2023屆江西省南昌市高三二模數(shù)學(xué)（理）試題

2023屆江西省南昌市高三二模數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過解二次不等式和對數(shù)不等式求出集合，然后由交集運算得出答案．【詳解】由可得，所以，由，即，可得，所以，所以.故選：D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運算得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，，對應(yīng)點為，在第四象限.故選：D.3．已知數(shù)列，若，則（

）A．9 B．11 C．13 D．15【答案】B【分析】由題中條件，分別令，，即可得解.【詳解】由，令，則，則，令，則，則.故選：B.4．已知函數(shù)，命題，使得，命題，當(dāng)時，都有，則下列命題中為真命題的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)依次判斷命題p、q的真假，結(jié)合命題“且”、“或”、“非”的概念，依次判斷即可.【詳解】命題p：當(dāng)時，，所以，即，則，使得，故命題p為假命題；命題q：當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，又函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以時，，故命題q為真命題.則命題為真，故A正確；命題為假，故B錯誤；命題為假，故C錯誤；命題為假，故D錯誤.故選：A.5．已知拋物線的準(zhǔn)線為l，點M是拋物線上一點，若圓M過點且與直線l相切，則圓M與y軸相交所得弦長是（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】設(shè)，則，，進(jìn)而，解得，利用垂徑定理計算即可求解.【詳解】由題意得，，則準(zhǔn)線為，設(shè)，因為圓M與直線l相切，所以圓的半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又圓M過點，所以①.又②，由①②，解得，則，設(shè)圓M與y軸交于點B、C，則.故選：D.6．如圖，A，B，C是正方體的頂點，，點P在正方體的表面上運動，若三棱錐的主視圖、左視圖的面積都是1，俯視圖的面積為2，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】如圖，當(dāng)點P的軌跡為(含邊界)時符合題意，結(jié)合圖形，即可求解.【詳解】如圖，取的中點，連接，則當(dāng)點P的軌跡為(含邊界)時，三棱錐的主視圖、左視圖的面積都是1，俯視圖的面積為2，此時若P與M重合，最小，且最小值為1，若P與Q重合，最大，且最大值為，所以的取值范圍為.故選：D.7．已知單位向量滿足，則的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由兩邊平方，根據(jù)向量數(shù)量積的運算即可求出夾角.【詳解】記的夾角為，則，由，即，兩邊平方，得，即，即，則，當(dāng)時，，不符合題意，所以，又，則．故選：C．8．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)換底公式判斷即可．【詳解】，，綜上，.故選：A．9．已知數(shù)列的通項公式為，保持?jǐn)?shù)列中各項順序不變，對任意的，在數(shù)列的與項之間，都插入個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前n項的和為，則（

）A．4056 B．4096 C．8152 D．8192【答案】C【分析】插入組共個，可知前面插入12組數(shù)，最后面插入9個，從而可得插入的數(shù)之和為，又?jǐn)?shù)列的前13項和，可得【詳解】插入組共個，∵，∴前面插入12組數(shù)，最后面插入9個．，∵，∴，又?jǐn)?shù)列的前13項和為，故選：C．10．已知正四面體的棱長為，現(xiàn)截去四個全等的小正四面體，得到如圖的八面體，若這個八面體能放進(jìn)半徑為的球形容器中，則截去的小正四面體的棱長最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】正四面體中，頂點在面BCD的投射影為的中心，正四面體外接球球心為點，在直角三角形中求出，，設(shè)小正四面體的棱長，為上面小正四面體底面中心，可得，由題意，八面體的外接球半徑，由此即可解得答案．【詳解】如圖，正四面體中，棱長為；頂點在面BCD的投射影為的中心，正四面體外接球球心為點（截去四個全等的小正四面體之后得到的八面體的外接球球心同樣為點）．為中點，，，，在中，，在中，，又，則，即，解得，則，設(shè)小正四面體的棱長，為上面小正四面體底面中心，則．由題意，八面體能放進(jìn)半徑為的球形容器，則八面體的外接球半徑．在中，，則，即，解得．所以截去的小正四面體的棱長最小值為．故選：B．11．已知正實數(shù)a使得函數(shù)有且只有三個不同零點，若，則下列的關(guān)系式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)零點的意義用x表示a，再數(shù)形結(jié)合探求出的關(guān)系，然后逐項判斷作答.【詳解】依題意，由得：，即，令，，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)有三個零點，即直線與函數(shù)與函數(shù)的圖象共有三個公共點，在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，它們有公共點，如圖，因此直線必過點，令直線與函數(shù)的圖象另一交點為，與函數(shù)的圖象另一交點為，顯然，且有，由得：，即，而，于是，由得：，即，而，于是，由得：，即，D正確；對于A，，A錯誤；對于B，令，，函數(shù)在上遞增，即有，因此，則，而，從而，B錯誤；對于C，因為，若成立，則必有，令，，當(dāng)時，遞減，當(dāng)時，遞增，而，因此函數(shù)的兩個零點，即方程的兩個根分別在區(qū)間內(nèi)，令，，當(dāng)時，遞減，當(dāng)時，遞增，而，因此函數(shù)的兩個零點，即方程的兩個根分別在區(qū)間內(nèi)，顯然直線與函數(shù)和的圖象的交點有4個，不符合題意，所以，即不正確，C錯誤.故選：D【點睛】思路點睛：研究方程根的情況，可以通過轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，借助數(shù)形結(jié)合思想分析問題，使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn).12．中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的漢族傳統(tǒng)工藝品．燈籠綜合了繪畫、剪紙、紙扎、刺縫等工藝，與中國人的生活息息相連．燈籠成了中國人喜慶的象征．經(jīng)過歷代燈彩藝人的繼承和發(fā)展，形成了豐富多彩的品種和高超的工藝水平，從種類上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類型，現(xiàn)將紅木宮燈、檀木宮燈、楠木紗燈、花梨木紗燈、恭喜發(fā)財?shù)鯚?、吉祥如意吊燈各一個隨機(jī)掛成一排，則有且僅有一種類型的燈籠相鄰的概率為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)紅木宮燈、檀木宮燈為；楠木紗燈、花梨木紗燈為；恭喜發(fā)財?shù)鯚?、吉祥如意吊燈為．先求僅相鄰的種數(shù)，把看作一個元素，分三種情況討論：排在首尾；排在五個位置中第二、第四位；排在第三個位置，同理得僅相鄰，僅相鄰的情況，進(jìn)而得出概率.【詳解】設(shè)紅木宮燈、檀木宮燈為；楠木紗燈、花梨木紗燈為；恭喜發(fā)財?shù)鯚?、吉祥如意吊燈為．先求僅相鄰的種數(shù)，把看作一個元素，當(dāng)排在首尾時，不同的排法有種；當(dāng)排在五個位置中第二、第四位時，不同的排法有種；當(dāng)排在第三個位置時，不同的排法有種，故僅相鄰共有種排法，同理得僅相鄰，僅相鄰的情況，也都有種排法，所以有且僅有一種類型燈籠相鄰的概率為．故選：A.二、填空題13．已知隨機(jī)變量X的分布列為X01P則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望________．【答案】【分析】根據(jù)為的數(shù)學(xué)期望求解.【詳解】解：因為隨機(jī)變量X的分布列為X01P所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，故答案為：14．已知變量x，y滿足，則的最大值為________．【答案】2【分析】作出不等式組所對應(yīng)的線性規(guī)劃區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】如圖，作出不等式組所對應(yīng)的線性規(guī)劃區(qū)域：，當(dāng)直線過時，取得最大值，最大值為，故答案為：2.15．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則________．【答案】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的對稱性可得，由可得，列出方程組，解出a、b即可求解.【詳解】若函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，不妨令，則，由，得，由，得，所以，即整理，得，其中為常數(shù)，有，解得，所以.故答案為：.16．足球是大眾喜愛的運動，足球比賽中，傳球球員的傳球角度、接球球員的巧妙跑位都讓觀眾贊不絕口．甲、乙兩支球隊一場比賽的某一時刻，三位球員站位如圖所示，其中A，B點站的是甲隊隊員，C點站的是乙隊隊員，，這兩平行線間的距離為，，點B在直線l上，且，這時，站位A點球員傳球給站位B點隊友（傳球球員能根據(jù)隊友跑位調(diào)整傳球方向及控制傳球力度，及時準(zhǔn)確傳到接球點），記傳球方向與的夾角為，已知站位B，C兩點隊員跑動速度都是，現(xiàn)要求接球點滿足下面兩個條件：①站位B點隊員能至少比站位C點隊員早跑到接球點；②接球點在直線l的左側(cè)（包括l）；則的取值范圍是________．【答案】【分析】如圖，以的中點為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)接球點為，根據(jù)，可得點在以為焦點的雙曲線的右支上，根據(jù)，求得點的坐標(biāo)，直線與雙曲線的右支交于（在的上方），求出兩點的坐標(biāo)，再求出的斜率，結(jié)合圖象即可的解.【詳解】如圖，以的中點為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)接球點為，若，得點在以為焦點的雙曲線的右支上，設(shè)，則，因為，所以，解得，即，設(shè)直線與雙曲線的右支交于（在的上方），令，則，所以，則接球點為位于雙曲線右支與直線圍成的區(qū)域內(nèi)或邊界，則，，因為直線的傾斜角與互補(bǔ)，由圖可知，.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：以的中點為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)再結(jié)合雙曲線的定義求得點的軌跡，是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題17．如圖是函數(shù)的部分圖象，已知．(1)求；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，則，再根據(jù)求得周期，即解；（2）根據(jù)結(jié)合三角恒等變換化簡計算即可的解.【詳解】（1）設(shè)，函數(shù)的最小正周期為T，則，則，故，解得(負(fù)值舍去)，所以，所以；（2）由（1）得，，得，即，所以，又因，則，所以，所以.18．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的菱形，，，點E在線段上，，平面平面．(1)求；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）如圖，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，由線面垂直的性質(zhì)可得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間共線向量的坐標(biāo)表示求得，結(jié)合空間垂直向量的坐標(biāo)表示計算即可求解；（2）利用空間向量法求出平面的一個法向量，結(jié)合數(shù)量積的定義計算即可求解.【詳解】（1）取AB的中點O，連接BD、DO，過P作DO的平行線PG，在菱形ABCD中，，則為等邊三角形，得，且，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，由，則平面，又平面，所以，由，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，由，得，取PA的中點F，連接OF，則，所以，，有，設(shè)，則，由，得，即，.設(shè)，則，有，由，得，解得，即；（2）設(shè)平面的一個法向量為，由，，得，令，則，所以，又，所以，故直線DE與平面CDP所成角的正弦值為.【點睛】19．一地質(zhì)探測隊為探測一礦中金屬鋰的分布情況，先設(shè)了1個原點，再確定了5個采樣點，這5個采樣點到原點距離分別為，其中，并得到了各采樣點金屬鋰的含量，得到一組數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到如下統(tǒng)計量的值：，，，，，其中．(1)利用相關(guān)系數(shù)判斷與哪一個更適宜作為y關(guān)于x的回歸模型；(2)建立y關(guān)于x的回歸方程．參考公式：回歸方程中斜率、截距的最小二乘估計公式、相關(guān)系數(shù)公式分別為，，；參考數(shù)據(jù)：．【答案】(1)用作為y關(guān)于x的回歸模型方程更適宜，理由見解析；(2)【分析】（1）用作回歸模型求出相關(guān)系數(shù)，用作為回歸模型求出相關(guān)系數(shù)，比較大小可得答案；（2）由已知條件求出，可得答案.【詳解】（1）若用作回歸模型，，，所以相關(guān)系數(shù)，若用作為回歸模型，相關(guān)系數(shù)，比較與，，，因為，所以用作為y關(guān)于x的回歸模型方程；（2）由（1），，，，，則y關(guān)于x的回歸方程為.20．已知橢圓的焦距為，左、右頂點分別為，上頂點為B，過點的直線斜率分別為，直線與直線的交點分別為B，P．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與橢圓C的另一個交點為Q，直線與x軸的交點為R，記的面積為，的面積為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）列出關(guān)于的方程，求解即可；（2）直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求得點坐標(biāo)，直線的方程與直線的方程聯(lián)立解得點坐標(biāo)，由結(jié)合的范圍求得答案．【詳解】（1）因為直線的斜率為，所以，焦距，因此，解得，所以橢圓的方程是；（2）因為，所以直線的方程為，聯(lián)立，整理得．則，故，則．所以．又直線的方程為．聯(lián)立，解得．，因為，所以，所以．【點睛】方法點睛：圓錐曲線中求解范圍問題的常見求法：（1）將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消元得到一元二次方程，根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求解．（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系．（3）利用幾何條件構(gòu)造不等關(guān)系．（4）利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍．（5）利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．21．已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)已知，若存在，使得成立，求證：．【答案】(1)極大值為，無極小值．(2)證明見解析【分析】（1），求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性及極值的定義求解；（2）不妨設(shè)，因為，所以，結(jié)合，得，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可證得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時，此時，則，當(dāng)時，，則在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則在單調(diào)遞減；所以的極大值為，無極小值．（2）不妨設(shè)，因為，則，即，所以，由，則，，即，所以即，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上為增函數(shù)，所以，因為，所以．【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù)，根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式；（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù)．一般思路為利用條件將問題逐步轉(zhuǎn)化，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明．22．“太極圖”是關(guān)于太極思想的圖示，其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，也被稱為“陰陽魚太極圖”．在平面直角坐標(biāo)系中，“太極圖”是一個圓心為坐標(biāo)原點，半徑為的圓，其中黑、白區(qū)域分界線，為兩個圓心在軸上的半圓，在太極圖