2012年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(CMO)試題(含答案word)

年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克(CMO)試題第一天如圖1，在圓內(nèi)接中，為最大角，不含點(diǎn)的弧上兩點(diǎn)、分別為弧、的中點(diǎn)。記過(guò)點(diǎn)、且與相切的圓為，過(guò)點(diǎn)、且與相切的圓為，與交于點(diǎn)、。證明：平分。給定質(zhì)數(shù)。設(shè)是一個(gè)的矩陣，滿足。允許對(duì)一個(gè)矩陣作如下操作：選取一行或一列，將該行或該列的每個(gè)數(shù)同時(shí)加上1或同時(shí)減去1.若可以通過(guò)有限多次上述操作將中元素全變?yōu)?，則稱是一個(gè)“好矩陣”。求好矩陣的個(gè)數(shù)。3.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，總存在滿足下列條件的嚴(yán)格遞增的正整數(shù)數(shù)列：對(duì)每個(gè)正整數(shù)，有；當(dāng)且僅當(dāng)整數(shù)時(shí)，存在正整數(shù)以及使得.第二天4.設(shè)是給定的正實(shí)數(shù)為給定的正整數(shù)。對(duì)滿足的非負(fù)實(shí)數(shù)，求的最大值。5.設(shè)為無(wú)平方因子的正偶數(shù)，為整數(shù)，為質(zhì)數(shù)，滿足.證明：可以表示為，其中，為互不相同的正整數(shù)。6.求滿足下面條件的最小正整數(shù)：對(duì)集合的任意一個(gè)元子集，都存在中的三個(gè)互不相同的元素、、，使得、、均在集合中。當(dāng)時(shí)，。這樣便驗(yàn)證了所構(gòu)造的序列滿足所有條件。第二天 解法1由，則當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，故的最大值為。解法2對(duì)歸納證明下述理一般的命題。命題對(duì)滿足的非負(fù)實(shí)數(shù)（是任意固定的非負(fù)實(shí)數(shù)），的最大值在時(shí)取到。事實(shí)上，由的對(duì)稱性，不妨設(shè)。注意到，在非負(fù)實(shí)數(shù)集上是單調(diào)遞增的。則當(dāng)時(shí)，，等號(hào)在時(shí)成立。假設(shè)結(jié)論在時(shí)成立，考慮的情形。對(duì)用歸納假設(shè)有其中為關(guān)于的二次函數(shù)，其二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)為。因此，對(duì)稱軸為顯然，上式不等號(hào)左邊右邊，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值。因此，取得最大值時(shí)，。由數(shù)學(xué)歸納法，命題得證。由于是偶數(shù)，故。又，故。不妨假設(shè)取，則由條件知是整數(shù)，、是不同的正整數(shù)。下面只需證明：，并且、由均值不等式有，故由此知若，則，即由于是偶數(shù)，故為偶數(shù)，這樣被4整除，這與無(wú)平方因子矛盾。若，則由于是偶數(shù)，故為奇數(shù)，這同樣導(dǎo)致被4整除，矛盾。綜上，選取的、、滿足條件。命題獲證。設(shè)，令則，且為偶數(shù).①反之，若存在、、滿足性質(zhì)①，則取有、、，且于是，題述條件等價(jià)于對(duì)任意的元子集，均有、、，滿足性質(zhì)①。若，則，且集合中不含有滿足性質(zhì)①的三個(gè)元素。因此下面證明：任意一個(gè)1008元子集均含有三個(gè)元素滿足性質(zhì)①。接下來(lái)證明一個(gè)更一般的結(jié)論：對(duì)任意整數(shù)，集合的任意一個(gè)元子集均含有三個(gè)元素滿足性質(zhì)①。對(duì)進(jìn)行歸納。當(dāng)時(shí)，設(shè)集合是的一個(gè)六元子集，則至少有4個(gè)元素。若中含有三個(gè)偶數(shù)，則4、6、8且滿足性質(zhì)①；若中恰含有兩個(gè)偶數(shù)，則它還應(yīng)含有至少兩個(gè)奇數(shù)，取這兩個(gè)奇數(shù)，則4、6、8中至少有兩個(gè)偶數(shù)與這兩個(gè)奇數(shù)可以形成一個(gè)滿足性質(zhì)①的三元數(shù)組，由于至少有兩個(gè)偶數(shù)，故存在三個(gè)數(shù)滿足性質(zhì)①；若中恰含有一個(gè)偶數(shù)，則它含有全部三個(gè)奇數(shù)，此偶數(shù)與5、7即構(gòu)成滿足性質(zhì)①的三元數(shù)組。因此，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。假設(shè)結(jié)論對(duì)成立，考慮的情形。設(shè)集合是的一個(gè)元子集，若，則由歸納假設(shè)知結(jié)論成立。于是，只需考慮且、的情形。此時(shí)，若中有一個(gè)大于1的奇數(shù)在集合中，則、、即構(gòu)成滿足性質(zhì)①的