2023屆天津市南開區(qū)高三下學(xué)期3月質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題

2023屆天津市南開區(qū)高三下學(xué)期3月質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)學(xué)科試卷本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.共150分，考試時(shí)間120分鐘.第Ⅰ卷1至3頁(yè)，第II卷4至9頁(yè).祝各位考生考試順利!第I卷注意事項(xiàng)：1.答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)?考試科目涂在答題卡上.2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).3.本卷共9小題，每小題5分，共45分.參考公式：?柱體的體積公式，其中表示柱體的底面積，表示柱體的高.?如果事件互斥，那么.?如果事件相互獨(dú)立，那么.?對(duì)于事件，那么.一?選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合或，則（）A.B.C.D.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)的圖象可能是（）A.B.C.D.4.某高中隨機(jī)選取100名學(xué)生一次數(shù)學(xué)統(tǒng)測(cè)測(cè)試成績(jī)，分為6組：，繪制了頻率分布直方圖如圖所示，則成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生有（）名名名名5.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)度可能為（）6.已知，則的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.7.已知拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）8.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若在上單調(diào)遞減，則的最大值為（）A.B.C.9.已知函數(shù)則下列結(jié)論：①②恒成立③關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根，則④關(guān)于的方程的所有根之和為其中正確結(jié)論有（）個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆答題；2.本卷共11小題，共105分.二?填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.請(qǐng)將答案填在題中橫線上.10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)__________.11.在的展開式中，的系數(shù)為__________.12.已知實(shí)數(shù)，則的最小值為__________.13.如圖，直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的半球面上，，側(cè)面是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則直三棱柱的體積為__________.14.假設(shè)某市場(chǎng)供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品的合格率為90%，乙廠產(chǎn)品的合格率為80%，在該市場(chǎng)中購(gòu)買甲廠的兩個(gè)燈泡，則恰有一個(gè)是合格品的概率為__________；若在該市場(chǎng)中隨機(jī)購(gòu)買一個(gè)燈泡，則這個(gè)燈泡是合格品的概率為__________.15.在平面四邊形中，，則__________；__________.三?解答題：（本大題共5個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.（本小題滿分14分）在中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.17.（本小題滿分15分）如圖，四棱錐中，平面平面是中點(diǎn)，是上一點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，（i）證明：平面；（ii）求直線與平面所成角的正弦值；（2）平面與平面夾角的余弦值為，求的值.18.（本小題滿分15分）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交于兩點(diǎn)，當(dāng)垂直于軸時(shí)，且的面積是.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，當(dāng)不與軸重合時(shí)，直線交直線于點(diǎn)，若直線上存在另一點(diǎn)，使，求證：三點(diǎn)共線.19.（本小題滿分15分）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和為，單調(diào)遞增的等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，且滿足.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）證明：；（3）記的前項(xiàng)和為，證明：.20.（本小題滿分15分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有極大值，試確定的取值范圍；（3）若存在使得成立，求的值.2022—2023學(xué)年度第二學(xué)期高三年級(jí)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案一?選擇題：（本題共9小題，每題5分，共45分）題號(hào)123456789答案ABCDBCDCB二?填空題：（本題共6小題，每題5分，共30分）10.11.4012.13.14.，（第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分）；15.，（第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分）.三?解答題：（其他正確解法請(qǐng)比照給分）16.解：（1）由于，則.因?yàn)椋烧叶ɡ碇?，則.（2）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ?，得，即，解?（3）由（2）知，所以.由（1）得.，所以17.解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過點(diǎn)作面的垂線為軸，則，（1）由，及，可得.（i）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則解得令，得是平面的一個(gè)法向量.因?yàn)?，所?又平面，所以平面.（ii）由（i）可得，所以直線與平面所成角的正弦值為.（2）設(shè)，則，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，則是平面的一個(gè)法向量，則，解得或（舍去）.所以.18.解：（1）依題意，所以.因?yàn)榈拿娣e是，即，解得，所以，從而，解得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，.依題意，設(shè)直線方程為，由消去得，則，直線的斜率，直線的方程：，而直線，所以.直線的斜率，而，即，所以直線的斜率.因此直線的方程：，則點(diǎn)，所以直線的斜率.又直線的斜率，則，而，即，所以三點(diǎn)共線.19.解：（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以即解得（舍去），或所?（2）由（1）知，所以（3）由（1）知.所以所以20.解：（1）當(dāng)時(shí)，，依題意，，可得，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，①?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)無極大值；②當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)在處取得極大值，符合題意；③當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)在處取得極大值，符合題意；④當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)無極大值