2013年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及詳解

PAGE甘肅省華亭縣皇甫學(xué)校李敬之老師個人競賽空間第2頁（共8頁）2013年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題及詳解第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）1.計算（）（A） （B）1 （C） （D）2【答案】（B）【解析】原式=，故選（B）.2.滿足等式的所有實(shí)數(shù)的和為（）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】（A）【解析】分三種情況進(jìn)行討論：（1）若，即時，滿足已知等式；（2）若，即時，滿足已知等式；（3）若，即且時，由已知，得解得，故滿足等式的所有實(shí)數(shù)的和，故選（A）.3.已知是圓的直徑，為圓上一點(diǎn)，，的平分線交圓于點(diǎn)，若，則=（）（A）2 （B） （C） （D）3【答案】（A）【解析】連接,過點(diǎn)作于點(diǎn)，則,,從而,由是圓的直徑，得,因平分,故,,在中，∵,,∴,故選（A）.4.不定方程的全部正整數(shù)解的組數(shù)為（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【答案】（B）【解析】由，得，因為正整數(shù)，故，從而于是，，即，由，知，故，，故或當(dāng)時，；當(dāng)時，.故原不定方程的全部正整數(shù)解有兩組：，,故選（B）.5.矩形的邊長,為的中點(diǎn),在線段上,，分別與,交于點(diǎn),則=（）（A）（B）（C）（D）【答案】（C）【解析】因,故,,因,故,故,故.延長交于點(diǎn),則由為的中點(diǎn)，知,故,,因,故,故，故,于是,故選（C）.6.設(shè)為正整數(shù)，若不超過的正整數(shù)中質(zhì)數(shù)的個數(shù)等于合數(shù)的個數(shù)，則稱為“好數(shù)”那么，所有“好數(shù)”之和為（）（A）33 （B）34 （C）2013 （D）2014【答案】（B）【解析】因既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，故“好數(shù)”一定是奇數(shù).設(shè)不超過的正整數(shù)中，質(zhì)數(shù)的個數(shù)為,合數(shù)的個數(shù)為,當(dāng)時，列表如下（只考慮為奇數(shù)的情況）：，代入（2）得或，于是或，代入（3）或（4），得，故符合條件的實(shí)數(shù)存在且不唯一，如就是一組.又如也是一組，當(dāng)然還有很多組.二、（本題滿分25分）已知點(diǎn)在以為直徑的圓上，過點(diǎn)作圓的切線，交于點(diǎn)，連接，若，求的值.解：連接，因為為圓的切線，所以因為,所以,因為，所以,所以,所以連接,因為圓的直徑，為圓的切線，故又，所以，所以.又,,（為圓的半徑），代入,得.在中，由勾股定理,得,所以.三、（本題滿分25分）已知是一元二次方程的一個根，若正整數(shù)使得等式成立，求的值.解：因為是一元二次方程的一個根，顯然是無理數(shù)，且.由，得，將代入，得，即因為是正整數(shù)，是無理數(shù)，所以，于是可得因此是關(guān)于的一元二次方程的兩個正整數(shù)根，該方程的判別式又因為是正整數(shù)，所以，從而可得又因為判別式是一個完全平方數(shù)，驗證可知，只有符合要求.把代入,得第二試（B）一、（本題滿分20分）已知，若正整數(shù),使成立，求的值.解：因為，所以由，得，將代入，得，整理得因為是正整數(shù)，是無理數(shù)，所以于是可得因此是關(guān)于的一元二次方程的兩個正整數(shù)根，該方程的判別式又因為是正整數(shù)，所以，從而可得又因為判別式是一個完全平方數(shù)，驗證可知，只有符合要求.把代入,得.二、（本題滿分25分）在中，，分別是的外心和內(nèi)心，且滿足,求證：（1）∥;（2）.證明:（1）過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，則∥,設(shè)，由分別是的外心和內(nèi)心，得，所以，又恰好是兩條平行線之間的垂線段，所以也是兩條平行線之間的垂線段，所以∥，所以∥.（2）由（1）知是矩形，連接，設(shè)（即為的內(nèi)切圓半徑），則三、（本題滿分25分）若正數(shù)滿足求代數(shù)式的值.解：由于