫坐標，以樣本編號，或身高數據，或體重估計值等為橫坐標，作出的圖形稱為殘差圖.觀察殘差圖，如果殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高.2.例3中的殘差分析：計算兩種模型下的殘差一般情況下，比較兩個模型的殘差比較困難（某些樣本點上一個模型的殘差的絕對值比另一個模型的小，而另一些樣本點的情況則相反），故通過比較兩個模型的殘差的平方和的大小來判斷模型的擬合效果.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好.由于兩種模型下的殘差平方和分別為1450.673和15448.432，故選用指數函數模型的擬合效果遠遠優(yōu)于選用二次函數模型.（當然，還可用相關指數刻畫回歸效果）3.小結：殘差分析的步驟、作用三、鞏固練習：練習：教材P13第1題第一課時1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應用（一）教學要求：通過探究“吸煙是否與患肺癌有關系”引出獨立性檢驗的問題，并借助樣本數據的列聯(lián)表、柱形圖和條形圖展示在吸煙者中患肺癌的比例比不吸煙者中患肺癌的比例高，讓學生親身體驗獨立性檢驗的實施步驟與必要性.教學重點：理解獨立性檢驗的基本思想及實施步驟.教學難點：了解獨立性檢驗的基本思想、了解隨機變量的含義.教學過程：一、復習準備：回歸分析的方法、步驟，刻畫模型擬合效果的方法（相關指數、殘差分析）、步驟.二、講授新課：1.教學與列聯(lián)表相關的概念：①分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別的變量稱為分類變量.分類變量的取值一定是離散的，而且不同的取值僅表示個體所屬的類別，如性別變量，只取男、女兩個值，商品的等級變量只取一級、二級、三級，等等.分類變量的取值有時可用數字來表示，但這時的數字除了分類以外沒有其他的含義.如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”.不患肺癌患肺癌總計不吸煙7775427817吸煙2099492148總計9874919965②列聯(lián)表：分類變量的匯總統(tǒng)計表（頻數表）.一般我們只研究每個分類變量只取兩個值，這樣的列聯(lián)表稱為.如吸煙與患肺癌的列聯(lián)表：2.教學三維柱形圖和二維條形圖的概念：由列聯(lián)表可以粗略估計出吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異.（教師在課堂上用EXCEL軟件演示三維柱形圖和二維條形圖，引導學生觀察這兩類圖形的特征，并分析由圖形得出的結論）3.獨立性檢驗的基本思想：①獨立性檢驗的必要性（為什么中能只憑列聯(lián)表的數據和圖形下結論？）：列聯(lián)表中的數據是樣本數據，它只是總體的代表，具有隨機性，故需要用列聯(lián)表檢驗的方法確認所得結論在多大程度上適用于總體.②獨立性檢驗的步驟（略）及原理（與反證法類似）：反證法假設檢驗要證明結論A備擇假設H在A不成立的前提下進行推理在H不成立的條件下，即H成立的條件下進行推理推出矛盾，意味著結論A成立推出有利于H成立的小概率事件（概率不超過的事件）發(fā)生，意味著H成立的可能性（可能性為（1－））很大沒有找到矛盾，不能對A下任何結論，即反證法不成功推出有利于H成立的小概率事件不發(fā)生，接受原假設③上例的解決步驟第一步：提出假設檢驗問題H：吸煙與患肺癌沒有關系H：吸煙與患肺癌有關系第二步：選擇檢驗的指標（它越小，原假設“H：吸煙與患肺癌沒有關系”成立的可能性越大；它越大，備擇假設“H：吸煙與患肺癌有關系”成立的可能性越大.第三步：查表得出結論P(k2>k)0.500.4000.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83第二課時1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應用（二）教學要求：通過探究“吸煙是否與患肺癌有關系”引出獨立性檢驗的問題，并借助樣本數據的列聯(lián)表、柱形圖和條形圖展示在吸煙者中患肺癌的比例比不吸煙者中患肺癌的比例高，讓學生親身體驗獨立性檢驗的實施步驟與必要性.教學重點：理解獨立性檢驗的基本思想及實施步驟.教學難點：了解獨立性檢驗的基本思想、了解隨機變量的含義.教學過程：教學過程：一、復習準備：獨立性檢驗的基本步驟、思想二、講授新課：1.教學例1：例1在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂；而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有175名禿頂.分別利用圖形和獨立性檢驗方法判斷禿頂與患心臟病是否有關系？你所得的結論在什么范圍內有效？①第一步：教師引導學生作出列聯(lián)表，并分析列聯(lián)表，引導學生得出“禿頂與患心臟病有關”的結論；第二步：教師演示三維柱形圖和二維條形圖，進一步向學生解釋所得到的統(tǒng)計結果；第三步：由學生計算出的值；第四步：解釋結果的含義.②通過第2個問題，向學生強調“樣本只能代表相應總體”，這里的數據來自于醫(yī)院的住院病人，因此題目中的結論能夠很好地適用于住院的病人群體，而把這個結論推廣到其他群體則可能會出現(xiàn)錯誤，除非有其它的證據表明可以進行這種推廣.2.教學例2：例2為考察高中生的性別與是否喜歡數學課程之間的關系，在某城市的某校高中生中隨機抽取300名學生，得到如下列聯(lián)表：喜歡數學課程不喜歡數學課程總計男3785122女35143178總計72228300由表中數據計算得到的觀察值.在多大程度上可以認為高中生的性別與是否數學課程之間有關系？為什么？（學生自練，教師總結）強調：①使得成立的前提是假設“性別與是否喜歡數學課程之間沒有關系”.如果這個前提不成立，上面的概率估計式就不一定正確；②結論有95%的把握認為“性別與喜歡數學課程之間有關系”的含義；③在熟練掌握了兩個分類變量的獨立性檢驗方法之后，可直接計算的值解決實際問題，而沒有必要畫相應的圖形，但是圖形的直觀性也不可忽視.不健康健康總計不優(yōu)秀41626667優(yōu)秀37296333總計7892210003.小結：獨立性檢驗的方法、原理、步驟三、鞏固練習：某市為調查全市高中生學習狀況是否對生理健康有影響，隨機進行調查并得到如下的列聯(lián)表：請問有多大把握認為“高中生學習狀況與生理健康有關”？第二章推理與證明第一課時2.1.1合情推理（一）教學要求：結合已學過的數學實例，了解歸納推理的含義，能利用歸納進行簡單的推理，體會并認識歸納推理在數學發(fā)現(xiàn)中的作用.教學重點：能利用歸納進行簡單的推理.教學難點：用歸納進行推理，作出猜想.教學過程：一、新課引入：1.哥德巴赫猜想：觀察4=2+2,6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,12=7+7,16=13+3,18=11+7,20=13+7,……,50=13+37,……,100=3+97，猜測：任一偶數（除去2，它本身是一素數）可以表示成兩個素數之和.1742年寫信提出，歐拉及以后的數學家無人能解，成為數學史上舉世聞名的猜想.1973年，我國數學家陳景潤，證明了充分大的偶數可表示為一個素數與至多兩個素數乘積之和，數學上把它稱為“1+2”.2.費馬猜想：法國業(yè)余數學家之王—費馬（1601-1665）在1640年通過對，，，，的觀察，發(fā)現(xiàn)其結果都是素數，于是提出猜想：對所有的自然數，任何形如的數都是素數.后來瑞士數學家歐拉，發(fā)現(xiàn)不是素數，推翻費馬猜想.3.四色猜想：1852年，畢業(yè)于英國倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色.”，四色猜想成了世界數學界關注的問題.1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用1200個小時，作了100億邏輯判斷，完成證明.二、講授新課：1.教學概念：①概念：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理.簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理.②歸納練習：(i)由銅、鐵、鋁、金、銀能導電，能歸納出什么結論？(ii)由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內角和180度，能歸納出什么結論？(iii)觀察等式：，能得出怎樣的結論？③討論：(i)統(tǒng)計學中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計總體，是否屬歸納推理？(ii)歸納推理有何作用？（發(fā)現(xiàn)新事實，獲得新結論，是做出科學發(fā)現(xiàn)的重要手段）(iii)歸納推理的結果是否正確？（不一定）2.教學例題：出示例題：已知數列的第1項，且，試歸納出通項公式.（分析思路：試值n=1，2，3，4→猜想→如何證明：將遞推公式變形，再構造新數列）②思考：證得某命題在n＝n時成立；又假設在n＝k時命題成立，再證明n＝k＋1時命題也成立.由這兩步，可以歸納出什么結論？（目的：滲透數學歸納法原理，即基礎、遞推關系）③練習：已知，推測的表達式.3.小結：①歸納推理的藥店：由部分到整體、由個別到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想的提出；數列通項公式的歸納.三、鞏固練習：1.練習：教材P381、2題.2.作業(yè)：教材P44習題A組1、2、3題.第二課時2.1.1合情推理（二）教學要求：結合已學過的數學實例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數學發(fā)現(xiàn)中的作用.教學重點：了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理.教學難點：用歸納和類比進行推理，作出猜想.教學過程：一、復習準備：1.練習：已知，考察下列式子：；；.我們可以歸納出，對也成立的類似不等式為.2.猜想數列的通項公式是.3.導入：魯班由帶齒的草發(fā)明鋸；人類仿照魚類外形及沉浮原理，發(fā)明潛水艇；地球上有生命，火星與地球有許多相似點，如都是繞太陽運行、擾軸自轉的行星，有大氣層，也有季節(jié)變更，溫度也適合生物生存，科學家猜測：火星上有生命存在.以上都是類比思維，即類比推理.二、講授新課：1.教學概念：①概念：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理.簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.②類比練習：(i)圓有切線，切線與圓只交于一點，切點到圓心的距離等于半徑.由此結論如何類比到球體？(ii)平面內不共線的三點確定一個圓，由此結論如何類比得到空間的結論？(iii)由圓的一些特征，類比得到球體的相應特征.（教材P81探究填表）小結：平面→空間，圓→球，線→面.③討論：以平面向量為基礎學習空間向量，試舉例其中的一些類比思維.2.教學例題：①出示例1：類比實數的加法和乘法，列出它們相似的運算性質.（得到如下表格）類比角度實數的加法實數的乘法運算結果若則若則運算律逆運算加法的逆運算是減法，使得方程有唯一解乘法的逆運算是除法，使得方程有唯一解單位元②出示例2：類比平面內直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質的猜想.思維：直角三角形中，，3條邊的長度，2條直角邊和1條斜邊；→3個面兩兩垂直的四面體中，，4個面的面積和3個“直角面”和1個“斜面”.→拓展：三角形到四面體的類比.3.小結：歸納推理和類比推理都是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，統(tǒng)稱為合情推理.三、鞏固練習：1.練習：教材P383題.2.探究：教材P35例53.作業(yè)：P445、6題.第三課時2.1.2演繹推理教學要求：結合已學過的數學實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本方法，并能運用它們進行一些簡單的推理。.教學重點：了解演繹推理的含義，能利用“三段論”進行簡單的推理.教學難點：分析證明過程中包含的“三段論”形式.教學過程：一、復習準備：1.練習：①對于任意正整數n，猜想（2n-1）與(n+1)2的大小關系？②在平面內，若，則.類比到空間，你會得到什么結論？（結論：在空間中，若，則；或在空間中，若.2.討論：以上推理屬于什么推理，結論正確嗎？合情推理的結論不一定正確，有待進一步證明，有什么能使結論正確的推理形式呢？3.導入：①所有的金屬都能夠導電，銅是金屬，所以；②太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運行，冥王星是太陽系的大行星，因此；③奇數都不能被2整除，2007是奇數，所以.（填空→討論：上述例子的推理形式與我們學過的合情推理一樣嗎？→課題：演繹推理）二、講授新課：1.教學概念：①概念：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推理稱為演繹推理。要點：由一般到特殊的推理。②討論：演繹推理與合情推理有什么區(qū)別？合情推理；演繹推理：由一般到特殊.③提問：觀察教材P39引例，它們都由幾部分組成，各部分有什么特點？所有的金屬都導電銅是金屬銅能導電已知的一般原理特殊情況根據原理，對特殊情況做出的判斷大前提小前提結論“三段論”是演繹推理的一般模式：第一段：大前提——已知的一般原理；第二段：小前提——所研究的特殊情況；第三段：結論——根據一般原理，對特殊情況做出的判斷.④舉例：舉出一些用“三段論”推理的例子.2.教學例題：①出示例1：證明函數在上是增函數.板演：證明方法（定義法、導數法）→指出：大前題、小前題、結論.②出示例2：在銳角三角形ABC中，，D，E是垂足.求證：AB的中點M到D，E的距離相等.分析：證明思路→板演：證明過程→指出：大前題、小前題、結論.③討論：因為指數函數是增函數，是指數函數，則結論是什么？（結論→指出：大前提、小前提→討論：結論是否正確，為什么？）④討論：演繹推理怎樣才結論正確？（只要前提和推理形式正確，結論必定正確）3.比較：合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系？（從推理形式、結論正確性等角度比較；演繹推理可以驗證合情推理的結論，合情推理為演繹推理提供方向和思路.）三、鞏固練習：1.練習：P422、3題2.探究：P42閱讀與思考3.作業(yè)：P446題，B組1題.第一課時2.2.1綜合法和分析法（一）教學要求：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.教學重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.教學難點：根據問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法.教學過程：一、復習準備：1.已知“若，且，則”，試請此結論推廣猜想.（答案：若，且，則）2.已知，，求證：.先完成證明→討論：證明過程有什么特點？二、講授新課：1.教學例題：①出示例1：已知a,b,c是不全相等的正數，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.分析：運用什么知識來解決？（基本不等式）→板演證明過程（注意等號的處理）→討論：證明形式的特點②提出綜合法：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立.框圖表示：要點：順推證法；由因導果.③練習：已知a，b，c是全不相等的正實數，求證.④出示例2：在△ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數列，a、b、c成等比數列.求證：為△ABC等邊三角形.分析：從哪些已知，可以得到什么結論？如何轉化三角形中邊角關系？→板演證明過程→討論：證明過程的特點.→小結：文字語言轉化為符號語言；邊角關系的轉化；挖掘題中的隱含條件（內角和）2.練習：為銳角，且，求證：.（提示：算）②已知求證：3.小結：綜合法是從已知的P出發(fā)，得到一系列的結論，直到最后的結論是Q.運用綜合法可以解決不等式、數列、三角、幾何、數論等相關證明問題.三、鞏固練習：1.求證：對于任意角θ，.（教材P52練習1題）（兩人板演→訂正→小結：運用三角公式進行三角變換、思維過程）2.的三個內角成等差數列，求證：.3.作業(yè)：教材P54A組1題.第二課時2.2.1綜合法和分析法（二）教學要求：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.教學重點：會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.教學難點：根據問題的特點，選擇適當的證明方法.教學過程：一、復習準備：1.提問：基本不等式的形式？2.討論：如何證明基本不等式.（討論→板演→分析思維特點：從結論出發(fā)，一步步探求結論成立的充分條件）二、講授新課：1.教學例題：①出示例1：求證.討論：能用綜合法證明嗎？→如何從結論出發(fā)，尋找結論成立的充分條件？→板演證明過程（注意格式）→再討論：能用綜合法證明嗎？→比較：兩種證法②提出分析法：從要證明的結論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.框圖表示：要點：逆推證法；執(zhí)果索因.③練習：設x>0，y>0，證明不等式：.先討論方法→分別運用分析法、綜合法證明.④出示例4：見教材P48.討論：如何尋找證明思路？（從結論出發(fā)，逐步反推）⑤出示例5：見教材P49.討論：如何尋找證明思路？（從結論與已知出發(fā)，逐步探求）2.練習：證明：通過水管放水，當流速相等時，如果水管截面（指橫截面）的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：設截面周長為l，則周長為l的圓的半徑為，截面積為，周長為l的正方形邊長為，截面積為，問題只需證：>.3.小結：分析法由要證明的結論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立；比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結論之間的距離，找到溝通已知條件和結論的途徑.（框圖示意）三、鞏固練習：1.設a,b,c是的△ABC三邊，S是三角形的面積，求證：.略證：正弦、余弦定理代入得：，即證：，即：，即證：（成立）.2.作業(yè)：教材P52練習2、3題.第三課時2.2.2反證法教學要求：結合已經學過的數學實例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點.教學重點：會用反證法證明問題；了解反證法的思考過程.教學難點：根據問題的特點，選擇適當的證明方法.教學過程：一、復習準備：1.討論：三枚正面朝上的硬幣，每次翻轉2枚，你能使三枚反面都朝上嗎？（原因：偶次）2.提出問題：平面幾何中，我們知道這樣一個命題：“過在同一直線上的三點A、B、C不能作圓”.討論如何證明這個命題？3.給出證法：先假設可以作一個⊙O過A、B、C三點，則O在AB的中垂線l上，O又在BC的中垂線m上，即O是l與m的交點。但∵A、B、C共線，∴l(xiāng)∥m(矛盾)∴過在同一直線上的三點A、B、C不能作圓.二、講授新課：1.教學反證法概念及步驟：①練習：仿照以上方法，證明：如果a>b>0，那么②提出反證法：一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立.證明基本步驟：假設原命題的結論不成立→從假設出發(fā)，經推理論證得到矛盾→矛盾的原因是假設不成立，從而原命題的結論成立應用關鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等）.方法實質：反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進行證明的，即由一個命題與其逆否命題同真假，通過證明一個命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實.注：結合準備題分析以上知識.2.教學例題：①出示例1：求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.分析：如何否定結論？→如何從假設出發(fā)進行推理？→得到怎樣的矛盾？與教材不同的證法：反設AB、CD被P平分，∵P不是圓心，連結OP，則由垂徑定理：OPAB，OPCD，則過P有兩條直線與OP垂直（矛盾），∴不被P平分.②出示例2：求證是無理數.（同上分析→板演證明，提示：有理數可表示為）證：假設是有理數，則不妨設（m,n為互質正整數），從而：，，可見m是3的倍數.設m=3p（p是正整數），則，可見n也是3的倍數.這樣，m,n就不是互質的正整數（矛盾）.∴不可能，∴是無理數.③練習：如果為無理數，求證是無理數.提示：假設為有理數，則可表示為（為整數），即.由，則也是有理數，這與已知矛盾.∴是無理數.3.小結：反證法是從否定結論入手，經過一系列的邏輯推理，導出矛盾，從而說明原結論正確.注意證明步驟和適應范圍（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的問題）三、鞏固練習：1.練習：教材P541、2題2.作業(yè)：教材P54A組3題.第三章數系的擴充與復數的引入第一課時3.1.1數系的擴充與復數的概念教學要求:理解數系的擴充是與生活密切相關的，明白復數及其相關概念。教學重點：復數及其相關概念，能區(qū)分虛數與純虛數，明白各數系的關系。教學難點：復數及其相關概念的理解教學過程：一、復習準備：1.提問：N、Z、Q、R分別代表什么？它們的如何發(fā)展得來的？（讓學生感受數系的發(fā)展與生活是密切相關的）2．判斷下列方程在實數集中的解的個數（引導學生回顧根的個數與的關系）：（1）（2）（3）（4）3.人類總是想使自己遇到的一切都能有合理的解釋，不想得到“無解”的答案。討論：若給方程一個解，則這個解要滿足什么條件？是否在實數集中？實數與相乘、相加的結果應如何？二、講授新課：1.教學復數的概念：①定義復數：形如的數叫做復數，通常記為（復數的代數形式），其中叫虛數單位，叫實部，叫虛部，數集叫做復數集。出示例1：下列數是否是復數，試找出它們各自的實部和虛部。規(guī)定：，強調：兩復數不能比較大小，只有等與不等。②討論：復數的代數形式中規(guī)定，取何值時，它為實數？數集與實數集有何關系？③定義虛數：叫做虛數，叫做純虛數。④數集的關系：上述例1中，根據定義判斷哪些是實數、虛數、純虛數？2.出示例題2：（引導學生根據實數、虛數、純虛數的定義去分析討論）練習：已知復數與相等，且的實部、虛部分別是方程的兩根，試求：的值。（討論中，k取何值時是實數？）小結：復數、虛數、純虛數的概念及它們之間的關系及兩復數相等的充要條件。三、鞏固練習：1．指出下列復數哪些是實數、虛數、純虛數，是虛數的找出其實部與虛部。2．判斷①兩復數，若虛部都是3，則實部大的那個復數較大。②復平面內，所有純虛數都落在虛軸上，所有虛軸上的點都是純虛數。3若，則的值是？4．．已知是虛數單位，復數，當取何實數時，是：（1）實數（2）虛數（3）純虛數（4）零作業(yè)：2、3題。第二課時3.1.2復數的幾何意義教學要求：理解復數與復平面內的點、平面向量是一一對應的，能根據復數的代數形式描出其對應的點及向量。教學重點：理解復數的幾何意義，根據復數的代數形式描出其對應的點及向量。教學難點:根據復數的代數形式描出其對應的點及向量。教學過程：一、復習準備：1.說出下列復數的實部和虛部，哪些是實數，哪些是虛數。2．復數，當取何值時為實數、虛數、純虛數？3.若，試求的值，（呢？）二、講授新課：1.復數的幾何意義：①討論：實數可以與數軸上的點一一對應，類比實數，復數能與什么一一對應呢？（分析復數的代數形式，因為它是由實部和虛部同時確定，即有順序的兩實數，不難想到有序實數對或點的坐標）結論：復數與平面內的點或序實數一一對應。②復平面：以軸為實軸，軸為虛軸建立直角坐標系，得到的平面叫復平面。復數與復平面內的點一一對應。③例1：在復平面內描出復數分別對應的點。（先建立直角坐標系，標注點時注意縱坐標是而不是）觀察例1中我們所描出的點，從中我們可以得出什么結論？④實數都落在實軸上，純虛數落在虛軸上，除原點外，虛軸表示純虛數。思考：我們所學過的知識當中，與平面內的點一一對應的東西還有哪些？⑤，，注意：人們常將復數說成點或向量，規(guī)定相等的向量表示同一復數。2．應用例2，在我們剛才例1中，分別畫出各復數所對應的向量。練習：在復平面內畫出所對應的向量。小結：復數與復平面內的點及平面向量一一對應，復數的幾何意義。三、鞏固與提高：分別寫出下列各復數所對應的點的坐標。若復數表示的點在虛軸上，求實數的取值。變式：若表示的點在復平面的左（右）半平面，試求實數的取值。3、作業(yè)：課本64題2、3題.第一課時3.2.1復數的代數形式的加減運算教學要求：掌握復數的代數形式的加、減運算及其幾何意義。教學重點：復數的代數形式的加、減運算及其幾何意義教學難點：加、減運算的幾何意義教學過程：一、復習準備：1.與復數一一對應的有？2.試判斷下列復數在復平面中落在哪象限？并畫出其對應的向量。3.同時用坐標和幾何形式表示復數所對應的向量，并計算。向量的加減運算滿足何種法則？4.類比向量坐標形式的加減運算，復數的加減運算如何？二、講授新課：1.復數的加法運算及幾何意義①.復數的加法法則：，則。例1．計算（1）（2）（3）（4）②．觀察上述計算，復數的加法運算是否滿足交換、結合律，試給予驗證。例2．例1中的（1）、（3）兩小題，分別標出，所對應的向量，再畫出求和后所對應的向量，看有所發(fā)現(xiàn)。③復數加法的幾何意義：復數的加法可以按照向量的加法來進行（滿足平行四邊形、三角形法則）2．復數的減法及幾何意義：類比實數，規(guī)定復數的減法運算是加法運算的逆運算,即若，則。④討論：若，試確定是否是一個確定的值？（引導學生用待定系數法，結合復數的加法運算進行推導，師生一起板演）⑤復數的加法法則及幾何意義：，復數的減法運算也可以按向量的減法來進行。例3．計算（1）（2）（3）練習：已知復數，試畫出，，2．小結：兩復數相加減，結果是實部、虛部分別相加減，復數的加減運算都可以按照向量的加減法進行。三、鞏固練習：1．計算（1）（2）（3）2．若，求實數的取值。變式：若表示的點在復平面的左（右）半平面，試求實數的取值。3．三個復數，其中，是純虛數，若這三個復數所對應的向量能構成等邊三角形，試確定的值。作業(yè)：課本71頁1、2題。第二課時3.2.2復數的代數形式的乘除運算教學要求：掌握復數的代數形式的乘、除運算。教學重點：復數的代數形式的乘除運算及共軛復數的概念教學難點：乘除運算教學過程：一、復習準備：1.復數的加減法的幾何意義是什么？2.計算（1）（2）（3）3.計算：（1）（2）（類比多項式的乘法引入復數的乘法）二、講授新課：1.復數代數形式的乘法運算①.復數的乘法法則：。例1．計算（1）（2）（3）（4）探究：觀察上述計算，試驗證復數的乘法運算是否滿足交換、結合、分配律？例2．1、計算（1）（2）（3）2、已知復數，若，試求的值。變：若，試求的值。②共軛復數：兩復數叫做互為共軛復數，當時，它們叫做共軛虛數。注：兩復數互為共軛復數，則它們的乘積為實數。練習：說出下列復數的共軛復數。③類比，試寫出復數的除法法則。2．復數的除法法則：其中叫做實數化因子例3．計算，（師生共同板演一道，再學生練習）練習：計算，2．小結：兩復數的乘除法，共軛復數，共軛虛數。三、鞏固練習：1．計算（1）（2）（3）2．若，且為純虛數，求實數的取值。變：在復平面的下方，求。第四章框圖4.1流程圖教學目的：1.能繪制簡單實際問題的流程圖,體會流程圖在解決實際問題中的作用,并能通過框圖理解某件事情的處理過程.2.在使用流程圖過程