吉林省吉林市普通中學(xué)高三下學(xué)期第四次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)（文）試題

2022屆吉林省吉林市普通中學(xué)高三下學(xué)期第四次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知，根據(jù)集合，先求解出，然后結(jié)合集合，即可求解.【詳解】由已知，集合，所以，而集合，所以.故選：A.2．設(shè)命題，，則命題p的否定為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，即可得到答案.【詳解】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定方法可知，特稱命題，的否定為：，.故選：B.3．已知函數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】根據(jù)定義域選擇合適的表達(dá)式代入求值【詳解】故選：C4．如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出S的值是（

）A．6 B．14 C．16 D．38【答案】C【分析】初始值：k=0，n=4，S=1，根據(jù)判斷條件，執(zhí)行循環(huán)，直到跳出循環(huán)，輸出結(jié)果【詳解】k=0，n=4，S=1第一循環(huán)：n=4，S=2,k=2第二循環(huán)：n=4，S=6,k=4第三循環(huán)：n=4，S=16,k=6輸出S=16故選：C5．已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，滿足，則的形狀一定是（

）A．等腰直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】利用余弦定理將化為，然后化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】，由余弦定理可得，則，則，所以為直角三角形.故選：D6．把25化為二進(jìn)制數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用“除取余法”，將十進(jìn)制的數(shù)除以2，然后將商繼續(xù)除以2，直到商為0，然后將依次所得余數(shù)倒序排列即可得到答案.【詳解】由題意得，把25化為二進(jìn)制數(shù)為.故選：A7．如圖，中，，，點(diǎn)E是的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的加法法則和減法法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】故選：B.8．已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閮牲c(diǎn)到直線的距離相等，所以有，或，故選：D9．已知a，b是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【分析】設(shè)出的法向量，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷A，B，D；舉例說(shuō)明判斷C作答.【詳解】設(shè)平面的法向量分別為，對(duì)于A，由得，，，而，則，有，即，于是得，A正確；對(duì)于B，因，則，令直線的方向向量為，又，于是得，有，，B正確；對(duì)于C，三棱柱的三個(gè)側(cè)面分別視為平面，顯然平面平面，平面，有，即滿足C中命題的條件，但平面與平面相交，C不正確；對(duì)于D，因，則，因此，向量共面于平面，令直線的方向向量為，顯然，而平面，即不共線，于是得，所以，D正確.故選：C10．智能主動(dòng)降噪耳機(jī)工作的原理是通過耳機(jī)兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過主動(dòng)降噪芯片生成的聲波來(lái)抵消噪聲（如圖）．已知噪聲的聲波曲線是，通過主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線是（其中），則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由于抵消噪聲，所以振幅沒有改變，周期沒有改變，即，，即，要想抵消噪聲，需要主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線是，即，因?yàn)椋粤睿?，故選：C11．定義在R上的函數(shù)滿足，且函數(shù)為奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，則（

）A．－2 B．2 C．3 D．【答案】D【分析】由函數(shù)的對(duì)稱性可以找到函數(shù)的周期，然后通過周期性和對(duì)稱性即可求出的值.【詳解】由可得，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)為奇函數(shù)，所以，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則有，即，又，，的周期為4..故選：D.12．已知直線l：與雙曲線C：交于P，Q兩點(diǎn)，QH⊥x軸于點(diǎn)H，直線PH與雙曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為T，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】利用點(diǎn)差法，能得到的值，則通過就可以推導(dǎo)出，然后就可以推出的值.【詳解】設(shè)，，，，則.由得，，則，.，∴，∴.故選：B.二、填空題13．復(fù)數(shù)的虛部為___________．【答案】.【詳解】試題分析：因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為-1.【解析】復(fù)數(shù)的運(yùn)算.14．已知實(shí)數(shù)x，y滿足線性約束條件，則的最大值為______．【答案】16【分析】畫出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】作出該不等式表示的平面區(qū)域如下，聯(lián)立，得,平移，觀察可知，該直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，在軸的截距最大，即.故答案為：1615．已知一個(gè)圓錐的側(cè)面積為，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則此圓錐的體積為___________.【答案】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，分析得出，由圓錐的側(cè)面積計(jì)算出、的值，可求得圓錐的高，再利用圓錐的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則圓錐的底面圓周長(zhǎng)為，可得，圓錐的側(cè)面積為，解得，，所以，圓錐的高為，因此，該圓錐的體積為.故答案為：.三、雙空題16．已知函數(shù)，函數(shù)，則函數(shù)的極小值點(diǎn)為______；若，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可求得該函數(shù)的極小值點(diǎn)；分析得出，構(gòu)造函數(shù)，可知函數(shù)在上為增函數(shù)，則在上恒成立，結(jié)合參變量分離法可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的取得極小值，即函數(shù)的極小值點(diǎn)為，且，即，因?yàn)椋?，其中，，?gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，對(duì)任意的恒成立，所以，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造新函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及參變量分離法求解.四、解答題17．在①，②這兩個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中，并解答．已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，_________，求．注：如果選擇兩個(gè)條件并分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式求基本量，即可寫出的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)所選的條件，應(yīng)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式或等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求基本量，進(jìn)而寫出前n項(xiàng)和公式.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，因?yàn)椋页傻缺葦?shù)列，所以，解得：或（舍），所以．(2)選擇①：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)椋裕?，即，所以或（舍），所以．選擇②：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，，即，可得或（舍），所以?8．如圖，在三棱錐P－ABC中，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC．(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AC＝BC＝PA＝2，M是PB的中點(diǎn)，求點(diǎn)M到平面PAC的距離．【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)得到，再由，即可得到BC⊥平面，從而得證；（2）由（1）可知BC⊥平面，即可得到到平面的距離為，從而求出到平面的距離；【詳解】(1)證明：平面，平面，∴，又∵，∴，∵，平面，平面，∴BC⊥平面，∵平面，∴平面平面；(2)解：由（1）可知，BC⊥平面，∴到平面的距離為，∴是的中點(diǎn)，∴到平面的距離為．19．為了切實(shí)維護(hù)居民合法權(quán)益，提高居民識(shí)騙防騙能力，守好居民的“錢袋子”，某社區(qū)開展“全民反詐在行動(dòng)——反詐騙知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，現(xiàn)從參加該活動(dòng)的居民中隨機(jī)抽取了100名，統(tǒng)計(jì)出他們競(jìng)賽成績(jī)分布如下：成績(jī)X人數(shù)2a22b28a(1)求a，b的值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖；(2)估計(jì)該社區(qū)居民競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(3)以頻率估計(jì)概率，若，社區(qū)獲得“反詐先進(jìn)社區(qū)”稱號(hào)，若，社區(qū)獲得“反詐先鋒社區(qū)”稱號(hào)，試判斷該社區(qū)可獲得哪種稱號(hào)（s為競(jìng)賽成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差）？【答案】(1)；，圖見解析(2)75，100(3)該社區(qū)可獲得“反詐先進(jìn)社區(qū)”稱號(hào)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖與頻率分布表求出、的值，從而補(bǔ)全頻率分布直方圖；（2）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)與方差公式計(jì)算可得；（3）根據(jù)頻率分布直方圖求出，即可判斷；【詳解】(1)解：由題可知：，，所以100名居民競(jìng)賽成績(jī)?cè)诮M內(nèi)頻率/組距為，補(bǔ)全頻率分布直方圖如下：(2)解：估計(jì)該社區(qū)居民競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)，估計(jì)該社區(qū)居民競(jìng)賽成績(jī)的方差(3)解：由（1）可得，所以∵所以該社區(qū)可獲得“反詐先進(jìn)社區(qū)”稱號(hào)．20．設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為．(1)求點(diǎn)M的軌跡方程E；(2)求曲線E內(nèi)接矩形面積S的最大值．【答案】(1)；(2)4.【分析】（1）根據(jù)斜率的乘積可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，注意點(diǎn)的取舍.（2）利用基本不等式可求內(nèi)接矩形面積的最大值.【詳解】(1)設(shè)，∵，，則，∴點(diǎn)M的軌跡方程E：．(2)設(shè)第一象限內(nèi)曲線E內(nèi)接矩形的頂點(diǎn)為，則，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)；所以曲線E內(nèi)接矩形面積S最大值為4．21．已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)若函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)a＝1，函數(shù)在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，即恒成立或恒成立，參變分離即可求解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為與在內(nèi)有2個(gè)公共點(diǎn)來(lái)求解.【詳解】(1)函數(shù)是R上單調(diào)函數(shù)恒成立或恒成立等價(jià)于恒成立或恒成立設(shè)，∴或∵∵，∴，∴∴或.即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2)當(dāng)a＝1時(shí)，在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與在內(nèi)有2個(gè)公共點(diǎn)令，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，取極小值當(dāng)時(shí)，取極大值∵，∴要使與在內(nèi)有2個(gè)公共點(diǎn)需滿足或∴或∴或即實(shí)數(shù)m的取值范圍為22．以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形，如圖，在極坐標(biāo)系中，曲邊三角形為勒洛三角形，且，，以極點(diǎn)O為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．(1)求的極坐標(biāo)方程和所在圓的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為，曲線和圓相交于A，B兩點(diǎn)，求．【答案】(1)；(2)3【分析】（1）由已知，可根據(jù)題意直接寫出的極坐標(biāo)方程，并標(biāo)注范圍，然后求解出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)，寫出所在圓的直角坐標(biāo)方程即可；（2）由已知，設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，將曲線的參數(shù)方程帶入圓，并根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，求解即可.【詳解】(1)因?yàn)?，，?/p>