數(shù)字信號課件（鄭楚君）第4章22

模擬濾波器的設(shè)計模擬巴特沃斯低通濾波器的特點與設(shè)計切比雪夫低通濾波器模擬濾波器的一般設(shè)計過程(1)根據(jù)信號處理要求確定設(shè)計指標(biāo)；(2)選擇濾波器類型；(3)計算濾波器階數(shù)；(4)通過查表或計算確定濾波器系統(tǒng)函數(shù)；(5)綜合實現(xiàn)并裝配調(diào)試。

第（5）步屬于模擬濾波器具體實現(xiàn)的內(nèi)容。我們在設(shè)計濾波器時，總是先設(shè)計低通濾波器，再通過頻帶變換法將低通濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)樗Ｍ愋偷臑V波器。模擬巴特沃斯低通濾波器的特點與設(shè)計

巴特沃斯低通濾波器以巴特沃斯函數(shù)來近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。巴特沃斯低通濾波器是根據(jù)幅頻特性在通帶內(nèi)具有最平坦特性定義的濾波器。巴特沃斯低通濾波器的另一特性是在通帶和阻帶內(nèi)的幅頻特性始終是頻率的單調(diào)下降函數(shù).對一個N階低通濾波器來說，所謂最平坦特性，就是指濾波器的平方幅頻特性函數(shù)的前2N-1階導(dǎo)數(shù)在模擬頻率處都為零。巴特沃斯低通濾波器幅頻特性巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù),N為正整數(shù)，代表濾波器的階次數(shù)，為截止頻率。我們把稱作為巴特沃斯濾波器的帶寬。當(dāng)時,有：即：64.4.3數(shù)字巴特沃斯濾波器的設(shè)計巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)為：N為濾波器階數(shù)Ωc為3dB截止頻率7巴特沃斯低通濾波器的特點幅度特性隨著Ω增加單調(diào)下降，下降的速度與階數(shù)有關(guān)。隨著N增大，幅度下降的速度越快，過渡帶越窄，在通帶內(nèi)更接近于1，在阻帶內(nèi)迅速接近于零，因而幅度特性更接近于理想的矩形頻率特性。不管N的取值是多少，都經(jīng)過點。

8幅度平方函數(shù)的極點分布幅度平方函數(shù)有2N個極點這2N個極點等間隔分布在半徑為Ωc的圓上（該圓稱為巴特沃斯圓），間隔是/Nrad。這些極點以虛軸為對稱軸，而且不會落在虛軸上。當(dāng)N是奇數(shù)時，實軸上有兩個極點；當(dāng)N是偶數(shù)時，實軸沒有極點。

9Ha(s)的表達式為了保證所設(shè)計的濾波器是穩(wěn)定的，將s平面左半平面的N個極點分配給Ha(s)，而將右半平面的N個極點分配給Ha(-s)

巴特沃斯濾波器的主要特征即：，對所有的N，。對所有的N，

是Ω的單調(diào)下降函數(shù)。

隨著階次N的增大而更接近于理想低通濾波器。巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和極點分布令上式分母為零可以得到：的2N個極點即：解得：在左半平面的極點即為的極點，因而設(shè)巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為，則頻率響應(yīng)

以N=3階巴特沃斯低通濾波器幅度平方函數(shù)的極點分布為例，考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)函數(shù)是由S平面左半部分的極點（）組成的，它們分別為

則三階系統(tǒng)函數(shù)為令，得到歸一化的三階巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為如果去歸一化，則有模擬巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計帶和阻帶的技術(shù)指標(biāo)，通帶的紋波系數(shù)（不一定是）、通帶截止頻率（不一定等于）和阻帶的紋波系數(shù)和阻帶起始頻率。技術(shù)指標(biāo)關(guān)系式為：設(shè)計一個巴特沃斯低通濾波器，一般要給定濾波器通第一步將濾波器的性能指標(biāo)按照以上兩式的相等條件代入到巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)表達式中，得到化簡后得第二步由上式計算得到N的值，取大于計算值的最

小正整數(shù)。將取得N值代入濾波器阻帶的性能指標(biāo)

表達式或通帶的指標(biāo)表達式中，求得通帶

截止頻率?；?.4.5切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器的幅度響應(yīng)有如下特點：1）當(dāng)時，N為偶數(shù)時

N為奇數(shù)時，2）當(dāng)時，3）在通帶范圍內(nèi)，即在以內(nèi)時，在

之間等紋波變化。

由幅度平方函數(shù)的式子看出，切比雪夫濾波器有三個參數(shù)：和N。是通帶截止頻率，一般是預(yù)先給定的。是與通帶波紋有關(guān)的一個參數(shù)，通帶波紋表示成4）在通帶以外，即時，隨著Ω的增加，迅速滿足使得單調(diào)的趨向于零。這里，，表示通帶幅度響應(yīng)的最大值；表示通帶幅度響應(yīng)的最小值，所以因而濾波器的階次數(shù)N由下式確定：濾波器的階次數(shù)為大于由上式所確定的N的一個最小正整數(shù)。（5-19）將下式取等號可以導(dǎo)出由表示的為：由上面的公式可以求得，從而可以求出。

切比雪夫濾波器

3

巴特沃斯濾波器的頻率特性無論在通帶與阻帶都隨頻率變換而單調(diào)變化，因而如果在通帶邊緣滿足指標(biāo)，則在通帶內(nèi)肯定會有富裕量，也就會超過指標(biāo)的要求，因而并不經(jīng)濟。在同樣通帶、阻帶性能要求下，可設(shè)計出階數(shù)較低的濾波器。這種精度均勻分布的辦法可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來實現(xiàn)。切比雪夫濾波器的幅度特性是在通帶或阻帶具有等波紋特性，幅度特性在通帶中是等波紋的，在阻帶中是單調(diào)的，稱為切比雪夫Ⅰ型。幅度特性在通帶內(nèi)是單調(diào)下降的，在阻帶內(nèi)是等波紋的，稱為切比雪夫Ⅱ型。這里僅介紹切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度特性。

切比雪夫濾波器

3幅度平方函數(shù)式中，Ωc為通帶截止頻率，不一定是3dB衰減點；ε表示通帶波紋的大小，0<ε<1，其值越大，通帶波動越大；N為濾波器的階數(shù)；VN(x)為N階切比雪夫多項式。設(shè)x=Ω/Ωc為歸一化頻率，則切比雪夫濾波器VN(x)為N階切多項式為

切比雪夫濾波器

3圖5.13切比雪夫多項式圖形

切比雪夫濾波器

32.幅度函數(shù)特點由切比雪夫幅度平方函數(shù)

分析其函數(shù)特點為

圖5.14N為2、5、7切比雪夫幅度平方函數(shù)特性

切比雪夫濾波器

3當(dāng)Ω=0時，當(dāng)Ω=Ωc時，當(dāng)Ω<Ωc時，即在通帶內(nèi)，|Ha(jΩ)|在(1,)之間等波紋起伏；當(dāng)Ω>Ωc時，即在通帶外，隨著Ω的增大，|Ha(jΩ)|迅速單調(diào)下降趨向0。

切比雪夫濾波器

33.性能指標(biāo)切比雪夫濾波器特性參數(shù)有三個ε、Ωc和N，通常通帶截止頻率Ωc預(yù)先給定。通帶波紋Ap(以dB表示)的定義為可以推導(dǎo)出Ap與ε關(guān)系

切比雪夫濾波器

34.N階特性階數(shù)N等于通帶內(nèi)最大和最小值個數(shù)的總和，可由圖5.14中看出N階數(shù)。N越大越接近理想特性，且當(dāng)N為奇數(shù)，Ω=0處有一最大值，N為偶數(shù)，則Ω=0處有一最小值。N值是根據(jù)阻帶的邊界條件來確定的。切比雪夫幅度平方公式

切比雪夫濾波器

3又由于5.極點及系統(tǒng)函數(shù)

由切比雪夫幅度平方函數(shù)(歸一化)可得用s代替jΩ，可以得到

切比雪夫濾波器

3所以，的極點就是方程的根?？梢宰C明，這些根共有2N個，而且關(guān)于虛軸對稱，呈復(fù)共軛出現(xiàn)。這2N極點實際上分布在一個橢圓上，橢圓的短軸半徑為a，長軸半徑為b，這里取左半平面的N個極點構(gòu)成，設(shè)這N個極點為

切比雪夫濾波器

3根據(jù)極點和其幅度平方函數(shù)可以得到切比雪夫濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

總結(jié)以上內(nèi)容切比雪夫濾波器設(shè)計一般步驟：(1)根據(jù)給定指標(biāo)確定通帶截頻Ωc；(2)通帶指標(biāo)確定ε；(3)阻帶指標(biāo)確定N；(4)根據(jù)|Ha(jΩ)|2求出其全部極點，并取左半平面的零極點；(5)確定濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。

切比雪夫濾波器

3例5.4設(shè)計一個模擬低通切比雪夫濾波器，且滿足以下要求：通帶截止頻率,通帶波紋，阻帶截止頻率,阻帶波紋。

解編寫MATLAB程序解答本題MATLAB程序為rp=1;rs=17;%wp=2*pi*fp;ws=2*pi*fs;wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;%求取濾波器階數(shù)和3dB截至頻率點[N2,wn2]=cheb1ord(wp,ws,rp,rs,'s');

%切比雪夫模擬低通原型濾波器設(shè)計[b2,a2]=cheby1(N2,3,wn2,'low','s');%切比雪夫模擬低通濾波器頻率響應(yīng)[h2,w2]=freqs(b2,a2);plot(w2,20*log(abs(h2)));axis([0,1,-50,0])gridon;

切比雪夫濾波器

3程序運行結(jié)果為濾波器階數(shù)N2=4,通帶截止頻率wn2=0.6283濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母系數(shù)b2=00000.0195a2=1.00000.36540.46150.10040.0276由上述結(jié)果直接寫出系統(tǒng)函數(shù)

切比雪夫濾波器

3圖5.15例5.4切比雪夫低通濾波器幅頻響應(yīng)

綜合實例5為了比較三種濾波器的特點，列表5-4以供參考。

濾波器名稱特性巴特沃斯濾波器在通帶和阻帶內(nèi)均有平滑單調(diào)的特點，但在相同的過渡帶寬的條件下，該濾波器所需的階數(shù)最多。切比雪夫濾波器在通帶或阻帶內(nèi)具有紋波，可以提高選擇性，但在相同的過渡帶寬的條件下，該濾波器所需的階數(shù)比巴特沃斯濾波器要少。橢圓濾波器在通帶和阻帶內(nèi)均有紋波出現(xiàn)，在相同過渡帶寬的條件下，該濾波器所需的階數(shù)最少。56IIR數(shù)字濾波器的Matlab仿真實現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器設(shè)計模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換

57IIR數(shù)字濾波器設(shè)計設(shè)數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)為模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為函數(shù)butter和cheby1可以確定Butterworth和ChebyshevI型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。58函數(shù)butter的調(diào)用格式

函數(shù)butter的調(diào)用格式為>>[b,a]=butter(n,Wc,)%設(shè)計數(shù)字Butterworth濾波器>>[b,a]=butter(n,Wc,'ftype')%設(shè)計模擬Butterworth濾波器其中，n為濾波器階數(shù)，Wc為截止頻率。59函數(shù)cheby1的調(diào)用格式

函數(shù)cheby1的調(diào)用格式為>>[b,a]=cheby1(n,Rp,Wc)%設(shè)計數(shù)字Chebyshev濾波器>>[b,a]=cheby1(n,Rp,Wc,'ftype')%設(shè)計模擬Chebyshev濾波器其中，n為濾波器階數(shù)，Rp為通帶內(nèi)的紋波系數(shù)，Wc為截止頻率。60例：設(shè)計butterworth低通濾波器

例

設(shè)計一模擬butterworth低通濾波器，通帶截止頻率300Hz，通帶最大衰減2dB，阻帶截止頻率800Hz，阻帶最小衰減30dB。

解濾波器的階數(shù)和截止頻率可由式和確定，程序段為>>Wp=2*pi*300;Ws=2*pi*800;Rp=2;Rs=30;N=ceil((log10((10^(0.1*Rs)-1)/(10^(0.1*Rp)-1)))/(2*log10(Ws/Wp)));Wc=Wp/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N)));[b,a]=butter(N,Wc,'s');freqs(b,a)61程序運行結(jié)果

運行程序，得到N=4，Wc=2.0157e+003。幅頻特性和相頻特性如圖7.16所示。62模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換設(shè)模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為從模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換有兩種方法，即脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。63脈沖響應(yīng)不變法

脈沖響應(yīng)不變法:用代換Ha(s)中的(s-sk)即可得到H(z)，從而將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器格式。可用函數(shù)impinvar實現(xiàn)，調(diào)用格式為>>[bz,az]=impinvar(b,a,fs)其中，fs為取樣頻率。64雙線性變換法雙線性變換法:用代換Ha(s)中的s即可得到H(z)，從而將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器格式?？捎煤瘮?shù)bilinear實現(xiàn)，調(diào)用格式為>>[zd,pd,kd]=bilinear(z,p,k,fs)其中，z，p，k和zd，pd，kd分別為s域和z域系統(tǒng)函數(shù)的零點、極點和增益。65例：模擬濾波器轉(zhuǎn)換數(shù)字濾波器例7.9利用impinvar將一模擬低通濾波器變換成數(shù)字濾波器(取樣頻率為10Hz)，程序段為>>[b,a]=butter(4,.3,’s’);[bz,az]=impinvar(b,a,10);程序運行結(jié)果為bz=1.0e-006*-0.00000.13240.51920.12730az=1.0000-3.92165.7679-3.77090.9246

綜合實例4

利用IIR數(shù)字濾波器對加噪語音信號進行濾波，要求錄制一段個人自己的加噪語音信號，并對錄制的信號進行采樣；畫出采樣后語音信號的時域波形和頻譜圖；給定濾波器的性能指標(biāo)，設(shè)計濾波器一個IIR濾波器，然后用自己設(shè)計的濾波器對采集的信號進行濾波，畫出濾波后信號的時域波形和頻譜，并對濾波前后的信號進行對比，分析信號的變化，回放語音信號。

綜合實例4Matlab程序s=44100;x1=wavread('yuyin.wav')*100;t=0:1/44100:(size(x1)-1)/44100;Au=1;d=[Au*cos(2*pi*15000*t)]';%噪聲為15000Hz的余弦信號f=fs*(0:511)/1024;x2=x1+d;y2=fft(x2,1024);subplot(2,2,1);plot(t,x1);title('原語音信號');

綜合實例4

subplot(2,2,2);plot(t,x2);title('原噪聲后的語音信號');subplot(2,2,3);plot(f,abs(y1(1:512)));title('原始語音信號頻譜');subplot(2,2,4);plot(f,abs(y2(1:512)));title('加噪后的信號頻譜');%濾波器設(shè)計wp=0.25*pi; %通帶截止頻率ws=0.3*pi; %阻帶截止頻率Rp=1; %通帶衰減Rs=15; %阻帶最小衰減Fs=44100; %采樣頻率Ts=1/Fs;

綜合實例4wp1=2/Ts*tan(wp/2);%將模擬指標(biāo)轉(zhuǎn)換成數(shù)字指標(biāo)ws1=2/Ts*tan(ws/2);[N,Wn]=buttord(wp1,ws1,Rp,Rs,'s');%選擇濾波器的最小階數(shù)N[Z,P,K]=buttap(N);%創(chuàng)建butterworth模擬濾波器[Aap,Bap]=zp2tf(Z,P,K);[a,b]=lp2lp(Aap,Bap,Wn);[az,bz]=bilinear(a,b,Fs); %用雙線性變換法實現(xiàn)模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換[H,W]=freqz(az,bz);%繪制幅頻響應(yīng)曲線figure(1)

綜合實例4plot(W*Fs/(2*pi),abs(H));grid;xlabel('頻率／Hz');ylabel('幅頻響應(yīng)幅度')f1=filter(az,bz,x2);figure(2)subplot(2,2,1)plot(t,x2)%畫出濾波前的時域圖title('濾波前的時域波形');subplot(2,2,2)plot(t,f1);%畫出濾波后的時域圖title('濾波后的時域波形');sound(f1,22050);%播放濾波后的信號

綜合實例4F0=fft(f1,1024);f=fs*(0:511)/1024;y2=fft(x2,1024);subplot(2,2,3);plot(f,abs(y2(1:512)));%畫出濾波前的頻譜圖title('濾波前的頻譜')subplot(2,2,4)F1=plot(f,abs(F0(1:512)));%畫出濾波后的頻譜圖title('濾波后的頻譜')

綜合實例4程序運行結(jié)果如下圖所示

綜合實例44.5IIR數(shù)字濾波器的頻率變換設(shè)計法（高通、帶通和帶阻數(shù)字濾波器設(shè)計）

沖激響應(yīng)不變法和雙線性映射法主要實現(xiàn)了低通濾波器的設(shè)計，但是在工程上經(jīng)常要實現(xiàn)各種截止頻率的低通、高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計，設(shè)計這些選頻濾波器的傳統(tǒng)方法就是：設(shè)計一個歸一化截止頻率的原型低通濾波器，然后利用代數(shù)變換，從原型低通濾波器推導(dǎo)出所要求的各種技術(shù)指標(biāo)的低通、高通、帶通和帶阻濾波器。這就是頻率變換法。頻率變換法的具體步驟為：（1）首先應(yīng)用脈沖相應(yīng)不變法的方法設(shè)計一個歸一化頻率的原型低通濾波器