2023屆四川省德陽(yáng)市高三第一次診斷考試數(shù)學(xué)（文）試題

2023屆四川省德陽(yáng)市高三第一次診斷考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A．Q B．{－3，－2，－1，0，1，3}C．P D．{－3，－2，－1，2}【答案】A【分析】化簡(jiǎn)集合，然后根據(jù)交集的定義運(yùn)算即得.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：A.2．關(guān)于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析，有以下幾個(gè)結(jié)論，其中正確的是（

）A．樣本數(shù)據(jù)9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位數(shù)是8或9B．將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都減去同一個(gè)數(shù)后，平均數(shù)與方差均沒(méi)有變化C．利用殘差進(jìn)行回歸分析時(shí)，若殘差點(diǎn)比較均勻地落在寬度較窄的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，則說(shuō)明線性回歸模型的擬合精度較高D．調(diào)查影院中觀眾觀后感時(shí)，從15排（每排人數(shù)相同）每排任意抽取一人進(jìn)行調(diào)查是系統(tǒng)抽樣法【答案】C【分析】按照中位數(shù)，平均數(shù)和方差的計(jì)算方法判斷選項(xiàng)A，B的正誤，根據(jù)殘差圖的含義判斷選項(xiàng)C的正誤，區(qū)分不同抽樣方法的概念判斷D的正誤.【詳解】對(duì)于A，樣本數(shù)據(jù)1、3、5、7、8、9、10、12、13、18的中位數(shù)為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，每個(gè)數(shù)據(jù)都減去同一個(gè)數(shù)后，平均數(shù)也應(yīng)為原平均數(shù)減去這個(gè)數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，殘差點(diǎn)比較均勻地落在寬度較窄的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，則擬合精度高，C正確；對(duì)于D，每排任意抽取一人應(yīng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，D錯(cuò)誤；故答案為：C.3．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得答案.【詳解】,故的共軛復(fù)數(shù)為，故選：B4．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則=.A．90 B．125 C．155 D．180【答案】C【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)，成等比數(shù)列，即可求得，再得出答案.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為，根據(jù)性質(zhì)所以成等比數(shù)列，因?yàn)?，所以，故故選C【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則也成等比數(shù)列，這是解題的關(guān)鍵，屬于較為基礎(chǔ)題.5．已知x、y滿足約束條件，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合求出的最小值.【詳解】由約束條件作出可行域如圖，表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，聯(lián)立方程，得交點(diǎn)坐標(biāo)，由圖得，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，斜率最小為，所以的最小值為.故選：D.6．已知點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為,點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為,那么（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意分析之間的關(guān)系,將轉(zhuǎn)化為,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為即可.【詳解】解:由題知是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),故.故選：D7．德陽(yáng)市文廟廣場(chǎng)設(shè)置了一些石凳供游人休息，這些石凳是由正方體形石料（如圖1）截去8個(gè)一樣的四面體得到的（如圖2），則下列對(duì)石凳的兩條邊AB與CD所在直線的描述中正確的是（

）①直線AB與CD是異面直線

②直線AB與CD是相交直線③直線AB與CD成60°角

④直線AB與CD垂直A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】C【分析】根據(jù)異面直線和異面直線所成角的定義判斷即可.【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)、和正方體的一條邊，會(huì)交于點(diǎn)，所以直線與是相交直線，故①錯(cuò)，②對(duì)；連接，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，所以，即三角形為等邊三角形，所以直線與成角，故③對(duì)，④錯(cuò).故選：C.8．已知某曲線方程為，則下列描述中不正確的是（

）A．若該曲線為雙曲線，且焦點(diǎn)在x軸上，則B．若該曲線為圓，則m＝4C．若該曲線為橢圓，則其焦點(diǎn)可以在x軸上，也可以在y軸上D．若該曲線為雙曲線，且焦點(diǎn)在y軸上，則【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)合條件可判斷AD，根據(jù)圓及橢圓的方程結(jié)合曲線方程可判斷BC.【詳解】對(duì)于A，若該曲線為雙曲線，且焦點(diǎn)在x軸上，則，解得，故A正確；對(duì)于B，若該曲線為圓，則，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，可得，此時(shí)該曲線為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上；由，可得，此時(shí)該曲線為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上；故C正確；對(duì)于D，該曲線為雙曲線，且焦點(diǎn)在y軸上，則，解得，故D正確.故選：B.9．函數(shù)的大致圖像為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和符號(hào)判斷.【詳解】，∴是奇函數(shù)；令，則有，是增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，即；故選：A.10．如圖是旌湖邊上常見(jiàn)的設(shè)施，從兩個(gè)高為1米的懸柱上放置一根均勻鐵鏈，讓其自然下垂輕觸地面（視為相切）形成的曲線稱為懸鏈線（又稱最速降線）．建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系后，其方程可以是，那么兩懸柱間的距離大致為（

）（可能會(huì)用到的數(shù)據(jù)） 【答案】B【分析】根據(jù)條件建立直角坐標(biāo)系，可得，根據(jù)條件結(jié)合參考數(shù)據(jù)可得，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)?，，所以函?shù)為偶函數(shù)，如圖建立直角坐標(biāo)系，則時(shí)，，所以，即，所以，由題可設(shè)，，又，，由題可知時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以兩懸柱間的距離大致為2.6米.故選：B.11．已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線．若，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域?yàn)镽可得，由和奇函數(shù)的性質(zhì)可得、，利用零點(diǎn)的存在性定理即可得出結(jié)果.【詳解】奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，其圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，得，由得，所以，故函數(shù)在之間至少存在一個(gè)零點(diǎn)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在之間至少存在一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在之間至少存在3個(gè)零點(diǎn).故選：C12．已知a、b、c是正實(shí)數(shù)，且，則a、b、c的大小關(guān)系不可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件逐項(xiàng)分析即得.【詳解】因?yàn)?，a、b、c是正實(shí)數(shù)，所以，，對(duì)于A，若，則，滿足題意；對(duì)于B，若，則，滿足題意；對(duì)于C，若，則，滿足題意；對(duì)于D，若，則，不滿足題意.故選：D.二、填空題13．設(shè)函數(shù)，則______．【答案】2【分析】將0代入函數(shù)解析式，根據(jù)分段函數(shù)的解析式計(jì)算結(jié)果.【詳解】由題，因?yàn)?，所以，故答案為?.14．已知是單位向量,且,若,那么當(dāng)時(shí),______.【答案】【分析】根據(jù)題意求出模,根據(jù),可得向量數(shù)量積為0,將代入化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】解:由題知,將代入可得:,即,將,代入上式可得:,即.故答案為:15．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則f（x）=______.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)稱軸和過(guò)點(diǎn)，求出的值，再根據(jù)求的范圍，確定的具體值.【詳解】根據(jù)圖像可得函數(shù)的對(duì)稱軸為，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)所以，所以，又因?yàn)橛忠驗(yàn)楣蚀鸢笧椋?6．如圖，矩形ABCD中，AC是對(duì)角線，設(shè)∠BAC＝α，已知正方形S1和正方形S2分別內(nèi)接于Rt△ACD和Rt△ABC，則的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【分析】設(shè)兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為，，用，表示AC建立方程，將兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比表示為的三角函數(shù)，求取值范圍.【詳解】設(shè)兩個(gè)正方形，邊長(zhǎng)分別為，，則在中，有，在中，有，所以，的周長(zhǎng)與的周長(zhǎng)比為，設(shè)，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，，所以周長(zhǎng)比為.故答案為：.【點(diǎn)睛】注意到的關(guān)系，換元用表示，注意換元后新未知數(shù)的取值范圍.三、解答題17．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差d≠0，前n項(xiàng)和為，且為常數(shù)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件知，據(jù)此求出d；（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）由題意知：，即，，化簡(jiǎn)得：，；經(jīng)檢驗(yàn)，成立.（2）由（1）知：，…①，…②，①-②得：，；綜上，，.18．在△ABC中，邊a、b、c對(duì)應(yīng)角分別為A、B、C，且．(1)求角B的大??；(2)從條件①、條件②、條件③中任選一個(gè)作為已知條件，使得△ABC存在且唯一，求AC邊上的高．條件①：，b＝1；條件②：b＝2，；條件③：a＝3，c＝2．注：若選多個(gè)條件分別作答，則按第一個(gè)解答給分．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）利用正弦定理邊化角，然后整理計(jì)算可得答案；（2）若選擇條件①：由三角形的三角一邊可得△ABC唯一確定，再利用正弦定理計(jì)算求答案；若選擇條件②：根據(jù)正弦定理計(jì)算得，得到△ABC不存在；若選擇條件③：由三角形的兩邊及其夾角確定可得△ABC存在且唯一，再利用正弦定理計(jì)算求答案.【詳解】（1）由正弦定理邊化角得，，得，，，（2）若選擇條件①：，b＝1，，，，則△ABC中均唯一確定，又，則△ABC存在且唯一，由正弦定理，AC邊上的高為；若選擇條件②：b＝2，，由正弦定理得，△ABC不存在；若選擇條件③：a＝3，c＝2，，由a＝3，c＝2，可得△ABC存在且唯一，由余弦定理，則，由正弦定理得，AC邊上的高為；19．買(mǎi)盲盒是當(dāng)下年輕人的潮流之一，每個(gè)系列的盲盒分成若干個(gè)盒子，每個(gè)盒子里面隨機(jī)裝有一個(gè)動(dòng)漫、影視作品的圖片，或者設(shè)計(jì)師單獨(dú)設(shè)計(jì)出來(lái)的玩偶，消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式，具有隨機(jī)屬性，某禮品店2022年1月到8月售出的盲盒數(shù)量及利潤(rùn)情況的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：月份／月12345678月銷(xiāo)售量／百個(gè)45678101113月利潤(rùn)／千元(1)求出月利潤(rùn)y（千元）關(guān)于月銷(xiāo)售量x（百個(gè)）的回歸方程（精確到0.01）；(2)2022年“一診”考試結(jié)束后，某班數(shù)學(xué)老師購(gòu)買(mǎi)了裝有“五年高考三年模擬”和“教材全解”玩偶的兩款盲盒各3個(gè)，從中隨機(jī)選出3個(gè)作為禮物贈(zèng)送給同學(xué)，求3個(gè)盲盒中裝有“五年高考三年模擬”玩偶的個(gè)數(shù)至少為2個(gè)的概率．參考公式：回歸方程中斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為：，．參考數(shù)據(jù)：，．【答案】(1)(2)【分析】（1）將表格數(shù)據(jù)代入公式，計(jì)算回歸方程；（2）列舉從6個(gè)盲盒中抽取3個(gè)的所有結(jié)果，由所有基本事件個(gè)數(shù)和“五年高考三年模擬”玩偶個(gè)數(shù)至少為2個(gè)的基本事件個(gè)數(shù)，求得概率.【詳解】（1）由題，，，所以，，，，所以回歸方程為.（2）記裝有“五年高考三年模擬”玩偶的3個(gè)盲盒為，，，記裝有“教材全解”玩偶的3個(gè)盲盒為，，，從中選出3個(gè)，共有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20個(gè)基本事件，其中，“五年高考三年模擬”玩偶個(gè)數(shù)至少為2個(gè)的基本事件有10個(gè)，故所求事件發(fā)生的概率.20．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)f（x）的極值；(2)當(dāng)a＞1時(shí)，記f（x）在區(qū)間[－1,2]的最大值為M，最小值為m．已知．設(shè)f（x）的三個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，x3，求的取值范圍．【答案】(1)極大值為，極小值為；(2).【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性得到當(dāng)時(shí)取得極大值，時(shí)取得極小值，然后代入求極值即可；（2）根據(jù)在上的單調(diào)性得到，，然后列不等式得到的范圍，令，結(jié)合韋達(dá)定理得到，，最后根據(jù)的范圍求的范圍即可.【詳解】（1），令，解得或，令，解得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)取得極大值，，當(dāng)時(shí)取得極小值，，所以的極大值為，極小值為.（2）因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，上單調(diào)遞增，，因?yàn)?，，所以，，解得，設(shè)，令，所以，，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，所以的取值范圍為.21．已知函數(shù)，．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：．【答案】(1)在上單調(diào)遞減，理由見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而即得；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明不等式.【詳解】（1）函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，理由如下：因?yàn)楹瘮?shù)，，所以，設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2），，先證時(shí)，，即，設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即；再證時(shí)，，即，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以；綜上，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的方程為，曲線C2的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l過(guò)原點(diǎn)O且與曲線C1交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在曲線C2上且OP⊥AB．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)寫(xiě)出曲線C1的極坐標(biāo)方程并證明為常數(shù)；(2)若直線l平分曲線C1，求△PAB的面積．【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）寫(xiě)出的極坐標(biāo)方程，設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為，代入的方程，利用韋達(dá)定理證明為定值；（2）直線l平分曲線得直線l的方程，因?yàn)椋弥本€OP的方程，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，計(jì)算三角形面積.【詳解】（1）的一般方程為，由，，得的極坐標(biāo)方程為，證明：設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)，，將代入，得，為方程的兩個(gè)根，.（2）因?yàn)橹本€l平分曲線，所以直線l過(guò)點(diǎn)，直線l的方程為，因?yàn)?，所以直線O