內(nèi)蒙古通遼市高三4月模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題

2022屆內(nèi)蒙古通遼市高三4月模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合的并集運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B.2．已知，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的特征進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(-1,-5)位于第三象限.故選：C3．橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓方程可得，再結(jié)合三角形周長(zhǎng)，得，進(jìn)而可得離心率.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，所以，所以，所以橢圓的離心率為，故選：B.4．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦逆應(yīng)用進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.【詳解】解：，根據(jù)正弦定理得，即.故選：C5．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則的最小值為（

）A．0 B． C．﹣3 D．﹣1【答案】C【分析】根據(jù)題意作出了可行域，進(jìn)而根據(jù)的幾何意義求出最小值.【詳解】作出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如下圖，可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)的交點(diǎn)即（﹣1，2）時(shí)，z取得最小值﹣3．故選：C.6．已知命題，；命題，．則下列命題中為真命題的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分別判斷出命題的真假，再去判斷各選項(xiàng)的真假.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則命題，為假命題，則為真命題；令，，則，則在上為減函數(shù)，又，則在上恒成立，即，．則命題，為假命題，則為真命題.選項(xiàng)A:為假命題；選項(xiàng)B:為假命題；選項(xiàng)C:為假命題；選項(xiàng)D:為真命題.故選：D7．意大利著名天文學(xué)家伽利略曾錯(cuò)誤地猜測(cè)鏈條自然下垂時(shí)的形狀是拋物線.直到1690年，雅各布·伯努利正式提出該問(wèn)題為“懸鏈線”問(wèn)題并向數(shù)學(xué)界征求答案.1691年他的弟弟約翰·伯努利和萊布尼茲?惠更斯三人各自得到了正確答案，給出懸鏈線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為雙曲余弦型函數(shù)：（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再由偶函數(shù)的性質(zhì)得，利用單調(diào)性判斷即可.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，由（），令，當(dāng)時(shí)，則，可得，由對(duì)勾函數(shù)可知，時(shí)，單調(diào)遞增，即可知在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所?故選：D8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（

）A．2 B．1 C． D．-1【答案】A【分析】由循環(huán)結(jié)構(gòu)中值的變化可知，值呈周期形式，利用周期，求出輸出的值.【詳解】由循環(huán)結(jié)構(gòu)可知，，；，；，；，；…所以S的值以-1，，2的形式循環(huán)（），當(dāng)時(shí)，，輸出的.故選：A9．若函數(shù)（且）在R上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，則的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求得的解析式中參數(shù)的值和的取值范圍，再去判斷其圖像形狀.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在R上是奇函數(shù)，所以，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，又因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以，則（）由可知的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱，排除選項(xiàng)CD；又的大致圖象為B．故選：B10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可以由的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到【答案】D【分析】先求得函數(shù)的解析式，再去判斷函數(shù)的圖象與的圖象間的關(guān)系.【詳解】由圖可知，，則，所以．由，，得，所以．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，所以D正確．故選：D11．新中國(guó)成立至今，我國(guó)一共進(jìn)行了7次全國(guó)人口普查，歷次普查得到的全國(guó)人口總數(shù)如圖1所示，城鎮(zhèn)人口比重如圖2所示.下列結(jié)論不正確的是（

）A．與前一次全國(guó)人口普查對(duì)比，第五次總?cè)藬?shù)增長(zhǎng)量高于第四次總?cè)藬?shù)增長(zhǎng)量B．對(duì)比這7次全國(guó)人口普查的結(jié)果，我國(guó)城鎮(zhèn)人口數(shù)量逐次遞增C．第三次全國(guó)人口普查城鎮(zhèn)人口數(shù)量低于2億D．第七次全國(guó)人口普查城鎮(zhèn)人口數(shù)量超過(guò)第二次全國(guó)人口普查總?cè)丝跀?shù)【答案】C【分析】對(duì)于A，計(jì)算出第五次總?cè)藬?shù)增長(zhǎng)量和第四次總?cè)藬?shù)增長(zhǎng)量即可判斷；對(duì)于B，由題意可得我國(guó)城鎮(zhèn)人口數(shù)量逐次遞增即可判斷；對(duì)于C，計(jì)算出第三次全國(guó)人口普查城鎮(zhèn)人口數(shù)即可判斷；對(duì)于D,計(jì)算出第七次全國(guó)人口普查城鎮(zhèn)人口數(shù)即可判斷.【詳解】解：對(duì)于A,與前一次全國(guó)人口普查對(duì)比，第五次總?cè)藬?shù)增長(zhǎng)量為萬(wàn)，第四次總?cè)藬?shù)增長(zhǎng)量為萬(wàn)，故A正確.；對(duì)于B，對(duì)比這7次全國(guó)人口普查結(jié)果，人口總數(shù)以及城鎮(zhèn)人口比重都在增長(zhǎng)，所以我國(guó)城鎮(zhèn)人口數(shù)量逐次遞增，故B正確；對(duì)于C，第三次全國(guó)人口普查城鎮(zhèn)人口數(shù)約為萬(wàn)，故C不正確；對(duì)于D,第七次全國(guó)人口普查城鎮(zhèn)人口數(shù)約為萬(wàn)，D正確.故選：C.12．如圖，在直角梯形ABCD中，，，，將直角梯形ABCD沿對(duì)角線折起，使平面平面BCD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】取BD的中點(diǎn)F，連接AF，則，通過(guò)面面垂直的性質(zhì)定理可得到平面BCD．過(guò)C作，且使，連接AE，EF，BE，F(xiàn)C則為所求的角，在分別求出的大小，即可求出答案.【詳解】在直角梯形ABCD中，因?yàn)?，，，所以，，取BD的中點(diǎn)F，連接AF，則．又因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD且交于BD，所以平面BCD．過(guò)C作，且使，連接AE，EF，BE，F(xiàn)C則為所求的角．在中，，在中，．因?yàn)?，所以為直角三角形．所以，所以異面直線AC與BD所成角的余弦值為．故選：B.二、填空題13．設(shè)向量，且，則___________.【答案】5【分析】由得：，分別求出，代入即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以，所?故答案為：5.14．雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線E的離心率為______．【答案】2【分析】列方程得到關(guān)于雙曲線E的a、c的等式，即可求得雙曲線E的離心率.【詳解】圓的圓心（2，0），半徑為1雙曲線的漸近線因?yàn)殡p曲線E的漸近線與圓C相切，所以，則．故答案為：215．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書中記載的鱉臑是四個(gè)面均為直角三角形的四面體．如圖所示的為一個(gè)鱉臑的正視圖和側(cè)視圖，已知為直角三角形，且D為BC的中點(diǎn)，為等腰直角三角形，若此鱉臑的體積為，則其外接球的體積為______．【答案】【分析】先畫出鱉臑的直觀圖，再依據(jù)該直觀圖的結(jié)構(gòu)特征求得其外接球的半徑，進(jìn)而求得其外接球的體積.【詳解】由正視圖和側(cè)視圖可知該鱉臑的直觀圖如圖所示，，Q為ON的中點(diǎn)，，平面OMN設(shè)，則，，，．所以該鱉臑的體積為．由，得．因?yàn)槠渫饨忧虻闹睆綖?，所以外接球的體積為．故答案為：16．已知直線l是曲線與的公共切線，則l的方程為___________.【答案】或【分析】設(shè)與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)1），結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列出方程求得的值，即可求解.【詳解】設(shè)與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)1），則，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，的方程為；當(dāng)時(shí)，的方程為.故答案為：或.三、解答題17．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)于2022年2月4日開幕，北京也就此成為全球唯一一座既舉辦過(guò)夏季奧運(yùn)會(huì)又舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)的城市．為做好本次奧運(yùn)會(huì)的服務(wù)工作，需從某高校選拔志愿者，現(xiàn)對(duì)該校踴躍報(bào)名的100名學(xué)生進(jìn)行綜合素質(zhì)考核，根據(jù)學(xué)生考核成績(jī)分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)，最終的考核情況如下表：等級(jí)ABCD人數(shù)10304020(1)將頻率視為概率，從報(bào)名的100名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，求其成績(jī)等級(jí)為A的概率；(2)從報(bào)名的100名學(xué)生中，根據(jù)考核情況利用分層抽樣法抽取10名學(xué)生，再?gòu)倪@10名學(xué)生中選取2人進(jìn)行座談會(huì)，求這2人成績(jī)等級(jí)相同的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）用頻率估計(jì)概率，直接求解；（2）列舉基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解．【詳解】(1)由題知，任意抽取1人，抽到的學(xué)生成績(jī)等級(jí)為A的概率為．(2)由題知，抽取的10名學(xué)生中成績(jī)?yōu)锳，B，C，D等級(jí)的人數(shù)分別為1，3，4，2，記這10人分別為A，，，，，，，，，，從中抽取2人的樣本空間為{，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，}，共45個(gè)樣本點(diǎn)，其中成績(jī)同等級(jí)的樣本點(diǎn)有，，，，，，，，，，共10個(gè)，所以這2人成績(jī)等級(jí)相同的概率為．18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)證明：為等比數(shù)列.(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由可求得的值，令，由可得，兩式作差可推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求出，利用裂項(xiàng)相消法可求得.【詳解】(1)證明：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，由可得，所以，所以.即是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，.(2)解：由（1）知，所以.19．如圖，在四棱錐中，，，∥，，，.(1)證明：平面ABCD.(2)若M為PD的中點(diǎn)，求P到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題可知為等邊三角形，可得，，在中利用余弦定理可求得，再利用勾股定理的逆定理可得，結(jié)合已知由線面垂直的判定可得平面PAC，則，再由線面垂直的判定可證得結(jié)論，（2）利用求出點(diǎn)到平面的距離，再由M為PD的中點(diǎn)，可得P到平面的距離與D到平面的距離相等，從而可得答案【詳解】(1)證明：因?yàn)椤?，，所以，因?yàn)樗詾榈冗吶切?，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所?因?yàn)?，且，所以平面PAC.因?yàn)槠矫鍼AC，所以.因?yàn)?，且AB，CD相交，所以平面ABCD.(2)解：因?yàn)?，，，所以的面積為.因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，，，所以三棱錐的高為1，所以三棱錐的體積為.在中，，，所以的面積為.記D到平面的距離為d，則，所以.因?yàn)镻到平面的距離與D到平面的距離相等，所以P到平面的距離為.20．已知函數(shù).(1)若在上不單調(diào)，求a的取值范圍；(2)若的最小值為，求a的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正難則反思想，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求在上單調(diào)時(shí)a的范圍即可得解；（2）分和，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，再根據(jù)最小值為求解.【詳解】(1).若在上單調(diào)，則在上恒成立，所以在上恒成立，所以，即.因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以a的取值范圍是.(2).①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，此時(shí)無(wú)最值.②當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以的最小值是，則.令則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋苑匠讨挥幸粋€(gè)根，所以故a的值為.21．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，且．(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過(guò)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若直線的斜率分別為，證明：是，的等差中項(xiàng)．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，列方程組求解；（2）設(shè)出直線方程，和拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】(1)由拋物線的定義知，因?yàn)樵趻佄锞€E上，所以，解得，所以拋物線E的方程為．(2)由（1）知，，．由題意，顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，，．聯(lián)立方程組，得，則，．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，，所以，所以，于是是，的等差中?xiàng)．22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，且兩曲線與交于M，N兩點(diǎn)．(1)求曲線，的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）依據(jù)參普方程互化規(guī)則求得曲線的直角坐標(biāo)方程，依據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化規(guī)則求得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）利用直線參數(shù)方程的幾何意義去求的值簡(jiǎn)單快捷.【詳解】(1)由曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得，即曲線的直角坐標(biāo)方程為．由曲線的極坐標(biāo)方程，得，則即的直角坐標(biāo)方程為．(2)因?yàn)樵谇€上，所以曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入的直角坐標(biāo)方程，得．設(shè)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，所以．23