2017年中考數(shù)學(xué)專題9《幾何最值問題解題策略》

2017年中考數(shù)學(xué)專題(zhuāntí)9?幾何最值問題解題策略?第一頁，共25頁。最值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容(nèiróng),無論是代數(shù)問題還是幾何問題都有最值問題,在中考壓軸題中出現(xiàn)比較高的主要有利用重要的幾何結(jié)論(如兩點(diǎn)之間線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊、垂線段最短等)以及用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)來求最值問題.安徽中考在2015,2016年連續(xù)2年都出現(xiàn)幾何問題的最值問題,考生得分率普遍不高,在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起關(guān)注,預(yù)計(jì)2017年安徽中考會(huì)出現(xiàn)幾何最值問題的選擇題或解答題.第二頁，共25頁。1.在求幾何圖形中的周長或線段長度最值時(shí),解決此類問題的方法一般是先將要求線段(要求的量)用未知數(shù)x表示出來,建立函數(shù)模型(一般所表示的式子為一次函數(shù)解析式或二次函數(shù)解析式),常用勾股定理或三角形相似求得函數(shù)關(guān)系式,再用函數(shù)的增減性或最值來求解即可.2.利用對稱的性質(zhì)求兩條線段之和最小值的問題,解決此類問題的方法為:如圖,要求直線l上一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A,B距離之和的最小值,先作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A',連接A'B,那么A'B與直線l的交點(diǎn)即為P點(diǎn),根據(jù)(gēnjù)對稱性可知此時(shí)A'B的長即為PA+PB的最小值,求出A'B的值即可.第三頁，共25頁。題型2題型1題型3題型1三角形中最值問題(wèntí)典例1(2016·江蘇淮安)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)F在邊AC上,并且CF=2,點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn),將△CEF沿直線EF翻折,點(diǎn)C落在點(diǎn)P處,那么點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是.

第四頁，共25頁。題型2題型1題型3【解析】此題考查(kǎochá)與三角形有關(guān)的折疊的計(jì)算.由于FP的長度是不變的,于是P點(diǎn)在以點(diǎn)F為圓心,以2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),由此可確定點(diǎn)P在什么位置時(shí)到邊AB的距離最小.如圖,當(dāng)點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),PF的長固定不變,即PF=CF=2.∴點(diǎn)P在以點(diǎn)F為圓心,以2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)F作FH⊥AB交☉F于P,垂足為H,此時(shí)PH最短,此時(shí)△AFH∽△ABC,∴第五頁，共25頁。題型2題型1題型3題型2四邊形中最值問題(wèntí)典例2(2016·江蘇常州)如圖,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同側(cè)作正△ABD、正△APE和正△BPC,那么四邊形PCDE面積的最大值是.

第六頁，共25頁。題型2題型1題型3【解析】此題考查等邊三角形的性質(zhì)、不等式、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識,根據(jù)題意建立(jiànlì)不等式、轉(zhuǎn)化不等式是解答此題的關(guān)鍵.△APB中,因?yàn)锳B=2,∠APB=90°,所以AP2+PB2=AB2=4,因?yàn)?AP-PB)2≥0,所以AP2+PB2≥2AP·PB,所以2AP·PB≤4,AP·PB≤2,因?yàn)椤鰽BD,△APE和△BPC都是等邊三角形,所以AP=PE=AE,PB=PC=BC,AB=AD=BD,所以PE·PC≤2,又∠EAP=∠DAB=60°,所以∠EAD=∠PAB,又AP=AE,AD=AB,所以△EAD≌△PAB,所以ED=PB,又PB=PC,所以ED=PC,同理EP=DC,所以四邊形PCDE是平行四邊形,所以EP∥DC,因?yàn)椤螮PA=∠CPB=60°,∠APB=90°,所以∠EPC=360°-∠EPA-∠CPB-∠APB=150°,因?yàn)镋P∥DC,∠DCP+∠EPC=180°,所以∠DCP=180°-∠EPC=30°,過點(diǎn)P作PQ⊥DC于點(diǎn)Q,因?yàn)椤螾QC=90°,所以PQ==1,所以(suǒyǐ)四邊形PCDE面積的最大值是1.【答案(dáàn)】1第七頁，共25頁。題型2題型1題型3【方法歸納】此題借助不等式“a2+b2≥2ab〞通過代換轉(zhuǎn)化來求平行四邊形面積(miànjī)的最值,表達(dá)了轉(zhuǎn)化思想和整體思想的運(yùn)用.第八頁，共25頁。題型2題型1題型3題型3圓中最值問題(wèntí)典例3在☉O中,直徑AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,點(diǎn)P在BC上,點(diǎn)Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如圖1,當(dāng)PQ∥AB時(shí),求PQ的長度;(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí),求PQ長的最大值.【解析】此題考查解直角三角形與勾股定理等知識.(1)連接OQ,在Rt△OPB中求出OP的長,在Rt△OPQ中求出PQ的長即可;(2)由勾股定理可知PQ2=OQ2-OP2,OQ的長為定值,那么OP最小時(shí),PQ最大,此時(shí)OP⊥BC,即可求解.第九頁，共25頁。題型2題型1題型3第十頁，共25頁。題型2題型1題型3第十一頁，共25頁。題型2題型1題型3【歸納總結(jié)】此題綜合性強(qiáng),解題方法很多,考查范圍較廣,與初中數(shù)學(xué)很多內(nèi)容有關(guān),如勾股定理、圓周角定理及推論、垂徑定理、相似、三角函數(shù)、二次函數(shù)、垂線段的性質(zhì)、二次根式的計(jì)算與化簡等.考查了多種數(shù)學(xué)思想(sīxiǎng),如建模思想(sīxiǎng)、化歸思想(sīxiǎng)等.此題難度中等,有一定的靈活性,考生不易拿總分值.第十二頁，共25頁。21345671.如圖,正方形ABCD的面積為16,△ABE是等邊三角形,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),在對角線AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE的和最小,那么(nàme)這個(gè)最小值為(C)【解析】設(shè)BE與AC交于點(diǎn)P',連接BD,P'D.∵點(diǎn)B與D關(guān)于AC對稱,∴P'D=P'B,∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE,當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P'處時(shí),PD+PE最小.∵正方形ABCD的面積為16,∴AB=4,又∵△ABE是等邊三角形,∴BE=AB=4,∴PD+PE的最小值為4.第十三頁，共25頁。21345672.如圖,直線l與半徑為4的☉O相切于點(diǎn)A,P是☉O上的一個(gè)(yīɡè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),過點(diǎn)P作PB⊥l,垂足為B,連接PA.設(shè)PA=x,PB=y,那么(x-y)的最大值是2.

【解析】如圖,作直徑AC,連接CP,那么(nàme)∠CPA=90°,∵AB是切線,∴CA⊥AB,∵PB⊥l,∴AC∥PB,∴∠CAP=∠APB,∴△APC∽△PBA,第十四頁，共25頁。21345673.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在拋物線y=x2-2x+2上運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C,以AC為對角線作矩形(jǔxíng)ABCD,連接BD,那么對角線BD的最小值為1.

【解析】此題考查拋物線性質(zhì)和矩形(jǔxíng)性質(zhì).由拋物線y=x2-2x+2=(x-1)2+1得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),∵四邊形ABCD是矩形(jǔxíng),∴BD=AC,∴當(dāng)BD最小時(shí)AC最小.∵點(diǎn)A在拋物線y=x2-2x+2上,∴當(dāng)點(diǎn)A是拋物線的最低點(diǎn),即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1)時(shí),AC最小為1,∴BD的最小值為1.第十五頁，共25頁。2134567【解析】此題考查直角坐標(biāo)系中垂線段最短的問題(wèntí).當(dāng)PM⊥AB時(shí),PM最小,由此可得,∠BPM+∠PBA=∠PBA+∠OAB=90°,∴∠BPM=∠OAB.對于直線y=第十六頁，共25頁。21345675.(2016·武漢)如圖,∠AOB=30°,點(diǎn)M,N分別在邊OA,OB上,且OM=1,ON=3,點(diǎn)P,Q分別在邊OB,OA上,那么MP+PQ+QN的最小值是

.

【解析(jiěxī)】如圖,作點(diǎn)M關(guān)于ON的對稱點(diǎn)M‘,點(diǎn)N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N’,連接M‘N’分別交ON,OA于點(diǎn)P,Q,此時(shí)MP+PQ+QN的值最小.由對稱性質(zhì)知,M‘P=MP,N’Q=NQ,∴MP+PQ+QN=M‘N’.連接ON‘,OM’,那么∠M‘OP=∠MOP=∠N’OQ=30°,∴∠N‘OM’=90°,又∵ON‘=ON=3,OM’=OM=1,∴M'N'=第十七頁，共25頁。2134567第十八頁，共25頁。21345677.在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn).假設(shè)(jiǎshè)等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到等腰Rt△AD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0<α≤180°),記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P.(1)如圖1,當(dāng)α=90°時(shí),線段BD1的長等于,線段CE1的長等于.(直接填寫結(jié)果)

(2)如圖2,當(dāng)α=135°時(shí),求證:BD1=CE1,且BD1⊥CE1.(3)①設(shè)BC的中點(diǎn)為M,那么線段PM的長為;②點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值為.

第十九頁，共25頁。2134567解:(1)∵∠A=90°,AC=AB=4,D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn)(zhōnɡdiǎn),∴AE=AD=2,∵等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到等腰Rt△AD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0<α≤180°),∴當(dāng)α=90°時(shí),AE1=2,∠E1AE=90°,第二十頁，共25頁。2134567(2)當(dāng)α=135°時(shí),∵Rt△AD1E1是由Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)135°得到,∴AD1=AE1,∠D1AB=∠E1AC=135°,在△D1AB和△E1AC中,∴△D1AB≌△E1AC(SAS),∴BD1=CE1,且∠D1BA=∠E1CA,記直線BD1與AC交于點(diǎn)F,∴∠BFA=∠CFP,∴∠CPF=∠FAB=90°,∴BD1⊥CE1.第二十一頁，共25頁。2134