大一高數(shù)復(fù)習(xí)資料

高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第．⑴函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,；⑵函數(shù)的極小值在時(shí)取到，為，極大值在時(shí)取到，為；⑶函數(shù)在區(qū)間,上凹，在區(qū)間,上凸；⑷函數(shù)的拐點(diǎn)坐標(biāo)為函數(shù)的極值和最大、最小值○函數(shù)的極值與最值的關(guān)系（★★★）⑴設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻哪硞€(gè)鄰域，使得對(duì)，都適合不等式，我們則稱函數(shù)在點(diǎn)處有極大值；令則函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值滿足：；⑵設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果的某個(gè)鄰域，使得對(duì)，都適合不等式，我們則稱函數(shù)在點(diǎn)處有極小值；令則函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值滿足：；【題型示例】求函數(shù)在上的最值【求解示例】1．∵函數(shù)在其定義域上連續(xù)，且可導(dǎo)∴2．令，解得：3．（三行表）極小值極大值4．又∵∴函數(shù)圖形的描繪（不作要求）曲率（不作要求）方程的近似解（不作要求）不定積分不定積分的概念與性質(zhì)○原函數(shù)與不定積分的概念（★★）⑴原函數(shù)的概念：假設(shè)在定義區(qū)間上，可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，即當(dāng)自變量時(shí)，有或成立，則稱為的一個(gè)原函數(shù)⑵原函數(shù)存在定理：（★★）如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，則在上必存在可導(dǎo)函數(shù)使得，也就是說：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)（可導(dǎo)必連續(xù)）⑶不定積分的概念（★★）在定義區(qū)間上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為在定義區(qū)間上的不定積分，即表示為：（稱為積分號(hào)，稱為被積函數(shù)，稱為積分表達(dá)式，則稱為積分變量）○基本積分表（★★★）○不定積分的線性性質(zhì)（分項(xiàng)積分公式）（★★★）換元積分法○第一類換元法（湊微分）（★★★）（的逆向應(yīng)用）【題型示例】求【求解示例】【題型示例】求【求解示例】○第二類換元法（去根式）（★★）（的正向應(yīng)用）⑴對(duì)于一次根式（）：：令，于是，則原式可化為⑵對(duì)于根號(hào)下平方和的形式（）：：令（），于是，則原式可化為；⑶對(duì)于根號(hào)下平方差的形式（）：a．：令（），于是，則原式可化為；b．：令（），于是，則原式可化為；【題型示例】求（一次根式）【求解示例】【題型示例】求（三角換元）【求解示例】分部積分法○分部積分法（★★）⑴設(shè)函數(shù)，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其分部積分公式可表示為：⑵分部積分法函數(shù)排序次序：“反、對(duì)、冪、三、指”○運(yùn)用分部積分法計(jì)算不定積分的基本步驟：⑴遵照分部積分法函數(shù)排序次序?qū)Ρ环e函數(shù)排序；⑵就近湊微分：（）⑶使用分部積分公式：⑷展開尾項(xiàng)，判斷a．若是容易求解的不定積分，則直接計(jì)算出答案（容易表示使用基本積分表、換元法與有理函數(shù)積分可以輕易求解出結(jié)果）；b．若依舊是相當(dāng)復(fù)雜，無(wú)法通過a中方法求解的不定積分，則重復(fù)⑵、⑶，直至出現(xiàn)容易求解的不定積分；若重復(fù)過程中出現(xiàn)循環(huán)，則聯(lián)立方程求解，但是最后要注意添上常數(shù)【題型示例】求【求解示例】【題型示例】求【求解示例】∴有理函數(shù)的不定積分○有理函數(shù)（★）設(shè)：對(duì)于有理函數(shù)，當(dāng)?shù)拇螖?shù)小于的次數(shù)時(shí)，有理函數(shù)是真分式；當(dāng)?shù)拇螖?shù)大于的次數(shù)時(shí)，有理函數(shù)是假分式○有理函數(shù)（真分式）不定積分的求解思路（★）⑴將有理函數(shù)的分母分拆成兩個(gè)沒有公因式的多項(xiàng)式的乘積：其中一個(gè)多項(xiàng)式可以表示為一次因式；而另一個(gè)多項(xiàng)式可以表示為二次質(zhì)因式，（）；即：一般地：，則參數(shù)則參數(shù)⑵則設(shè)有理函數(shù)的分拆和式為：其中參數(shù)由待定系數(shù)法（比較法）求出⑶得到分拆式后分項(xiàng)積分即可求解【題型示例】求（構(gòu)造法）【求解示例】積分表的使用（不作要求）定積分極其應(yīng)用定積分的概念與性質(zhì)○定積分的定義（★）（稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，則稱為積分變量，稱為積分下限，稱為積分上限，稱為積分區(qū)間）○定積分的性質(zhì)（★★★）⑴⑵⑶⑷（線性性質(zhì)）⑸（積分區(qū)間的可加性）⑹若函數(shù)在積分區(qū)間上滿足，則；（推論一）若函數(shù)、函數(shù)在積分區(qū)間上滿足，則；（推論二）○積分中值定理（不作要求）微積分基本公式○牛頓-萊布尼茲公式（★★★）（定理三）若果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則○變限積分的導(dǎo)數(shù)公式（★★★）（上上導(dǎo)―下下導(dǎo)）【題型示例】求【求解示例】定積分的換元法及分部積分法○定積分的換元法（★★★）⑴（第一換元法）【題型示例】求【求解示例】⑵（第二換元法）設(shè)函數(shù)，函數(shù)滿足：a．，使得；b．在區(qū)間或上，連續(xù)則：【題型示例】求【求解示例】⑶（分部積分法）○偶倍奇零（★★）設(shè)，則有以下結(jié)論成立：⑴若，則⑵若，則定積分在幾何上的應(yīng)用（暫時(shí)不作要求）定積分在物理上的應(yīng)用（暫時(shí)不作要求）反常積分（不作要求）如：不定積分公式的證明。很多同學(xué)上課時(shí)無(wú)法證明，那么在學(xué)期