講反比例函數(shù)

第十一講反比例函數(shù)一、反比例函數(shù)解析式的三種形式1.y=___(k≠0,k為常數(shù)).2.y=k___(k≠0,k為常數(shù)).3.xy=__(k≠0,k為常數(shù)).x-1k二、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),k≠0)的圖象是_______,且關(guān)于_____對稱.2.反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),k≠0)的圖象和性質(zhì)雙曲線原點(diǎn)函數(shù)圖象所在象限性質(zhì)y=(k為常數(shù),k≠0)k>0

_______象限(x,y同號)在每個象限內(nèi),y隨x增大而_____k<0

_______象限(x,y異號)在每個象限內(nèi),y隨x增大而_____一、三二、四減小增大【自我診斷】(打“√”或“×”)1.一般地,形如y=(k為常數(shù),k≠0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù).

()2.若xy=3,則y是x的反比例函數(shù).

()√√3.過雙曲線y=上任意一點(diǎn),向兩坐標(biāo)軸作垂線,則以該點(diǎn)、一個垂足和原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為2.

()4.已知雙曲線y=經(jīng)過點(diǎn)(-2,1),則k的值等于-1.

()×√5.若函數(shù)y=的圖象在同一象限內(nèi),y隨x的增大而增大,則m的值可能為-3.

()6.已知y與x2成反比例,并且當(dāng)x=-1時,y=2,那么當(dāng)x=4時,y等于.

()√×考點(diǎn)一反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

【考情分析】反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的層級為理解并能應(yīng)用.在各地的中考考查中均有體現(xiàn),特別是圖象與性質(zhì)的應(yīng)用是一個重要的考向,考查的方式為直接應(yīng)用性質(zhì)判斷字母的取值范圍、確定反比例函數(shù)所在的象限、函數(shù)值的大小比較、多圖象問題、比例系數(shù)k的幾何意義等,多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).命題角度1:比較函數(shù)值的大小【示范題1】(2017·天津中考)若點(diǎn)A(-1,y1),B(1,y2),C(3,y3)在反比例函數(shù)y=的圖象上,則y1,y2,y3的大小關(guān)系是(

)A.y1<y2<y3 B.y2<y3<y1C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3【思路點(diǎn)撥】把點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=,分別計算出y1,y2,y3的值進(jìn)行比較或畫出y=的草圖,描出A,B,C三點(diǎn),進(jìn)行判斷,注意點(diǎn)A,B,C不在同一象限.【自主解答】選B.把A,B,C三點(diǎn)代入反比例函數(shù)y=得y1=3,y2=-3,y3=-1,所以y2<y3<y1.命題角度2:反比例函數(shù)圖象的應(yīng)用【示范題2】(2017·日照中考)反比例函數(shù)y=的圖象如圖所示,則一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象大致是

(

)【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)反比例函數(shù)圖象判斷k,b的符號,再根據(jù)一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系作出正確選擇.【自主解答】選D.∵y=的圖象經(jīng)過第一、三象限,∴kb>0,∴k,b同號,A.圖象過第一、二、四象限,則k<0,圖象經(jīng)過y軸正半軸,則b>0,此時,k,b異號,故此選項(xiàng)不合題意;B.圖象過第二、四象限,則k<0,圖象經(jīng)過原點(diǎn),則b=0,此時,kb=0,故此選項(xiàng)不合題意;C.圖象過第一、三、四象限,則k>0,圖象經(jīng)過y軸負(fù)半軸,則b<0,此時,k,b異號,故此選項(xiàng)不合題意;D.圖象過第一、二、三象限,則k>0,圖象經(jīng)過y軸正半軸,則b>0,此時,k,b同號,故此選項(xiàng)符合題意.命題角度3:k的幾何意義【示范題3】(2017·棗莊中考)如圖,反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過矩形OABC的邊AB的中點(diǎn)D,則矩形OABC的面積為________.【思路點(diǎn)撥】可設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則可表示出B點(diǎn)坐標(biāo),從而可表示出矩形OABC的面積,利用xy=2可求得答案.【自主解答】設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),∵反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)D,∴xy=2,∵D為AB的中點(diǎn),∴B(x,2y),∴OA=x,OC=2y,∴S矩形OABC=OA·OC=x·2y=2xy=2×2=4.答案:4【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】y=(k≠0)中系數(shù)k的幾何意義1.在反比例函數(shù)y=(k≠0)圖象中任取一點(diǎn),過這一個點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|.2.在反比例函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線,這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是定值.【變式訓(xùn)練】1.(2017·青島中考)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象經(jīng)過A(-1,-4),B(2,2)兩點(diǎn),P為反比例函數(shù)y=圖象上一動點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)P作y軸的垂線,垂足為C,則△PCO的面積為(

)A.2

B.4

C.8

D.不確定【解析】選A.把點(diǎn)A(-1,-4),B(2,2)分別代入y=kx+b得解得所以y=所以xy=-4,所以S△PCO=|xy|=×|-4|=2.2.(2017·濰坊中考)一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=

其中ab<0,a,b為常數(shù),它們在同一坐標(biāo)系中的圖象可以是(

)【解析】選C.∵ab<0,即a與b異號,選項(xiàng)A,一次函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限,即a>0,b<0,故a-b>0,與反比例函數(shù)過第二、四象限矛盾,故錯誤;選項(xiàng)B,一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、四象限,即a<0,b>0,故a-b<0與反比例函數(shù)過第一、三象限矛盾,故錯誤;選項(xiàng)C,一次函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限,即a>0,b<0,故a-b>0與反比例函數(shù)過第一、三象限吻合,故正確;選項(xiàng)D,一次函數(shù)經(jīng)過第二、三、四象限,即a<0,b<0,與ab<0矛盾,故錯誤.3.(2017·菏澤中考)直線y=kx(k>0)與雙曲線y=交于A(x1,y1)和B(x2,y2)兩點(diǎn),則3x1y2-9x2y1的值為________.【解析】由題可知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于原點(diǎn)對稱,∴x1=-x2,y1=-y2,把A(x1,y1)代入雙曲線y=,得x1y1=6,所以3x1y2-9x2y1=-3x1y1+9x1y1=-18+54=36.答案:36考點(diǎn)二反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【示范題4】(2017·麗水中考)麗水某公司將“麗水山耕”農(nóng)副產(chǎn)品運(yùn)往杭州市場進(jìn)行銷售,記汽車行駛時間為t小時,平均速度為v千米/小時(汽車行駛速度不超過100千米/小時).根據(jù)經(jīng)驗(yàn),v,t的一組對應(yīng)值如表:(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),求出平均速度v(千米/小時)關(guān)于行駛時間t(小時)的函數(shù)表達(dá)式.v(千米/小時)7580859095t(小時)4.003.753.533.333.16(2)汽車上午7:30從麗水出發(fā),能否在上午10:00之前到達(dá)杭州市場?請說明理由.(3)若汽車到達(dá)杭州市場的行駛時間t滿足3.5≤t≤4,求平均速度v的取值范圍.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),嘗試運(yùn)用構(gòu)造反比例函數(shù)模型v=取一組整數(shù)值代入求出k,再取幾組值代入檢驗(yàn)是否符合.(2)經(jīng)過的時間t=10-7.5,代入v=求出v值,其值要不超過100,才成立.(3)根據(jù)反比例函數(shù),k>0,且t>0,則v隨t的增大而減小的,故分別把t=3.5,t=4,求得v的最大值和最小值.【自主解答】(1)根據(jù)表格中數(shù)據(jù),可知v=∵v=75時,t=4,∴k=75×4=300,∴v=(2)∵10-7.5=2.5,∴t=2.5時,v==120>100,∴汽車上午7:30從麗水出發(fā),不能在上午10:00之前到達(dá)杭州市場.(3)∵3.5≤t≤4,∴75≤v≤答:平均速度v的取值范圍是75≤v≤【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】列反比例函數(shù)解決實(shí)際問題的步驟(1)審清題意,找出題目中的常量、變量,并理清常量與變量之間的關(guān)系.(2)根據(jù)常量與變量之間的關(guān)系,設(shè)出函數(shù)解析式,待定的系數(shù)用字母表示.(3)由題目的已知條件列出方程,求出待定系數(shù).(4)寫出函數(shù)解析式,并注意解析式中變量的取值范圍.(5)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實(shí)際問題.【變式訓(xùn)練】(2017·煙臺中考)數(shù)學(xué)興趣小組研究某型號冷柜溫度的變化情況,發(fā)現(xiàn)該冷柜的工作過程是:當(dāng)溫度達(dá)到設(shè)定溫度-20℃時,制冷停止,此后冷柜中的溫度開始逐漸上升,當(dāng)上升到-4℃時,制冷開始,溫度開始逐漸下降,當(dāng)冷柜自動制冷至-20℃時,制冷再次停止,……,按照以上方式循環(huán)進(jìn)行.同學(xué)們記錄了“44min內(nèi)15個時間點(diǎn)冷柜中的溫度y(℃)隨時間x(min)的變化情況,制成下表:時間x/min…4810162021222324溫度y/℃…-20-10-8-5-4-8-12-16-20時間x/min283036404244…溫度y/℃-10-8-5-4a-20…(1)通過分析發(fā)現(xiàn),冷柜中的溫度y是時間x的函數(shù).①當(dāng)4≤x<20時,寫出一個符合表中數(shù)據(jù)的函數(shù)解析式____________;②當(dāng)20≤x<24時,寫出一個符合表中數(shù)據(jù)的函數(shù)解析式____________.(2)a的值為________.(3)如圖,在直角坐標(biāo)系中,已描出了上表中部分?jǐn)?shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn),請描出剩余數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn),并畫出當(dāng)4≤x≤44時溫度y隨時間x變化的函數(shù)圖象.【解析】(1)①由表格可知當(dāng)4≤x<20時,xy=-80,∴y=②根據(jù)表格可知每經(jīng)過1分鐘,溫度降低4℃,∴當(dāng)20≤x<24時,y=-4(x-20)-4,整理得y=-4x+76.(2)由表格可知第42分鐘時的溫度與第22分鐘時溫度相同,∴a=-12.(3)如圖所示:考點(diǎn)三反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用【示范題5】(2017·菏澤中考)如圖,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限交于A,B兩點(diǎn),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,2),連接OA,OB,過點(diǎn)B作BD⊥y軸,垂足為點(diǎn)D,交OA于點(diǎn)C,若OC=CA.(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式.(2)求△AOB的面積.【思路點(diǎn)撥】(1)利用B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,2),求反比例函數(shù)的表達(dá)式;利用BD⊥y軸和OC=CA,得A點(diǎn)的坐標(biāo)為利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式.(2)利用三角形中位線的性質(zhì),求出CD的長,進(jìn)而求出BC的長,再利用△AOB的面積=△ABC的面積+△BOC的面積求得答案.【自主解答】(1)∵反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)B(3,2),∴2=即a=6,∴反比例函數(shù)的解析式為y=過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E,∵BD⊥y軸,OC=CA,∴CD是△AOE的中位線,即OE=2OD=4,又點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=圖象上,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,4),∴一次函數(shù)的解析式為y=x+6.(2)∵由(1)可知,CD是△AOE的中位線,所以CD=∴BC=BD-CD=∴△AOB的面積=△ABC的面積+△BOC的面積=【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用的三個方面(1)探求同一坐標(biāo)系下兩函數(shù)的圖象常用排除法.(2)探求兩函數(shù)解析式常利用兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo).(3)探求兩圖象交點(diǎn)坐標(biāo),常利用解方程(組)的方法求解.【變式訓(xùn)練】1.(2017·東營中考)如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn),與反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限的交點(diǎn)為C,CD⊥x軸,垂足為D.若OB=3,OD=6,△AOB的面積為3.(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式.(2)直接寫出當(dāng)x>0時,kx+b-<0的解集.【解析】(1)∵S△AOB=3,OB=3,∴OA=2,∴B(3,0),A(0,-2),代入y=kx+b得:解得:∴一次函數(shù)的解析式為y=-2,∵OD=6,∴D(6,0),CD⊥x軸,當(dāng)x=6時,y=×6-2=2,∴C(6,2),∴n=6×2=12,∴反比例函數(shù)的解析式是y=(2)由圖象可知,當(dāng)x>0時,kx+b-<0的解集是0<x<6.2.(2017·聊城中考)如圖,分別位于反比例函數(shù)在第一象限圖象上的A,B兩點(diǎn)與原點(diǎn)O在同一直線上,且(1)求反比例函數(shù)y=的表達(dá)式.(2)過點(diǎn)A作x軸的平行線交y=的圖象于點(diǎn)C,連接BC,求△ABC的面積.【解析】(1)作AE,BF分別垂直于x軸