“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2011年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及參考答案

-PAGE13-“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2011年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及參考答案中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2011年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題題號(hào)一二三總分1～56～1011121314得分評卷人復(fù)查人答題時(shí)注意：1．用圓珠筆或鋼筆作答；2．解答書寫時(shí)不要超過裝訂線；3．草稿紙不上交.一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.每道小題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1．設(shè)，則代數(shù)式的值為().（A）24（B）25（C）（D）2．對于任意實(shí)數(shù)，定義有序?qū)崝?shù)對與之間的運(yùn)算“△”為：（）△（）＝（）．如果對于任意實(shí)數(shù)都有（）△（）＝（），那么（）為().（A）（0，1）（B）（1，0）（C）（﹣1，0）（D）（0，-1）3．若，，且滿足，則的值為().（A）1（B）2（C）（D）4．點(diǎn)分別在△的邊上，相交于點(diǎn)，設(shè)，則與的大小關(guān)系為().（A）（B）（C）（D）不能確定5．設(shè)，則的整數(shù)部分等于().（A）4（B）5（C）6（D）7二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6．若關(guān)于的方程有三個(gè)根，且這三個(gè)根恰好可以作為一個(gè)三角形的三條邊的長，則的取值范圍是.7．一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，3，4，5，6，8.同時(shí)擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是.8．如圖，點(diǎn)為直線上的兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)分別作y軸的平行線交雙曲線（）于兩點(diǎn).若，則的值為.（第10（第10題）（第8題）9．若的最大值為a，最小值為b，則的值為.10．如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB的長為35，正方形CDEF內(nèi)接于△ABC，且其邊長為12，則△ABC的周長為.三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11．已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)整數(shù)根恰好比方程的兩個(gè)根都大1，求的值.12．如圖，點(diǎn)為△的垂心，以為直徑的⊙和△的外接圓⊙相交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)為的中點(diǎn).（第（第12題）13．如圖，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，過點(diǎn)任作直線交拋物線于，兩點(diǎn).（1）求證：∠=∠；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），且∠=60o，試求所有滿足條件的直線的函數(shù)解析式.（第（第13題）14．如圖，△ABC中，，．點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且，求△ABC的面積．（第（第14題）中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2011年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題1．A解：因?yàn)椋?，，所?．B解：依定義的運(yùn)算法則，有即對任何實(shí)數(shù)都成立.由于實(shí)數(shù)的任意性，得（）=（1，0）．3．C解：由題設(shè)可知，于是，所以，故，從而．于是．4．C（第4題）解：如圖，連接，設(shè)，則，從而有．因?yàn)?，所以．（?題）5．A解：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所?于是有，故的整數(shù)部分等于4．二、填空題6．3＜m≤4解：易知是方程的一個(gè)根，設(shè)方程的另外兩個(gè)根為，則，．顯然，所以≥0，即，≥0，所以，≥0，解之得3＜m≤4.7．解：在36對可能出現(xiàn)的結(jié)果中，有4對：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和為5，所以朝上的面兩數(shù)字之和為5的概率是.8．6解：如圖，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以．（第8題）由于，又因?yàn)?，于是（?題）所以即9．解：由≥0，且≥0，得≤≤．．由于，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值1，故．當(dāng)或1時(shí)，取到最小值，故．所以，．10．84解：如圖，設(shè)BC＝a，AC＝b，則＝1225．①（第10題）又Rt△AFE∽R(shí)t△ACB，所以，即，故（第10題）．②由①②得，解得a＋b＝49（另一個(gè)解－25舍去），所以．三、解答題11．解：設(shè)方程的兩個(gè)根為，其中為整數(shù)，且≤，則方程的兩根為，由題意得，兩式相加得，即，所以或解得或又因?yàn)樗裕换蛘?，故，?9.12．證明：如圖，延長交⊙于點(diǎn)，連接.因?yàn)闉椤训闹睆剑ǖ?2題）所以∠∠90°，（第12題）故為⊙的直徑.于是.又因?yàn)辄c(diǎn)為△的垂心，所以所以∥，∥，四邊形為平行四邊形.所以點(diǎn)為的中點(diǎn).13．解：（1）如圖，分別過點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），則點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-）.設(shè)直線的函數(shù)解析式為,并設(shè)的坐標(biāo)分別為,.由（第13題）得（第13題）于是，即.于是又因?yàn)?，所?因?yàn)椤稀?，所以△∽△，故?∠.（2）解法一設(shè)，，不妨設(shè)≥>0，由（1）可知∠=∠，=，=，所以=，=.因?yàn)椤?，所以△∽?于是，即，所以．由（1）中，即，所以于是可求得將代入，得到點(diǎn)的坐標(biāo)（，）.再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求得所以直線的函數(shù)解析式為.根據(jù)對稱性知，所求直線的函數(shù)解析式為，或.解法二設(shè)直線的函數(shù)解析式為,其中.由（1）可知，∠=∠，所以.故.將代入上式，平方并整理得，即.所以或又由(1)得