遼寧省大連市2023屆高三下學(xué)期適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題及參考答案

年大連市高三適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)本試卷共6頁.考試結(jié)束后，將答題卡交回.注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整?筆跡清楚.3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙?試卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破?弄波，不準(zhǔn)使用涂改液?修正帶?刮紙刀.第I卷一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1.已知集合，滿足，則（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A.B.C.D.3.設(shè)命題，則為（）A.B.C.D.4.向量旋轉(zhuǎn)具有反映點與點之間特殊對應(yīng)關(guān)系的特征，在電子信息傳導(dǎo)方面有重要應(yīng)用.平面向量旋轉(zhuǎn)公式在中學(xué)數(shù)學(xué)中用于求旋轉(zhuǎn)相關(guān)點的軌跡方程具有明顯優(yōu)勢，已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點.已知平面內(nèi)點，點，把點繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點，則點的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.5.某產(chǎn)品的宣傳費用（萬元）與銷售額（萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：宣傳費用（萬元）2345銷售額（萬元）24304250根據(jù)上表可得回歸方程，則宣傳費用為6萬元時，銷售額最接近（）A.55萬元B.60萬元C.62萬元D.65萬元6.《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.如圖，若都是直角圓錐底面圓的直徑，則異面直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.7.已知函數(shù)的定義域為，值域為，且，函數(shù)的最小值為2，則（）A.12B.24C.42D.1268.已知向量與的夾角為，且，向量滿，且，記向量在向量與方向上的投影數(shù)量分別為.現(xiàn)有兩個結(jié)論：①若，則；②的最大值為.則正確的判斷是（）A.①不成立，②成立B.①成立，②不成立C.①成立，②成立D.①不成立，②不成立二?多項選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.某城市有甲?乙兩種報紙供市民訂閱，記事件為“只訂甲報紙”，事件為“至少訂一種報紙”，事件為“至多訂一種報紙”，事件為“不訂甲報紙”，事件為“一種報紙也不訂”.則下列結(jié)論正確的是（）A.與是互斥事件B.與是互斥事件，且是對立事件C.與不是互斥事件D.與是互斥事件10.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點的直線與拋物線交于，兩點，點在上的射影為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切C.設(shè)，則D.過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線至多有2條11.已知正方體的棱長為為的中點，為正方形所在平面內(nèi)一動點，則下列命題正確的有（）A.若，則線段中點的軌跡所圍成圖形的面積為B.若到直線與到直線的距離相等，則點的軌跡為拋物線C.若直線與所成的角為，則點的軌跡為雙曲線D.若直線與平面所成的角為，則點的軌跡為橢圓12.甲乙兩隊進行比賽，若雙方實力隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型：其中正實數(shù)分別為甲?乙兩方初始實力，為比賽時間；分別為甲?乙兩方時刻的實力；正實數(shù)分別為甲對乙?乙對甲的比賽效果系數(shù).規(guī)定當(dāng)甲?乙兩方任何一方實力為0時比賽結(jié)束，另一方獲得比賽勝利，并記比賽持續(xù)時長為.則下列結(jié)論正確的是（）A.若且，則B.若且，則C.若，則甲比賽勝利D.若，則甲比賽勝利第II卷三?填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答卷紙的相應(yīng)位置上）13.已知隨機變量，且，則__________.14.已知，且，則的最小值為__________.15.定義：對于各項均為整數(shù)的數(shù)列，如果均為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”；不論數(shù)列是否具有“性質(zhì)”，如果存在數(shù)列與不是同一數(shù)列，且滿足下面兩個條件：（1）是的一個排列；（2）數(shù)列具有“性質(zhì)”，則稱數(shù)列具有“變換性質(zhì)”.給出下面三個數(shù)列：①數(shù)列的前項和；②數(shù)列③數(shù)列.具有“性質(zhì)”的為__________；具有“變換性質(zhì)”的為__________.（第一空2分，第二空3分）16.已知為坐標(biāo)原點，是雙曲線的左?右焦點，雙曲線上一點滿足，且，則雙曲線的漸近線方程為__________.點是雙曲線上一定點，過點的動直線與雙曲線交于兩點，為定值，則當(dāng)時實數(shù)的值為__________.（第一空2分，第二空3分）四?解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知函數(shù)的最小正周期為是函數(shù)一個零點.（1）求；（2）在中，角的對邊分別為，求面積的最大值.18.（本小題滿分12分）某大學(xué)有兩個餐廳為學(xué)生提供午餐與晩餐服務(wù)，甲?乙兩位學(xué)生每天午餐和晩餐都在學(xué)校就餐，近100天選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下：選擇餐廳情況（午餐，晩餐）甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天假設(shè)甲?乙選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率.（1）分別估計一天中甲午餐和晩餐都選擇餐廳就餐的概率，乙午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐的概率；（2）記為甲?乙在一天中就餐餐廳的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)表示事件“餐廳推出優(yōu)惠套餐”，表示事件“某學(xué)生去餐廳就餐”，，一般來說在推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：.19.（本小題滿分12分）在①②；③這三個條件中任選一個，補充在下列問題中的橫線上，并解答.已知等差數(shù)列的前項和為，__________，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）數(shù)列的所有項按照“當(dāng)為奇數(shù)時，放在前面；當(dāng)為偶數(shù)時，放在前面”的要求進行“交叉排列”，得到一個新數(shù)列，求數(shù)列的前項和.20.（本小題滿分12分）已知四棱錐的底面是平行四邊形，平面與直線分別交于點且，點在直線上，為的中點，且直線平面.（1）設(shè)，試用基底表示向量；（2）證明：四面體中至少存在一個頂點從其出發(fā)的三條棱能夠組成一個三角形；（3）證明：對所有滿足條件的平面，點都落在某一條長為的線段上.21.（本小題滿分12分）已知圓，定點是圓上的一動點，線段的垂直平分線交半徑于點.（1）求的軌跡的方程；（2）若過的直線分別交軌跡與和，且直線的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍.22.（本小題滿分12分）（1）非零實數(shù)，滿足：.證明不等式：.（2）證明不等式：.2023年大連市高三適應(yīng)性測試參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)參考答案一?單項選擇題：1.（B）2.（B）3.（C）4.（D）解：由題意可知，把點繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到點，設(shè)，則，所以，解得，所以點的坐標(biāo)為，故選：.5.（B）解：，由回歸方程過點，故，得，即.當(dāng)時，，所以最接近的是60，故選：B.6.（C）解：如圖，連接.因為為中點，且，所以四邊形為矩形，所以，所以或其補角為異面直線與所成的角.設(shè)圓的半徑為1，則.因為，所以.在直角中，，得.所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.7.（D）解：方法一令，有，因為，所以，因為，所以，所以，所以，故選D方法二：抽象出特殊函數(shù)，快速求得答案，故選D.8.（A）解：由，解得：，當(dāng)時，，由得：，即，由得：，因為，假設(shè)，則可求出，，代入中，等號不成立，故①錯誤；設(shè)，因為，由向量共線定理可知，點在線段上，如圖，設(shè)，則，因為，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故點滿足，又，，所以，其中，而要想保證最大，只需最小，由余弦定理可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以最小值為，所以最大值為，故的最大值為，②正確.故選：A.二?多項選擇題：9.（BC）解：事件為“只訂甲報紙”，事件為“至少訂一種報紙”，包含為訂甲報紙，訂乙報紙，訂甲乙兩種報紙，事件為“至多訂一種報紙”包含訂甲報紙或訂乙報紙，事件為“不訂甲報紙”，事件為“一種報紙也不訂”.A.與不互斥不對立事件，所以與是互斥事件，不正確；.與是互斥事件，且是對立事件，正確；與不互斥不對立事件，所以與不是互斥事件正確；與既不互斥也不對立事件.所以與是互斥事件不正確；10.（ABC）解析：對于選項A，因為，所以，則，故A正確；對于選項B，設(shè)為的中點，設(shè)點在1上的射影為，點在1上的射影為，則由梯形中位線的性質(zhì)可得，故B正確；對于選項C，因為，所以，故C正確；對于選項D，顯然直線與拋物線只有一個公共點，設(shè)過的直線方程為，聯(lián)立消去并整理，得，令，則，所以直線與拋物線也只有一個公共點，此時有三條直線符合題意，故D錯誤.故選.11.（BC）解：對于，所以，則的中點到中點的距離為，中點的軌跡為以中點為圓心，為半徑且平行于平面的圓，其面積為，故A錯誤；對于平面即為到直線的距離，在平面內(nèi)，點到定點的距離與到定直線的距離相等，所以點的軌跡就是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，故B正確；對于，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以，化簡得，即，所以的軌跡為雙曲線，故C正確；對于與平面所成的角為，所以，則，所以點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，故D錯誤.故選：BC.12.（ABD）詳解：對于A，若且，則，即，所以，由可得，即A正確；對于，當(dāng)時根據(jù)中的結(jié)論可知，所以乙方實力先為0，即，化簡可得，即兩邊同時取對數(shù)可得，即，所以比賽持續(xù)時長為，所以B正確；對于，若甲方獲得比賽勝利，則甲方可比賽時間大于乙方即可，設(shè)甲方實力為0時所用時間為，乙方實力為0時所用時間為，即可得同理可得即，解得又因為都為正實數(shù)，所以可得，甲方獲得比賽勝利；所以可得錯誤，D正確.故答案為：.三?填空題：13.14.15.①；②解：對于①，當(dāng)時，，為完全平方數(shù)數(shù)列具有“性質(zhì)”；對于②，數(shù)列，具有“變換性質(zhì)”，數(shù)列為，具有“性質(zhì)”，數(shù)列具有“變換性質(zhì)”；對于③，都只有與3的和才能構(gòu)成完全平方數(shù)，，不具有“變換性質(zhì)”.故答案為：①；②.16.解：（1）根據(jù)，可知，即為直角三角形.設(shè)，依題意有，解得，根據(jù)勾股定理得，解得，故雙曲線為等軸雙曲線，漸近線為.（2）當(dāng)時，雙曲線，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，化簡得，因為為定值，所以法一：，解得法二：，解得四?解答題：17.（本小題滿分10分）解：（1）因為，所以，因為，且，所以，（2）因為，所以，因為，所以，由余弦定理得，因為，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值4），因為，所以面積的最大值為.18.（本小題滿分12分）解：（1）設(shè)事件為“一天中甲員工午餐和晩餐都選擇餐廳就餐”，事件為“乙員工午餐和晩餐都選擇餐廳就餐”，因為100個工作日中甲員工午餐和晩餐都選擇餐廳就餐的天數(shù)為30，乙員工午餐和晩餐都選擇餐廳就餐的天數(shù)為40，所以.（2）由題意知，甲員工午餐和晩餐都選擇餐廳就餐的概率為0.1，乙員工午餐和晩餐都選擇餐廳就餐的概率為0.2，記為甲?乙兩員工在一天中就餐餐廳的個數(shù)，則的所有可能取值為，所以，所以的分布列為：120.10.9所以的數(shù)學(xué)期望.（3）由題知，即，即，即，即，即，即.19.（本小題滿分12分）解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，選擇①，可知，所以.又，所以數(shù)列的公差，所以；選擇②，可知，則所以；選擇③，可知，則所以.又因為，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由題意20.（本小題滿分12分）（1），而，，所以.（2）不妨設(shè)是四面體最長的棱，則在中，，，即，故至少有一個大于不妨設(shè)，構(gòu)成三角形.（3）設(shè)，由（1）知.又，有，，設(shè)，又因為平面，所以存在實數(shù)使得：，，消元：在有解.當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，解得.綜上，有.所以對所有滿足條件的平面，點都落在某一條長為的線段上.21.（本小題滿分12分）解：（1）因為線段的垂直平分線交半徑與點，所以，所以，