近世代數(shù) 群的定義

近世代數(shù)課件群的定義第1頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.1引例例1集合上所有一一變換……………….引入記號(hào):第2頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例2保持平面上正△不變的保距變換.………

,具有乘法運(yùn)算(映射復(fù)合),滿(mǎn)足性質(zhì):Ⅰ．對(duì)于乘法來(lái)說(shuō)是閉的:對(duì)于；Ⅱ．結(jié)合律成立：,對(duì)于；第3頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Ⅳ．里至少存在一個(gè)，能讓對(duì)于的任何元都成立,這樣的稱(chēng)為左單位元；Ⅴ．對(duì)于的每一個(gè)元，在里存在一個(gè)元,記為，能讓這樣的稱(chēng)為的左逆元.例3保持中多項(xiàng)式不變的變換.第4頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.2群的第一定義及例子群的定義I我們說(shuō)，一個(gè)不空集合對(duì)于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如:III．里至少存在一個(gè)，能讓對(duì)于的任何元都成立,這樣的稱(chēng)為左單位元；Ⅰ．對(duì)于乘法來(lái)說(shuō)是閉的:對(duì)于；Ⅱ．結(jié)合律成立：,對(duì)于；第5頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Ⅳ．對(duì)于的每一個(gè)元，在里存在一個(gè)元,記為，能讓這樣的稱(chēng)為的左逆元.注1群與運(yùn)算聯(lián)系在一起.例4.(平凡群)只包含一個(gè)元．乘法是．對(duì)于這個(gè)乘法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群．例5.在數(shù)集中,關(guān)于熟習(xí)的運(yùn)算,發(fā)現(xiàn)一些群的正反面的例子……………...第6頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例6在矩陣集合中發(fā)現(xiàn)一些群的正反面的例子.例7向量空間是一個(gè)加法群例8(重新定義的運(yùn)算)在上定義運(yùn)算判斷關(guān)于給定的運(yùn)算是否構(gòu)成群.注2群定義中,I和II是驗(yàn)算,III和IV需要找元素.注3III和IV有邏輯先后.第7頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期四作業(yè):判斷下列是否構(gòu)成群(1)在上定義運(yùn)算(2)在上定義運(yùn)算第8頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.3群的第二定義引理1一個(gè)左逆元一定也是一個(gè)右逆元,這句話的意思是：證明有元有左逆元，使得一方面,但另一方面,所以第9頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期四引理2一個(gè)左單位元一定也是一個(gè)右單位元．這就是說(shuō)：證明:

群的定義II我們說(shuō)，一個(gè)不空集合對(duì)于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如:Ⅰ．對(duì)于乘法來(lái)說(shuō)是閉的:對(duì)于；Ⅱ．結(jié)合律成立：,對(duì)于；第10頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期四III’．里至少存在一個(gè)，能讓對(duì)于的任何元都成立,這樣的稱(chēng)為右單位元；Ⅳ’．對(duì)于的每一個(gè)元，在里存在一個(gè)元,記為，能讓這樣的稱(chēng)為的右逆元.證明:(1)定義I證明定義II,已經(jīng)完成(2)定義II證明定義I,需要類(lèi)似的二步(作業(yè))第11頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.4群的第三定義群的定義III我們說(shuō)，一個(gè)不空集合對(duì)于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如:Ⅰ．對(duì)于乘法來(lái)說(shuō)是閉的:對(duì)于；Ⅱ．結(jié)合律成立：,對(duì)于；III’’．里至少存在一個(gè)，能讓對(duì)于的任何元都成立,這樣的稱(chēng)為右單位元；第12頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Ⅳ’’．對(duì)于的每一個(gè)元，在里存在一個(gè)元,記為，能讓這樣的稱(chēng)為的逆元.第13頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.5群的第四定義群的定義IV我們說(shuō)，一個(gè)不空集合對(duì)于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如:Ⅰ．對(duì)于這個(gè)乘法來(lái)說(shuō)是閉的；Ⅱ．結(jié)合律成立：,對(duì)于；V．對(duì)于的任意兩個(gè)元，來(lái)說(shuō)，方程和都在里有解．第14頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期四證明定義III定義IV定義I定義III(1)定義III定義IV,容易(2)定義IV定義I

III.需要證明：里至少存在一個(gè)元，叫做的一個(gè)左單位元，能讓對(duì)于的任何元都成立．對(duì)于一個(gè)固定的元，在里有解．我們?nèi)我馊∫粋€(gè)解，叫它作：（１）第15頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期四我們要證明這個(gè)就是左單位元，即：對(duì)于的任意元，成立．有解：（２）由（１），（２）這樣，我們證明了的存在．第16頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Ⅳ．對(duì)于的每一個(gè)元，在里至少存在一個(gè)元，叫做的一個(gè)左逆元，能讓成立．這里是一個(gè)固定的左單位元．由V，可解．(3)定義I定義III，已經(jīng)完成。第17頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.6幾個(gè)進(jìn)一步的概念以下我們還要說(shuō)明幾個(gè)名詞和符號(hào)．一個(gè)群的元素的個(gè)數(shù)可以有限也可以無(wú)限．我們規(guī)定定義1一個(gè)群叫做有限群，假如這個(gè)群的元的個(gè)數(shù)是一個(gè)有限數(shù)．不然的話，這個(gè)群叫做無(wú)限群．一個(gè)有限群的元的個(gè)數(shù)叫做這個(gè)群的階．第18頁(yè)，共20頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在一個(gè)群里結(jié)合律是對(duì)的，所以

有意義，是的某一個(gè)元．這樣，我們當(dāng)然可以把個(gè)相同的元來(lái)相乘．因?yàn)槲覀冇闷胀ǔ朔ǖ姆?hào)來(lái)表示群的乘法，這樣得來(lái)的一個(gè)元我們也用普通符號(hào)來(lái)表示：是正整數(shù)并且也把它叫做的次乘方（簡(jiǎn)稱(chēng)次方）