2020年數(shù)學(xué)建模保險(xiǎn)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)方案

數(shù)學(xué)建模保險(xiǎn)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)方案

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保險(xiǎn)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)方案

摘要

隨著人們的生活水平不斷提高，社保、養(yǎng)老等問題已引起人們的普遍關(guān)注。針對(duì)這

一現(xiàn)象，保險(xiǎn)公司計(jì)劃設(shè)計(jì)一種新產(chǎn)品推向市場。本文為解決保險(xiǎn)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)問題，建

立了相應(yīng)的模型。

針對(duì)模型一、二、三：首先根據(jù)題目中已知信息，結(jié)合當(dāng)投保人恰好滿加歲死亡(*

加為整數(shù)),保險(xiǎn)公司不盈不虧,能夠得出每月交納費(fèi)用(。)、交納年限(〃)、固定工資3)、

月利率(c)與死亡年齡(m)之間的一個(gè)關(guān)系式：a(l+c)⑵"-(1+c?y2("i>(a+b)+0=0,

其次運(yùn)用儂山仍軟件，能夠求得問題2中的6=983.7302元，問題3中風(fēng)〃的關(guān)系式為：

n=m-33.371og(0.333e002996,n)+0.667

最后繪制出根與〃的圖形。

針對(duì)模型四：首先列出完成本產(chǎn)品的最終設(shè)計(jì)所需要的數(shù)據(jù)種類，再結(jié)合這些數(shù)

據(jù)以及全國第五次人口大普查的死亡概率分布圖得出的信息，綜合模型三中建立的關(guān)系

式計(jì)算出“年后的繳費(fèi)年限，再來確定每月工資發(fā)放的額度。

針對(duì)模型五、六：解決保險(xiǎn)公司不盈不虧的概率。首先，對(duì)于問題5,上面已經(jīng)求

出在保險(xiǎn)公司不盈不虧情況下的關(guān)系式，而且已知投保人恰好A歲死亡的概率是“,因

此保險(xiǎn)公司不盈不虧的概率即為乙。其次，在問題6中，考慮的是投保人都是恰好滿

整數(shù)歲死亡，對(duì)此分為兩種方案進(jìn)行計(jì)算。由已知條件列出關(guān)系式，先求出投保人在兩

種方案下的平均死亡概率分別為：

0+22+3n+.......+叩“4件2認(rèn)當(dāng)..…+m“

P1+P2+P3+.......+P”P5+1寸P*甘,??…+P,,,

投保人平均死亡概率即為保險(xiǎn)公司不盈不虧的概率。

針對(duì)模型七：首先，已知投保人大于4-1歲，小于等于女歲的死亡概率為“，且交

費(fèi)和領(lǐng)取工資是按月進(jìn)行的，投保人不一定恰好滿整數(shù)歲死亡。其次，需對(duì)模型六出現(xiàn)

的兩種情況進(jìn)行分析求解，運(yùn)用水平法求出每個(gè)月的平均死亡概率，以此得出月平均增

長率。根據(jù)月平均增長率，累加算出每個(gè)月的死亡概率，對(duì)其求出期望值，由期望值確

定出保險(xiǎn)公司不盈不虧的概率。最后，第二種方案是在投保人的死亡年齡大于交費(fèi)年齡

下進(jìn)行計(jì)算，方法同第一種方案相同。兩種情況下分別求得保險(xiǎn)公司不盈不虧的概率為:

P,―PPi+2P2++/Vr,七——(1於，簫/M1注*4)1■9

P\+P2+……+PrPl?++iP+1增2+Pr

針對(duì)模型八：首先，第一種情況：分別取a、b,a.n,a、機(jī)進(jìn)行比較；第二

種情況：選取d、加進(jìn)行比較。其次，根據(jù)從上面獲取的已知信息，結(jié)合模型一得到的

關(guān)系式，在選擇時(shí)把不考慮的因素看作常數(shù)，求出它們之間存在的關(guān)系式，最后從關(guān)系

式能夠看出各因素間的相互影響程度，以此求出b,d,合適的值。

最后對(duì)模型進(jìn)行了靈敏度分析，并對(duì)模型作了進(jìn)一步的評(píng)價(jià)與推廣。

關(guān)鍵詞：ma〃必軟件死亡概率水平法不盈不虧期望值

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1問題重述

某保險(xiǎn)公司要設(shè)計(jì)一個(gè)新的產(chǎn)品。

1.1已知信息

1、投保人從一出生開始，每月交納固定費(fèi)用。元，交滿〃年（〃是正整數(shù)）停止繳

費(fèi)，并從下個(gè)月開始按月領(lǐng)取固定額度的工資6元，直到其死亡。

2、只考慮一種例外情況：投保人交費(fèi)未滿〃年死亡，保險(xiǎn)公司全額退還其所有交費(fèi)

（不付利息），并按交費(fèi)月數(shù)進(jìn)行賠付。

3、為簡單起見，這里不需要考慮其它例外情況。銀行的月利率為c?一直不變。保險(xiǎn)

公司只將投保人的交費(fèi)即使存入銀行，不進(jìn)行其它投資。

1.2提出問題

1、投保人恰好滿加歲死亡（利＞〃，m為整數(shù)），保險(xiǎn)公司不盈不虧，建立關(guān)于常

數(shù)〃的關(guān)系式，并盡量簡化。

2、根據(jù)問題1中的關(guān)系式，假設(shè)"=100御，〃=2昨，c=0.25%,m=80歲，求

〃的具體值。并寫出所用計(jì)算工具及操作步驟。

3、根據(jù)問題1中的關(guān)系式，假設(shè)a=1（X）（）元，8=200（）元，c=0.25%,求相，〃的

關(guān)系式，并用圖形或表格形象描述加，〃的關(guān)系。

4、要完成本產(chǎn)品的最終設(shè)計(jì)，需要那些數(shù)據(jù)？并探討獲取和加工數(shù)據(jù)的有效方案。

5、假設(shè)投保人都是恰好滿加歲死亡（利＞小機(jī)為整數(shù)）。已知投保人恰好4歲死亡

200

的概率是“a=〃+l,〃+2,……,200）,且之p*=l。建立數(shù)學(xué)模型，求保險(xiǎn)公司不盈

k=n+\

不虧的概率。

6、假設(shè)投保人都是恰好滿整數(shù)歲死亡。已知投保人恰好k歲死亡的概率為0

200

（k=〃+1,〃+2,,200）,且Z=1。投保人/九歲死亡（加＞〃，加為整數(shù)）時(shí)，

k=n+\

保險(xiǎn)公司全額退還投保人所有交費(fèi)（不付利息），并在按所有交費(fèi)的d倍賠付。建立數(shù)

學(xué)模型，求保險(xiǎn)公司不盈不虧的概率。

7、保險(xiǎn)公司經(jīng)過某種方法獲知，投保人大于女-1歲，小于等于左歲得死亡概率為0

200

（女=〃+1,〃+2,……,200）,且5＞*=1。因?yàn)榻毁M(fèi)和領(lǐng)取工資是按月進(jìn)行的，投保人

k=n+\

不一定恰好滿整數(shù)歲死亡，問題6中退款和賠付也要按月計(jì)算。根據(jù)已知按歲死亡的概

率，估算按月死亡的概率?并建立數(shù)學(xué)模型，求保險(xiǎn)公司不盈不虧的概率。

8、從直覺上知道，a,〃越小，仇d越大，投保者越多。但也可能是公司的風(fēng)險(xiǎn)增大。

根據(jù)以上模型，探討如何確定合適的a,b,d,〃（能夠引入以上沒有提及的影響因素）。

2問題假設(shè)與符號(hào)說明

2.1問題假設(shè)

1假設(shè)投保人的不會(huì)自行退訂

2假設(shè)每個(gè)月的第一天繳費(fèi)

3假設(shè)每個(gè)月的第一天領(lǐng)取固定工資

2.2符號(hào)說明

a：每月交納的固定費(fèi)用b:每月領(lǐng)取的固定費(fèi)用

c：銀行的月利率相：投保人死亡時(shí)歲數(shù)

〃：投保人繳費(fèi)的年數(shù)4:保險(xiǎn)公司賠付的倍數(shù)

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S:總的投保人數(shù)口平均死亡年齡

P-：保險(xiǎn)公司不盈不虧的概率工：前Z-1年一共死亡的概率

￡：前k年一共死亡的概率x:第A年的第一個(gè)月死亡的概率

r：死亡時(shí)的月數(shù)R：第，?月內(nèi)死亡的平均月數(shù)

K:死亡概率最高的年齡段A:前〃年交的本息和

pk:Ck=n+1,n+2,……，200）不同年齡對(duì)應(yīng)的死亡概率

P；：。=1,2,3……〃）前〃年投保人在i歲的死亡概率

4：（%=2,3,4,……,200）平均每月增長速度

p,.:（r=l,2,3,……,2400）第1個(gè)月到2400個(gè)月的死亡概率

3問題分析

已知投保人從一出生開始，每月交納固定費(fèi)用。元，交滿〃年（〃是正整數(shù)）停止

繳費(fèi)，并從下一個(gè)月開始按月領(lǐng)取固定額度的工資b元，直到投保人死亡。在此期間，

假設(shè)銀行月利率C不變，而且保險(xiǎn)公司只將投保人的交費(fèi)及時(shí)存入銀行，不進(jìn)行其它投

資。如果投保人交費(fèi)未滿〃年死亡，保險(xiǎn)公司全額退還投保人所有交費(fèi)（不付利息），

并按交費(fèi)月數(shù)進(jìn)行賠付。本文針對(duì)題目中給出的各個(gè)問題進(jìn)行如下分析：

問題1、2、3的分析

首先，假設(shè)投保人在恰好滿"，歲死亡時(shí)（桃〉八，根為整數(shù)），保險(xiǎn)公司不盈不虧,

根據(jù)上面的已知條件，能夠建立常數(shù)a,b,c,利，〃的關(guān)系式。然后，假設(shè)“=1000

元，〃=20年，c=0.25%,在問題2中，當(dāng)巾=80歲時(shí)，根據(jù)問題1得到的關(guān)系式，運(yùn)用

加”/出?軟件求解出〃的具體值。在問題3中，〃未知、b=20007C,把已知的a,b,c

代入問題1中建立的關(guān)系式，得出機(jī)與〃的關(guān)系。最后，經(jīng)過〃皿〃油軟件繪制出投保人

死亡的年齡機(jī)與繳費(fèi)總年數(shù)〃的圖形，直觀地描述相、〃的關(guān)系。

問題4的分析

首先，列出完成本產(chǎn)品的最終設(shè)計(jì)所需要的數(shù)據(jù)，再畫出全國第五次人口大普查的

死亡概率分布圖，并根據(jù)圖中得到的信息結(jié)合前面的數(shù)據(jù)，綜合問題3中建立的關(guān)系式

計(jì)算出〃年后的繳費(fèi)年限，再來來確定每月工資發(fā)放的額度。

問題5、6的分析

首先，在問題5中，假設(shè)投保人都是恰好滿加歲死亡，而且已知投保人恰好k歲死

200

亡的概率是0<=〃+Ln+2,......,200）,且ZP?=1，綜合上面得到的關(guān)系式可

k=n+\

求出保險(xiǎn)公司不盈不虧的概率plm。

其次，假設(shè)投保人都是恰好滿整數(shù)歲死亡，此時(shí)，分為兩種方案進(jìn)行計(jì)算。第一種

是死亡年齡不大于規(guī)定的繳費(fèi)年限，保險(xiǎn)公司將全額退還投保人所有交費(fèi)（不付利息）,

并再按所有交費(fèi)的d倍進(jìn)行賠付。為了使保險(xiǎn)公司不盈不虧，其賠付的費(fèi)用需等于投保

人交費(fèi)獲取的利息，由此列出關(guān)系式，求得投保人在此年齡的平均死亡概率，即為保險(xiǎn)

公司不盈不虧的概率上；另一種是死亡年齡超過規(guī)定的繳費(fèi)年限，在這種情況下可知，

投保人已經(jīng)開始領(lǐng)取固定工資，只有當(dāng)投保人領(lǐng)取的工資總額，與其在m年中的交費(fèi)

以及所產(chǎn)生的利息之和相等時(shí)，保險(xiǎn)公司就會(huì)不盈不虧，其不盈不虧的概率就是投保人

在此年齡的平均死亡概率p-.O

問題7的分析

首先，已知投保人大于k-1歲,小于等于k歲的死亡概率為p*（k=〃+1,〃+2,……，

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200),且ZP?=1。因?yàn)榻毁M(fèi)和領(lǐng)取工資是按月進(jìn)行的，投保人不一定恰好滿整數(shù)歲

k=n+\

死亡，因此依然對(duì)問題6出現(xiàn)兩種情況進(jìn)行分析。其次對(duì)于第一種，已知?dú)q的平均死亡

概率，運(yùn)用水平法，根據(jù)月初和月末的死亡概率，得出每個(gè)月的平均死亡概率，由此可

知每個(gè)月的平均增長速度，然后算出每個(gè)月的死亡概率，即可求出此時(shí)保險(xiǎn)公司不盈不

虧的概率。最后，對(duì)于第二種情況，算法同第一種相同。

問題8的分析

首先，從以上分析可知，a,〃越小，人,“越大，投保者就越多，但也可能使公

司的風(fēng)險(xiǎn)增大。為降低風(fēng)險(xiǎn)，需確定出合適的仇色〃。，其次在問題分析1中，已經(jīng)能

夠確定出a,b,c,m,〃之間的關(guān)系式，結(jié)合關(guān)系式，先選擇其中的兩個(gè)因素，把

其余的看作常數(shù)進(jìn)行比較，能夠看出兩個(gè)因素間存在怎樣的關(guān)系。最后以此類推，來確

定出a,4",〃合適的取值。

4模型的建立與求解

4.1模型一的建立與求解

由題目中的已知信息可知，投保人恰好滿加歲死亡，在保證保險(xiǎn)公司不盈不虧前提

下，建立〃的關(guān)系式。

要得出a,。,c,m，〃之間的關(guān)系式，需先求出投保人在保險(xiǎn)公司投了〃年一共有多少

錢，即本金和利息

第1個(gè)月a

第2個(gè)月a(l+c)+a

第3個(gè)月a(l+c)~+a(l+c)+a

第12〃個(gè)月a(l+c)~"1+tz(l+c)~"~+....+tz(l+c)+a

由于本文采用的是這個(gè)月初算上月的本息的方法，因此到第12〃個(gè)月末第(12n+l)

個(gè)月初本息為

a(l+c)2"+a(l+c)2,,_|+...+a(l+c)2+a(l+c)

a(l+c)[(l+c)J]

c

在第(12〃+1)個(gè)月時(shí)，投保人就開始領(lǐng)取固定額度的工資直到第12“個(gè)月，根

據(jù)保險(xiǎn)公司不盈不虧這個(gè)條件，設(shè)可知

c

,2(mn)l2(,n-n)

A(1+C)--'-b(l+c)伙—z_/]+c)-...-b(l+c)-b=0

化簡得

a(l+c)l2m-(l+c),2(,"-,,)(a+b)+b=0

4.2模型二的建立與求解

把已知的"=1000、a=20、C=0.25%>帆=80代人模型1中，即

1000(1+O.25%)12*80-(1+0.25%),2<8°-20)(1000+份+匕=0

用求解得

b=983.7302

4.3模型三的建立與求解

已知a=1()0()、b=2000.c=().25%,由模型1可知〃之間的關(guān)系式為

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1.0025⑵"—3(1.0025產(chǎn)％")+2=0

根據(jù)關(guān)系式求出〃=m-33.37log(0.333e002996m)+0.667

用〃皿〃他畫出投保人活的歲數(shù)m與投保人投保年數(shù)〃的關(guān)系圖，如下

n40「

35-

30■

25-

20

15■

10-

5?

0口

020406080100120140160180200

m

圖4-1投保人活的歲數(shù)利與投保人投保年數(shù)〃的關(guān)系

m與"之間的關(guān)系用表格表示見附錄Ao

4.4模型四的建立與求解

完成本產(chǎn)品的最終設(shè)計(jì)必須要結(jié)合當(dāng)?shù)氐木唧w情況，這樣才能設(shè)計(jì)出來符合大眾需

求的產(chǎn)品

1.各年齡段的死亡率

2.當(dāng)?shù)鼐用裨率杖胨?/p>

3.當(dāng)?shù)貗雰旱某錾鷷r(shí)限

4.當(dāng)?shù)厝丝诘钠骄鶋勖?/p>

經(jīng)過調(diào)查到當(dāng)?shù)貗雰旱某錾鷷r(shí)間，來初步確定投保人的范圍。再由當(dāng)?shù)鼐用裨率杖?/p>

水平，來確定每月繳納的固定費(fèi)用"元的等級(jí)，不同階級(jí)、不同收入保險(xiǎn)產(chǎn)品所覆蓋的

人群更廣，為不同收入人群的服務(wù)余地也越大。各人群的月繳納費(fèi)用根據(jù)人口的平均壽

命能夠不同，當(dāng)然后面所領(lǐng)取的工資也不盡相同，對(duì)這些因素綜合考慮，得出各個(gè)年齡

段的死亡概率與總?cè)藬?shù)。

經(jīng)過全國第五次人口大普查得到的各年齡人口的死亡概率繪制圖形如下

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圖4-2每個(gè)年齡段的死亡概率

根據(jù)圖4.能夠看出在K(K=70~80)這個(gè)區(qū)間的死亡率最高，根據(jù)模型三中求

繳費(fèi)年限的方法將K代入〃=得出保險(xiǎn)的繳費(fèi)年限〃，從而保險(xiǎn)

121n(l+c)

公司能夠此來設(shè)計(jì)出每月工資的發(fā)放額度。

4.5模型五的建立與求解

由于模型1求的是保險(xiǎn)公司在不盈不虧時(shí)，常數(shù)a,b,c,北〃之間的關(guān)系，因此據(jù)模

型1得到的關(guān)系式，可求出保險(xiǎn)公司不盈不虧時(shí)的概率。

由a(l+c)l2/M-(1+c)12(z,,-n)(a+b)+b^Q可得

lnb-ln[(l+c)e(a+份一0

m=-----------------------

121n(l+c)

已知信息：投保人恰好攵歲死亡的概率為(A=〃+l,〃+2,....,200),且

200

￡1%=1'可知保險(xiǎn)公司不盈不虧的概率為外，即

#=〃+1

Pm-〃ln/Mn[(l+c)T2〃(a+b)-q]

121n(l+c)

4.6模型六的建立與求解

方案一

根據(jù)問題中的假設(shè)，投保人在加歲死亡(加＜〃)時(shí)，保險(xiǎn)公司全額退還給投保人(不

付利息)，并再按所有交費(fèi)的，/倍賠償，在保險(xiǎn)公司不盈不虧前提下，可用銀行月利率c

和投保人死亡時(shí)的歲數(shù)加，表示，/

a(l+c)'2m+a(l+c)⑵&+...+a(l++a(l+c)-12ma=1Idma

12mc(l+d)+(1+c)—(1+c)⑵陽=0

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（W-

a=----------------------1

Ylmc

已知投保人都恰好滿整數(shù)歲死亡，且k歲死亡的概率為外（4=1,2,3,4,……,200）,

且，P/=l,即要求出平均死亡年齡，記為X。已知死亡年齡Z對(duì)應(yīng)的概率，如下表

#=〃+1

表4—11~200年死亡概率的分布列

k（死亡的年齡）12...n〃+1...200

p（々歲死亡的概率）.......〃200

kP\PiPnpn+\

把卜200分成兩段，以第〃年為分解點(diǎn)，先求出當(dāng)〃時(shí)的平均死亡年齡捻，設(shè)總

的投保人數(shù)為S,p；表示前〃年投保人在，歲死亡的概率，則

p；=-----------型------

SPi+Sp?+........+Spn

p;=----------俎------

-Sp\+Sp?+.......+SPn

以此類推可知

Pi=-（i=1,2,.......,71）

SA

用表格表示為

表4一2j〃年死亡概率分布列

，（死亡的年齡）123...n-\n

（歲死亡的概率）...

p\ip\PiPn-lp'n

由表4-2可知，平均死亡年齡為輸=七論，即

/=|

PI+2“2+3〃3+...+

A——

Pl+Pl+〃3+.............+P〃

12/w+,

fl_|_r\-c-\-

當(dāng)機(jī)《〃，時(shí)，d=——-1,X為投保人在保險(xiǎn)公司不盈不虧的條件下

12mc

死亡的年齡，因此保險(xiǎn)公司在該條件下的概率為Pn即

P巧+2.2+3+.......十叩”

P1+P2+內(nèi)+...+%

方案二

當(dāng)機(jī)＞〃時(shí)，分為兩段前〃年和5+1）?加，要保證公司不盈不虧，必須要滿足以下

式子

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Pe12(m2-n)

^a(i+c)1-\2n^a(l+d)+^a(i+c)}2m2~J—￡伏l+c?=0

/=0j=0k=0

解出

12(m2n)b

a(l+c)[(1+c產(chǎn)+(1+c)⑵歿]—(1+C)-[a+b(l+c)~\-a+b

12m}ac

由已知投保人恰好滿整數(shù)歲死亡，女歲死亡的概率為小,可列出表格

表4-3（〃+1）~〃［年死亡概率分布列

死亡的年齡（左）H+1n+2〃+3....nt—2m

死亡的概率（P*）P(n+l)P(〃+2)P(〃+3)....P(1〃-2)P(m-l)P.n

現(xiàn)要求出利〉〃的平均死亡年齡，記為〉，p；為（〃+1）~〃?年投保人在第，年死亡的

概率，用同方案一的方法求得

Pi=^~。=〃+1，"+2，……,帆）

/=（?+1）

用表格表示如下

表4-4〃+1~祖年死亡概率分布列

i（死亡的年齡）n+1n+2〃+3....m

nn

P；（i歲死亡的概率）P(n+\)P(n+2)P(n+3)...P(m-l)P"n,

根據(jù)4-4中的數(shù)據(jù)，用求期望的方法，可算出平均死亡年齡＞=即

/=（?+1）

-（?+1）P（.+1）+5+2）P（“+2）+……+mpm

X=--------------------------------------

，5+D+P（"+2）+.....+Pm

々（1+。）「（1+0）區(qū)+（1+￡）127］—（1+0）怎?-〃）「〃+仇1+。）”］一4+人

因此當(dāng)相＞冏,d-------------------------------=--------------------------------1

\2xac

時(shí)，保險(xiǎn)公司不盈不虧的概率為

-P（〃+DP（”+I）+（〃+2）P（〃+2）+……+叩，”

P（”+l）+P（“+2）+......+〃，〃

4.7模型七的建立與求解

4.7.1預(yù)備知識(shí)

用水平法推算每個(gè)時(shí)期的平均發(fā)展速度。

平均發(fā)展速度是各個(gè)時(shí)期環(huán)比發(fā)展速度的平均數(shù)，用于描述現(xiàn)象在整個(gè)觀察期內(nèi)平

均發(fā)展變化的程度。

水平法：水平法又稱集合平均法，它是根據(jù)各個(gè)時(shí)期的環(huán)比發(fā)展速度采用幾何平均

法計(jì)算出來的。計(jì)算公式為

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式中：區(qū)表示平均發(fā)展速度，〃為環(huán)比發(fā)展速度的個(gè)數(shù)，n為連乘符號(hào)。

應(yīng)用水平法計(jì)算平均發(fā)展速度的基本思想或原理是：從最初發(fā)展水平丫°出發(fā)，每

期按平均發(fā)展速度％發(fā)展，經(jīng)過〃期后將達(dá)到最末期水平Y(jié)”,艮［1丫。乂刊=匕因此，

用水平法計(jì)算的平均發(fā)展速度推算出的最后一期的數(shù)值與最后一期的實(shí)際觀察值是一

致的。從計(jì)算公式不難看出，按水平法計(jì)算的平均發(fā)展速度，實(shí)際上只與數(shù)列的最初觀

察值Y。和最末觀察值Y”有關(guān)，而與其它各觀察值無關(guān)，這一特點(diǎn)表明，水平法旨在考

慮現(xiàn)象在最后一期所達(dá)到的發(fā)展水平。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，如果我們所關(guān)心的是現(xiàn)象

在最后一期應(yīng)達(dá)到的水平時(shí)，采用水平法計(jì)算平均發(fā)展速度比較合適。

4.7.2模型的建立與求解

由題目中的已知信息，投保人大于k-1,小于等于攵歲的死亡概率為幾

200

(%=1,2,3,4,……,200),且￡>火=1，可算出每年的平均每月死亡的概率

k=n+\

(1)當(dāng)％=1時(shí)，即投保人在0~1死亡的概率為P-由于0~1中包含12個(gè)月，我

們近似的把這種情況下每個(gè)月的死亡概率都為與

12

(2)當(dāng)％>1(—=2,3,4,……,200)時(shí)，前人-1年一共死亡的概率為

.力=月+〃2+...............+A-!

前4年一共死亡的概率為

f2=p}+p2+....+A-.+A

平均每月死亡的概率為

=J.+P2+……+二

V/\Py+Pi+...+Pk-\

平均每月增長速度為

「J…+……工1

\p,+p2+……+A-)

設(shè)第k年的第一個(gè)月死亡的概率為x,則x(l+/)”=0,算出工=譚嚴(yán)，根據(jù)X可

算出以后的每個(gè)月的死亡概率

表4-5第k年中每個(gè)月的概率

月數(shù)123456

PkPkPkPkPkPk

死亡概率

(1+/JI(1+Q9(1+小(1+/J7(1+4)6

月數(shù)789101112

PkPkPkPkPkPk

死亡概率

(1+4)5d+4)4(1+行(l+/.)2(1+/J(1+0°

上表中不同的k(左=2,3,4,……,200)所對(duì)應(yīng)的增長速度/也不同，當(dāng)左=1時(shí)，每

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個(gè)月的死亡概率都為心,由2可知總共有2400個(gè)月。設(shè)第1個(gè)月到2400個(gè)月的死亡

12

概率為p,.（r=l,2,3,……,240Qo

已知每個(gè)月的死亡概率，要求出保險(xiǎn)公司不盈不虧的概率，我們考慮以下兩種方案

第一種方案

投保人死亡時(shí)的月數(shù)廠<12〃，求此時(shí)保險(xiǎn)公司不盈不虧的概率。先得滿足以下式

子

/,

Za（l+c）'--rad=0

Z=1

（1+c嚴(yán)-（l+c）

a=----------------1

cr

已知死亡時(shí)的月數(shù)〃對(duì)應(yīng)的死亡概率，如下表

表4-6每個(gè)月的死亡分布列P,

月份12....r....2400

??????....

死亡概率P1PiPrP2400

總投保人數(shù)為s,可算出一月內(nèi)每個(gè)月死亡的概率p；

/=1

如下表

表4-7投保人出生到第，個(gè)月死亡的分布列

月份12?...r2400

死亡概率p\P'2....P'r....“2400

根據(jù)表4-7可得死亡年齡的數(shù)學(xué)期望即/■月內(nèi)死亡的平均月數(shù)（

7r

7尸1PI+2〃2+……+Pr

=---------------=-------------------------------------------------

fpP1+P2+.............+P,

/=1

按d=（士）上（士）_1倍賠付情況下不盈不虧且投保人在r月內(nèi)死亡的平均月

cr

_200

數(shù)為王，已知投保人恰好/?月死亡概率是〃,（r=123,……,2400,且￡2=1。則保

r=12?i+l

險(xiǎn)公司不盈不虧時(shí)概率心為

P'H、PP、+2P[++%

+.......+Pr

第二種方案

當(dāng)投保人死亡月數(shù)/■>12〃，分為前12〃個(gè)月和12〃+1~廠個(gè)月。

已知每個(gè)月死亡概率p,如下表

表4—8每個(gè)月的死亡概率的分布列

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月份12r2400

死亡概率P1PiPrP2400

總投?？?cè)藬?shù)為S,可算出〃歲后每個(gè)月份的概率”;

P：=,(i=12"+l,12〃+2,??…?/)

ZA

i=12〃+l

如下表

表4-9投保人〃歲后每個(gè)月的死亡的概率分布列

月數(shù)12n+l12〃+212〃+jr

N

死亡概率P\2n+\Pl2+2P12〃+jp;

根據(jù)表4-9可得死亡年齡的數(shù)學(xué)期望即廠月內(nèi)死亡的平均月數(shù)

//jy：

~_j=l2”+l(12L+1)P|2“+I+(12L+2)〃|2n+2++rPr

A?——

ypPl2"+l+P12+2+?+Pr

i=\2n+l

要保證保險(xiǎn)公司不盈不虧的概率，必須滿足以下等式

\2n12〃r-\2n

一12〃〃(1+")+2。(1+。)'/-Z仇l+c>=0

z=0j=0k=Q

da(l+c)[(l+c)+(l+c)']—(l+c)'[a+b(l+c)”]—a+人

I2nac

即當(dāng)保險(xiǎn)公司滿足d倍賠償時(shí)，公司不盈不虧的概率為

七一P(12"+1)〃12"+1+(12/+2)〃]2"+2++R

P12/1+P12+2+?+P,-

4.8模型八的建立與求解

(1)當(dāng)初>〃時(shí)，根據(jù)模型一*建立〃的關(guān)系式：

A(l+c)i2(m-"Z—0(l+c)i2(時(shí)"Z_/l+c)i2("i)_.......-b(l+c)'-b=0

a(l+c)⑵”一(1+。)⑵(a+b)+b=0

得出。與人之間的關(guān)系式，解出

松了…,皿為常數(shù))

[(l+c)l2m-(l+c)l2<ra-n)]

分析。與人之間的關(guān)系，a與b之間為單調(diào)遞增函數(shù)。

。與〃之間的關(guān)系式

（c,機(jī)乃為常數(shù)）

[(l+c)12,n-(l+c)12(m-n,]

分析。與〃之間的關(guān)系，”隨著〃的增加而減少。

（2）當(dāng)〃2<〃時(shí)，根據(jù)模型六可知。,。工,〃2,4之間的關(guān)系

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a(l+c)l2m+a(l+c)12m-'+...+a(l+c)2+a(l+c)—12ma-12dma

12mc(l+d)+(1+c)-(1+c)⑵1=0

即得出d,機(jī)間的關(guān)系

01+—(c為銀行月利率)

\2mc

根據(jù)之間的關(guān)系式，分析可知d隨著根的增加而減少。

"〃的值可根據(jù)。的值確定，。越大，越大，〃越小。d的值可根據(jù)死亡年齡

加確定，加越小，d就越大。

5模型檢驗(yàn)與誤差分析

靈敏度分析

經(jīng)過以上的模型得出各種情況下保險(xiǎn)公司的不盈不虧點(diǎn)，改變相關(guān)變量則這個(gè)不盈

不虧點(diǎn)將隨之改動(dòng)。透過現(xiàn)象看本質(zhì)，這一現(xiàn)象的靈敏點(diǎn)在于：

銀行的月利率。當(dāng)然，這一點(diǎn)是恒定不變的，投保人每月所需要交納的金額，交納

的金額越少，投保人的人數(shù)就更多，公司風(fēng)險(xiǎn)就會(huì)隨之增大。投保人所需交納費(fèi)用的

年數(shù)，需交納的年數(shù)越長，投保人的人數(shù)就越少，反之則越多。這決定公司的客戶多少

起著重要作用。保險(xiǎn)公司在所需交納費(fèi)用年數(shù)之前死亡，賠付所有金額的倍數(shù)，倍數(shù)越

高，投保人的人數(shù)也會(huì)增多，可是保險(xiǎn)公司所擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)也就更大。投保人交納到規(guī)定年

數(shù)后，投保人每個(gè)月所領(lǐng)工資的多少也影響這保險(xiǎn)公司的經(jīng)濟(jì)利益。

綜合以上的分析能夠設(shè)計(jì)出保險(xiǎn)公司新產(chǎn)品的方案，由于每個(gè)地方每個(gè)年齡階段的

死亡概率不同，這影響到該產(chǎn)品設(shè)計(jì)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。當(dāng)然，每個(gè)地方的消費(fèi)水平是由

不同城市確定的，因此只有進(jìn)一步考察該公司所在城市的消費(fèi)水平，才能設(shè)計(jì)出最佳的

產(chǎn)品方案。

6模型的評(píng)價(jià)與推廣

模型的評(píng)價(jià)

優(yōu)點(diǎn)

1建立的優(yōu)化模型有成熟的理論基礎(chǔ)，又有相應(yīng)專業(yè)軟件支持，可信度較高

2模型原理簡單明了，容易理解與靈活運(yùn)用

3建立的模型與實(shí)際緊密聯(lián)系，充分考慮現(xiàn)實(shí)情況的多樣性，從而使模型更貼近

實(shí)際，通用性、推廣性較強(qiáng)。

缺點(diǎn)

1模型建立過程中，僅考慮了題中所給的幾個(gè)參數(shù)對(duì)保險(xiǎn)產(chǎn)品設(shè)計(jì)的影響，沒有

考慮到其它因素帶來的影響。

2模型復(fù)雜因素較多，不能對(duì)其進(jìn)行全面的考慮，造成與實(shí)際有一定的不相符之處。

模型的推廣

建模的方法和思想能夠推廣到其它模型，如企業(yè)投資，旅游策劃，產(chǎn)品開發(fā)，市場

營銷等問題。

7參考文獻(xiàn)

[1]吳建國主編《數(shù)學(xué)建模案例精編》中國水利水電出版社.5

文檔僅供參考

[2]錢小軍主編《數(shù)量方法》高等教育出版社1999.8

[3]孫祥徐流美吳清編著《MATLAB7.0基礎(chǔ)教程》清華大學(xué)出版社.5

[4]姜啟源謝金星葉俊主編《數(shù)學(xué)模型》（第三版）高等教育出版社.2

8附錄

附錄A

表1經(jīng)過。=1000、b=2000>c=0.25%確定的相與〃

mnmnmn

10.66334221.64988331.5309

21.31994322.00878431.6716

31.96974422.36078531.8089

42.61274522.70598631.9426

53.24884623.04448732.0728

63.87794723.37618832.1997

74.49994823.70138932.3234

85.11504924.02009032.4438

95.72285024.33219132.5611

106.32365124.63799232.6753

116.91715224.93749332.7865

127.50345325.23069432.8948

138.08245425.51769533.0002

148.65405525.79859633.1029

159.21835626.07359733.2028

169.77535726.34259833.3000

1710.32485826.60569933.3947

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1810.86695926.863010033.4868

1911.40156027.114710133.5764

2011.92876127.360810233.6636

2112.44856227.601410333.7485

2212.96076327.836510433.8311

2313.46546428.066310533.9114

2413.96276528.290810633.9895

2514.45256628.510210734.0656

2614.93476728.724510834.1395

2715.40966828.933710934.2114

2815.87696929.138111034.2813

2916.33687029.337611134.3493

3016.78927129.532411234.4155

3117.23437229.722611334.4798

3217.67197329.908111434.5423

3318.10227430.089211534.6031

3418.52527530.265911634.6622

3518.94097630.438211734.7197

3619.34937730.606411834.7755

3719.75057830.770311934.8298

3820.14457930.930212034.8826

3920.53148031.086212134.9339

4020.91128131.238212234.9838

4121.28408231.386412335.0322

mnmnmn

12435.125115035.950217636.3357

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12535.169615135.971117736.3454

12635.212815235.991417836.3549

12735.254815336.011217936.3640

12835.295715436.030318036.3729

12935.335315536.048918136.3815

13035.373915636.067018236.3899

13135.411315736.084518336.3980

13235.447715836.101518436.4059

13335.483015936.118118536.4135

13435.517316036.134118636.4210

13535.550716136.149718736.4282

13635.583116236.164818836.4352

13735.614616336.179518936.4420

13835.645116436.193819036.4486

13935.674816536.207619136.4550

14035.703716636.221119236.4612

14135.731716736.234119336.4672

14235.758916836.246819436.4731

14335.785316936.259119536.4486

14435.811017036.271019636.4788

14535.835917136.282619736.4843

14635.860117236.293919836.4896

14735.883717336.304819936.4948

14835.906517436.315420036.4999

14935.928717536.3257

附錄B

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表2第五次人口大普查調(diào)查表

平均人口死亡人口死亡概率

年齡別

合計(jì)男女小計(jì)男女小計(jì)

0歲2515836133985311759832410711533125740.0096

1歲2508000134283811651622390130210880.001

2歲26451661414841123032616729477250.0006

3歲27144631447696126676714438026410.0005

4歲28508701518704133216611526824700.0004

5歲29383051561859137644610486464020.0004

6歲2979795157883514009609725963760.0003

7歲3050907161403014368779035623410.0003

8歲31166601645776147088410227013210.0003

9歲35694181877981169143710306993310.0003

10歲40178672102767191510012217984230.0003

11歲40599902114366194562410566903660.0003

12歲4178252216787937311207054150.0003

13歲41069802119812198716811487384100.0003

14歲38900811978238191184410386983400.0003

15歲42855062119055216645210926824100.0003

16歲51999972523832267616512037254780.0002

17歲64374043131913