2022-2023學年四川省廣安市校高二年級下冊學期第一次月考數(shù)學（理）試題【含答案】

2022-2023學年四川省廣安市校高二下學期第一次月考數(shù)學（理）試題一、單選題1．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)特稱命題的否定直接得出答案.【詳解】因為特稱命題的否定是全稱命題，所以命題“，”的否定是為：，，故選：D.2．關(guān)于用統(tǒng)計方法獲取、分析數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．質(zhì)檢機構(gòu)為檢測一大型超市某商品的質(zhì)量情況，合理的調(diào)查方式為抽樣調(diào)查B．若甲?乙兩組數(shù)據(jù)的標準差滿足，則可以估計甲比乙更穩(wěn)定C．若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為D．為了解高一學生的視力情況，現(xiàn)有高一男生200人，女生400人，按性別進行分層抽樣，樣本量按比例分配，若從女生中抽取的樣本量為80，則男生樣本容量為60【答案】D【分析】由抽樣調(diào)查，標準差，平均數(shù)相關(guān)知識分析各選項即可.【詳解】A選項，因大型超市某商品數(shù)量較大，則用抽樣調(diào)查較為合理，故A正確；B選項，標準差較小的數(shù)據(jù)更加穩(wěn)定，故B正確；C選項，由題有，故C正確；D選項，由題可得抽取樣本中男生與女生的比例為，則男生樣本容量為，故D錯誤.故選：D3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，則輸出的值為（

）A．6 B．10 C．14 D．18【答案】B【分析】模擬程序運行后可得結(jié)果.【詳解】程序運行時輸入，∵，∴執(zhí)行，判斷，執(zhí)行，判斷，輸出．故選：B．4．已知函數(shù)的圖像在點處的切線方程是，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】利用導數(shù)的幾何意義求出和，即可求得.【詳解】函數(shù)的圖像在點處的切線的斜率就是在該點處的導數(shù)，即就是切線的斜率，所以.又，所以.故選：D5．已知點為平面區(qū)域上的一個動點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不等式組作出可行域，根據(jù)的幾何意義:可行域內(nèi)的點與連線的斜率求解即可.【詳解】由約束條件作出可行域如圖:的幾何意義是可行域內(nèi)的點與連線的斜率，由可行域可知，當取點時，連線斜率最大，所以的最大值為，當取點時，連線斜率最小，所以的最小值為，則的取值范圍是.故選:C.【點睛】本題主要考查了簡單線性規(guī)劃問題中的目標函數(shù)范圍問題，屬于中檔題，解決線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵是正確地作出可行域，準確地理解目標函數(shù)的幾何意義.6．在四面體中，分別為的中點，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量加法的多邊形法則，即可得出，進而得出答案.【詳解】.故選：A.7．已知四棱錐的底面ABCD是矩形，底面ABCD，其三視圖如圖所示，則二面角的正弦值為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】畫出四棱錐的直觀圖,根據(jù)條件知為二面角的平面角，再求其正弦值即可.【詳解】由三視圖得四棱錐的直觀圖如下圖:底面ABCD，底面ABCD，底面ABCD，故又面面，故為二面角的平面角，由題意知:，在中,，二面角的正弦值為，故選:C8．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則中，最大的項為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】運用等差數(shù)列的性質(zhì)及不等式性質(zhì)分析可得.【詳解】∵為等差數(shù)列，設(shè)公差為，∴，解得：；，解得：，所以，所以，所以為單調(diào)遞減的等差數(shù)列，所以，又因為，所以，又因為，，，所以，所以，所以.綜述：這四個選項中，最大.故選：C.9．正方形的邊長為2，以為起點作射線交邊于點，則的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出以為起點作射線交邊于點時所有射線形成的角的大小，再考慮對應(yīng)的射線所形成的角的大小，從而可求概率.【詳解】如圖，在邊上取一點，使得，則.以為起點作射線交邊于點時所有射線形成的角為，以為起點作射線交邊于點且時所有的射線形成的角為，故時對應(yīng)的概率為.故選：B.10．是橢圓的左?右焦點，點為橢圓上一點，點在軸上，滿足，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合向量加法的平行四邊形法則確定與的關(guān)系，再利用橢圓定義結(jié)合余弦定理求解作答.【詳解】由得，以、為一組鄰邊的平行四邊形的以點M為起點的對角線對應(yīng)的向量與共線，由知，平分，因此這個平行四邊形是菱形，有，又，于是得，令橢圓的半焦距為c，在中，，由余弦定理得：，即，則有，解得，所以橢圓的離心率為.故選：D11．我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有這樣一些數(shù)學用語，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，而“陽馬”指底面為矩形，且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.現(xiàn)有一如圖所示的塹堵，，若，當陽馬體積最大時，則塹堵的外接球體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)體積的最大值求得此時的長，判斷出球心的位置，求得的外接球的半徑，進而求得球的體積.【詳解】依題意可知平面.設(shè)，則.，當且僅當時取得最大值.依題意可知是以為斜邊的直角三角形，所以塹堵外接球的直徑為，故半徑.所以外接球的體積為.特別說明：由于平面，是以為斜邊的直角三角形，所以塹堵外接球的直徑為為定值，即無論陽馬體積是否取得最大值，塹堵外接球保持不變，所以可以直接由直徑的長，計算出外接球的半徑，進而求得外接球的體積.故選：B【點睛】本小題主要考查幾何體外接球的體積的求法，考查四棱錐體積最大值的計算，考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查中國古代數(shù)學文化，屬于基礎(chǔ)題.12．在長方體中．，，是線段上的一動點，如下的四個命題中，（1）平面；（2）與平面所成角的正切值的最大值是；（3）的最小值為；（4）以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長是．真命題共有幾個（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可判斷（1）的正誤;求出的最小值，利用線面角的定義可判斷（2）正誤，將沿翻折到與在同一平面，利用余弦定理可判斷（3）正誤，因為平面，所以交線是以為圓心，半徑為1的四分之一的圓周，故判斷（4）.【詳解】對于（1），在長方體中，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面平面平面，同理可證平面，且平面，平面平面，又平面，所以平面，故（1）正確；對于（2），平面，所以與平面所成角為，，所以，當時，與平面所成角的正切值的最大，由勾股定理得，由等面積法得，所以的最大值為，故（2）正確；對于（3），將沿翻折與在同一平面，如下圖所示：在中，為直角，在中，，由余弦定理得，則為銳角，可得，，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)解得，因此，的最小值為，故（3）正確，對于（4），因為平面，則交線上的點到點的距離等于，所以交線是以為圓心，半徑為1的四分之一的圓周，所以交線長為，所以（4）正確，故選：D.【點睛】求直線與平面所成角的方法（1）定義法，作出垂線，找垂足位置，然后是證明所作的角就是直線與平面所成的角，最后利用解三角形的知識求角即可；（2）向量法，.二、填空題13．某高校調(diào)查了400名學生每周的自習時間（單位：小時），將收集到的自習時間分成5組：（自習時間均在內(nèi)），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，則這400名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是______.【答案】280【分析】計算自習時間不少于22.5小時的組的頻率與總?cè)藬?shù)相乘即可.【詳解】由頻率分布直方圖知，這400名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)為：.故答案為：280.14．已知空間中單位向量、，且，則的值為________.【答案】【分析】根據(jù)向量的運算法則計算，得到答案.【詳解】，故.故答案為：.15．點在二面角的平面上，點到平面的距離為，點到棱的距離為，則二面角的大小為______．【答案】或【分析】根據(jù)二面角的定義，結(jié)合勾股定理分類討論進行求解即可.【詳解】當二面角為鈍角時，如下圖所示：設(shè)，連接，因為，所以，而平面，所以平面，而平面，所以，所以是二面角的平面角的補角，在直角三角形中，，所以二面角的大小為，同理當二面角為銳角時，二面角的大小為，故答案為：或16．已知雙曲線的右焦點為，直線與雙曲線相交于兩點，點，以為直徑的圓與相交于兩點，若為線段的中點，則__________.【答案】2【分析】根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系確定交點坐標關(guān)系，利用直線和圓的幾何性質(zhì)，即可求得的長.【詳解】解：如圖，由題可知，的坐標為，設(shè)，聯(lián)立方程組，可得，則，.因為為線段的中點，所以的坐標為.又以為直徑的圓與相交于兩點，所以，所以，解得，又，所以，所以，故.故答案為：2.三、解答題17．已知曲線上一點，過點作直線．（1）求與曲線相切且以為切點的直線的方程；（2）求與曲線相切且切點異于點的直線的方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用導數(shù)的定義求的導函數(shù)，進而求出點處的斜率，寫出切線方程.（2）設(shè)切點為，由（1）所得導函數(shù)求斜率，寫出含參的切線方程，由點在切線上求參數(shù)，即可寫出切線方程.【詳解】（1），當時，，∴，則與曲線相切且以為切點的直線的斜率，∴所求直線的方程為．（2）設(shè)切點坐標為，則由（1）知直線的斜率，∴直線的方程為，又直線過點，∴，解得（舍去）或．∴所求直線的斜率的，故直線的方程為，即．18．已知公比大于0的等比數(shù)列的前項和為，，是和的等差中項.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，依題意得到方程，求出，從而求出數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得的通項公式，再利用錯位相減法求和即可；【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為.由題意知，即，化簡得，因為，所以.所以.（2）由（1）可知.所以，①，②由，可得，所以.【點睛】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．19．如圖，四棱錐P－ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，，∠DAB=90°，PA=AD，DC=2AB，E為PC中點.(1)求證：直線//平面PAD；(2)當AP=AB時，求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取PD中點，連接EF，AF，證明四邊形ABEF為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理證明；（2）以點A為坐標原點，分別以AP，AB，AD所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，易知平面PAD的一個法向量為，再求得平面PBC的一個法向量，由求解.【詳解】（1）證明：如圖所示：取PD中點，連接EF，AF，由為PC中點，∴，又，∴，故四邊形ABEF為平行四邊形.∴，又平面，平面PAD，∴//平面PAD.（2）設(shè)，則.由平面平面ABCD，平面平面，又，∴平面ABCD，如圖，以點A為坐標原點，分別以AP，AB，AD所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系：則平面PAD的一個法向量為，，則，，設(shè)是平面PBC的一個法向量，則－x＋y=0且－x＋2y＋z=0，令x=1.則y=1，z=－1，，所以當時，平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為.20．正四棱錐中，，，其中為底面中心，為上靠近的三等分點.(1)求四面體的體積；(2)是否存在側(cè)棱上一點，使面與面所成角的正切值為？若存在，請描述點的位置；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在側(cè)棱上一點，使面與面所成角的正切值為，此時或【分析】（1）連接，交于點，過作于點，根據(jù)位置可得，以為底，為高可得四面體體積；（2）以為坐標原點，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，利用坐標法，結(jié)合二面角確定點位置.【詳解】（1）如圖所示，連接，交于點，過作于點，由四棱錐為正四棱錐，且為底面中心，得，，平面，，，又，，平面，平面，又，則，因為為上靠近的三等分點，則，且平面，所以；（2）設(shè)平面與平面所成角為，則，，如圖所示，以為坐標原點，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，則，，，，因為為上靠近的三等分點，則，且，，，設(shè)，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，又由（1）得平面，則平面的法向量為，所以，解得或，所以存在側(cè)棱上一點，使面與面所成角的正切值為，此時或.21．已知拋物線與橢圓存在相同的焦點，第一象限內(nèi)曲線上的一點到其焦點的距離為2，直線與相交于兩點（不與點重合），直線，關(guān)于直線對稱.(1)求證：直線的斜率為定值；(2)若橢圓上存在不同的兩點關(guān)于直線對稱，求原點到直線距離的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先由橢圓的方程求得焦點坐標，從而由焦點相同求得拋物線的方程，再利用拋物線的定義求得點，從而假設(shè)直線，的方程，分別與拋物線的方程聯(lián)立的坐標，由此利用直線的斜率公式即可得證；（2）方法一：根據(jù)題意假設(shè)直線與的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，求得，，，從而得到，進而得到的范圍，由此利用點線距離公式即可得解；方法二：利用點差法求得，進而求得，，再利用點在橢圓內(nèi)求得的范圍，由此利用點線距離公式即可得解；【詳解】（1）因為橢圓，所以橢圓的焦點坐標分別為，，又拋物線與橢圓存在相同的焦點，所以，，故拋物線的方程為，因為第一象限內(nèi)曲線上的一點到其焦點的距離為2，曲線的準線為，所以根據(jù)拋物線的定義得，所以，則，故（負值舍去），則，因為直線，關(guān)于直線，即對稱，所以兩直線的斜率之和為0，設(shè)直線，的方程分別為和（，且存在），聯(lián)立方程，消去，得，則由，解得，設(shè)，，則，，所以代入，得點的坐標為，同理可得點的坐標為，所以，即直線的斜率為定值.（2）方法一：依題意，設(shè)橢圓上關(guān)于直線對稱的兩點