(精)高中數(shù)學(xué)選修2-3教案

(精)高中數(shù)學(xué)選修2-3教案高中數(shù)學(xué)教案選修全套PAGE優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)資源下載/sxzyxzPAGE183第一章計數(shù)原理1．1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理第一課時1分類加法計數(shù)原理（1）提出問題問題1.1：用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？問題1.2：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車.如果一天中火車有3班，汽車有2班.那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？（2）發(fā)現(xiàn)新知分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.（3）知識應(yīng)用例1.在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項專業(yè)，具體情況如下：A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會計學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？分析：由于這名同學(xué)在A,B兩所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業(yè)，又由于兩所大學(xué)沒有共同的強(qiáng)項專業(yè)，因此符合分類加法計數(shù)原理的條件．解：這名同學(xué)可以選擇A,B兩所大學(xué)中的一所．在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法．又由于沒有一個強(qiáng)項專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，因此根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有5+4=9（種）.變式：若還有C大學(xué)，其中強(qiáng)項專業(yè)為：新聞學(xué)、金融學(xué)、人力資源學(xué).那么，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有多少種？探究：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，在第3類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情有類不同方案，在每一類中都有若干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計數(shù)呢？一般歸納：完成一件事情，有n類辦法，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法……在第n類辦法中有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.理解分類加法計數(shù)原理：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事.例2.一螞蟻沿著長方體的棱,從的一個頂點爬到相對的另一個頂點的最近路線共有多少條？解:從總體上看,如,螞蟻從頂點A爬到頂點C1有三類方法,從局部上看每類又需兩步完成,所以,第一類,m1=1×2=2條第二類,m2=1×2=2條第三類,m3=1×2=2條所以,根據(jù)加法原理,從頂點A到頂點C1最近路線共有N=2+2+2=6條練習(xí):(1）一件工作可以用2種方法完成，有5人只會用第1種方法完成，另有4人只會用第2種方法完成，從中選出l人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是＿;(2）從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B的路線有＿條．第二課時2分步乘法計數(shù)原理（1）提出問題問題2.1：用前6個大寫英文字母和1—9九個阿拉伯?dāng)?shù)字，以,,…，,,…的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？用列舉法可以列出所有可能的號碼：我們還可以這樣來思考：由于前6個英文字母中的任意一個都能與9個數(shù)字中的任何一個組成一個號碼，而且它們各不相同，因此共有6×9=54個不同的號碼．（2）發(fā)現(xiàn)新知分步乘法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.（3）知識應(yīng)用例1.設(shè)某班有男生30名，女生24名.現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？分析：選出一組參賽代表，可以分兩個步驟．第l步選男生．第2步選女生．解：第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選擇；第2步，從24名女生中選出1人，有24種不同選擇．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有30×24=720種不同的選法．一般歸納：完成一件事情，需要分成n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法……做第n步有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.理解分步乘法計數(shù)原理：分步計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個步驟都完成后，才算完成這件事.3．理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理異同點①相同點：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題②不同點：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事，是獨立完成；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成.例2.如圖,要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？解:按地圖A、B、C、D四個區(qū)域依次分四步完成,第一步,m1=3種,第二步,m2=2種,第三步,m3=1種,第四步,m4=1種,所以根據(jù)乘法原理,得到不同的涂色方案種數(shù)共有N=3×2×1×1=6第三課時3綜合應(yīng)用例1.書架的第1層放有4本不同的計算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.①從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？②從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？③從書架上任取兩本不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？【分析】①要完成的事是“取一本書”，由于不論取書架的哪一層的書都可以完成了這件事，因此是分類問題，應(yīng)用分類計數(shù)原理.②要完成的事是“從書架的第1、2、3層中各取一本書”，由于取一層中的一本書都只完成了這件事的一部分，只有第1、2、3層都取后，才能完成這件事，因此是分步問題，應(yīng)用分步計數(shù)原理.③要完成的事是“取2本不同學(xué)科的書”，先要考慮的是取哪兩個學(xué)科的書，如取計算機(jī)和文藝書各1本，再要考慮取1本計算機(jī)書或取1本文藝書都只完成了這件事的一部分，應(yīng)用分步計數(shù)原理，上述每一種選法都完成后，這件事才能完成，因此這些選法的種數(shù)之間還應(yīng)運用分類計數(shù)原理.解：(1)從書架上任取1本書，有3類方法：第1類方法是從第1層取1本計算機(jī)書，有4種方法；第2類方法是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類方法是從第3層取1本體育書，有2種方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是=4+3+2=9;(2）從書架的第1,2,3層各取1本書，可以分成3個步驟完成：第1步從第1層取1本計算機(jī)書，有4種方法；第2步從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3步從第3層取1本體育書，有2種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是=4×3×2=24.（3）。例2.要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是N=3×2=6.6種掛法可以表示如下：分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問題．區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事，分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法互相依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事．例3.隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽車牌照都必須有3個不重復(fù)的英文字母和3個不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且3個字母必須合成一組出現(xiàn)，3個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)．那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？分析：按照新規(guī)定，牌照可以分為2類，即字母組合在左和字母組合在右．確定一個牌照的字母和數(shù)字可以分6個步驟．解：將汽車牌照分為2類，一類的字母組合在左，另一類的字母組合在右．字母組合在左時，分6個步驟確定一個牌照的字母和數(shù)字：第1步，從26個字母中選1個，放在首位，有26種選法；第2步，從剩下的25個字母中選1個，放在第2位，有25種選法；第3步，從剩下的24個字母中選1個，放在第3位，有24種選法；第4步，從10個數(shù)字中選1個，放在第4位，有10種選法；第5步，從剩下的9個數(shù)字中選1個，放在第5位，有9種選法；第6步，從剩下的8個字母中選1個，放在第6位，有8種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，字母組合在左的牌照共有26×25×24×10×9×8=11232000（個）.同理，字母組合在右的牌照也有11232000個．所以，共能給11232000+11232000=22464000（個）.輛汽車上牌照． 用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要進(jìn)行仔細(xì)分析―需要分類還是需要分步．分類要做到“不重不漏”．分類后再分別對每一類進(jìn)行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．分步要做到“步驟完整”―完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨立．分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．練習(xí)1．乘積展開后共有多少項？2．某電話局管轄范圍內(nèi)的電話號碼由八位數(shù)字組成，其中前四位的數(shù)字是不變的，后四位數(shù)字都是。到9之間的一個數(shù)字，那么這個電話局不同的電話號碼最多有多少個？3．從5名同學(xué)中選出正、副組長各1名，有多少種不同的選法？4．某商場有6個門，如果某人從其中的任意一個門進(jìn)人商場，并且要求從其他的門出去，共有多少種不同的進(jìn)出商場的方式？第四課時例1.給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z,后兩個要求用數(shù)字1～9．問最多可以給多少個程序命名？分析：要給一個程序模塊命名，可以分三個步驟：第1步，選首字符；第2步，選中間字符；第3步，選最后一個字符．而首字符又可以分為兩類．解：先計算首字符的選法．由分類加法計數(shù)原理，首字符共有7+6=13種選法．再計算可能的不同程序名稱．由分步乘法計數(shù)原理，最多可以有13×9×9==1053個不同的名稱，即最多可以給1053個程序命名．例2.核糖核酸（RNA）分子是在生物細(xì)胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成分一個RNA分子是一個有著數(shù)百個甚至數(shù)千個位置的長鏈，長鏈中每一個位置上都由一種稱為堿基的化學(xué)成分所占據(jù)．總共有4種不同的堿基，分別用A,C,G,U表示．在一個RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個位置上的堿基與其他位置上的堿基無關(guān)．假設(shè)有一類RNA分子由100個堿基組成，那么能有多少種不同的RNA分子？分析：用圖1.1一2來表示由100個堿基組成的長鏈，這時我們共有100個位置，每個位置都可以從A,C,G,U中任選一個來占據(jù)．解：100個堿基組成的長鏈共有100個位置，如圖1.1一2所示．從左到右依次在每一個位置中，從A,C,G,U中任選一個填人，每個位置有4種填充方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，長度為100的所有可能的不同RNA分子數(shù)目有（個）例3.電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)．因此計算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有O或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制．為了使計算機(jī)能夠識別字符，需要對字符進(jìn)行編碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8個二進(jìn)制位構(gòu)成．問：(1）一個字節(jié)（8位）最多可以表示多少個不同的字符？(2）計算機(jī)漢字國標(biāo)碼（GB碼）包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進(jìn)行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？分析：由于每個字節(jié)有8個二進(jìn)制位，每一位上的值都有0,1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計數(shù)原理求解本題．解：(1）用圖1.1一3來表示一個字節(jié)．圖1.1一3一個字節(jié)共有8位，每位上有2種選擇．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一個字節(jié)最多可以表示2×2×2×2×2×2×2×2=28=256個不同的字符；(2）由（1）知，用一個字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個，我們就考慮用2個字節(jié)能夠表示多少個字符．前一個字節(jié)有256種不同的表示方法，后一個字節(jié)也有256種表示方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，2個字節(jié)可以表示256×256=65536個不同的字符，這已經(jīng)大于漢字國標(biāo)碼包含的漢字個數(shù)6763．所以要表示這些漢字，每個漢字至少要用2個字節(jié)表示．例4.計算機(jī)編程人員在編寫好程序以后需要對程序進(jìn)行測試．程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑（即程序從開始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù)．一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成．如圖1.1一4，它是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊．問：這個程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？另外，為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù)你能幫助程序員設(shè)計一個測試方法，以減少測試次數(shù)嗎？ 圖1.1一4分析：整個模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點；第2步是從A點執(zhí)行到結(jié)束．而第1步可由子模塊1或子模塊2或子模塊3來完成；第2步可由子模塊4或子模塊5來完成．因此，分析一條指令在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個計數(shù)原理．解：由分類加法計數(shù)原理，子模塊1或子模塊2或子模塊3中的子路徑共有18+45+28=91（條）;子模塊4或子模塊5中的子路徑共有38+43=81（條）.又由分步乘法計數(shù)原理，整個模塊的執(zhí)行路徑共有91×81=7371（條）.在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊．這樣，他可以先分別單獨測試5個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常．總共需要的測試次數(shù)為18+45+28+38+43=172.再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，只需要測試程序第1步中的各個子模塊和第2步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測試次數(shù)為3×2=6.如果每個子模塊都工作正常，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就工作正常．這樣，測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)?72+6=178（次）.顯然，178與7371的差距是非常大的．鞏固練習(xí)：1.如圖,從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通,從丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？2.書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6本不同的英語書．（1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？（2）若從這些書中，取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？（3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？3.如圖一,要給①,②,③,④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色,則不同涂色方法種數(shù)為()A.180B.160C.96D.60①①③④②①②③④④③②①圖一圖二圖三若變?yōu)閳D二,圖三呢?5.五名學(xué)生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多少？又他們爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？6．（2007年重慶卷）若三個平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成（C）A．5部分B.6部分C.7部分D.8部分教學(xué)反思：課堂小結(jié)1．分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理是排列組合問題的最基本的原理，是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論依據(jù)，也是求解排列、組合問題的基本思想.2．理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，并加區(qū)別分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相對獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成后才算做完這件事.3．運用分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的注意點：分類加法計數(shù)原理：首先確定分類標(biāo)準(zhǔn)，其次滿足：完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，并且分別屬于不同的兩類的方法都是不同的方法，即"不重不漏".

分步乘法計數(shù)原理：首先確定分步標(biāo)準(zhǔn)，其次滿足：必須并且只需連續(xù)完成這n個步驟，這件事才算完成.分配問題把一些元素分給另一些元素來接受．這是排列組合應(yīng)用問題中難度較大的一類問題．因為這涉及到兩類元素：被分配元素和接受單位．而我們所學(xué)的排列組合是對一類元素做排列或進(jìn)行組合的，于是遇到這類問題便手足無措了．事實上，任何排列問題都可以看作面對兩類元素．例如，把10個全排列，可以理解為在10個人旁邊，有序號為1，2，……，10的10把椅子，每把椅子坐一個人，那么有多少種坐法？這樣就出現(xiàn)了兩類元素，一類是人，一類是椅子。于是對眼花繚亂的常見分配問題，可歸結(jié)為以下小的“方法結(jié)構(gòu)”：=1\*GB3①.每個“接受單位”至多接受一個被分配元素的問題方法是，這里.其中是“接受單位”的個數(shù)。至于誰是“接受單位”，不要管它在生活中原來的意義，只要.個數(shù)為的一個元素就是“接受單位”，于是，方法還可以簡化為.這里的“多”只要“少”.=2\*GB3②.被分配元素和接受單位的每個成員都有“歸宿”,并且不限制一對一的分配問題，方法是分組問題的計算公式乘以.1．2．1排列第一課時一、復(fù)習(xí)引入：1分類加法計數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，……，在第n類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法2.分步乘法計數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，……，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事有種不同的方法分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題,區(qū)別在于:分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題,其中各種方法相互獨立,每一種方法只屬于某一類,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題,各個步驟中的方法相互依存,某一步驟中的每一種方法都只能做完這件事的一個步驟,只有各個步驟都完成才算做完這件事應(yīng)用兩種原理解題:1.分清要完成的事情是什么；2.是分類完成還是分步完成,“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系；3.有無特殊條件的限制二、講解新課：1問題：問題1．從甲、乙、丙3名同學(xué)中選取2名同學(xué)參加某一天的一項活動，其中一名同學(xué)參加上午的活動，一名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的方法？分析：這個問題就是從甲、乙、丙3名同學(xué)中每次選取2名同學(xué)，按照參加上午的活動在前，參加下午活動在后的順序排列，一共有多少種不同的排法的問題，共有6種不同的排法：甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙，其中被取的對象叫做元素解決這一問題可分兩個步驟：第1步，確定參加上午活動的同學(xué)，從3人中任選1人，有3種方法；第2步，確定參加下午活動的同學(xué)，當(dāng)參加上午活動的同學(xué)確定后，參加下午活動的同學(xué)只能從余下的2人中去選，于是有2種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，在3名同學(xué)中選出2名，按照參加上午活動在前，參加下午活動在后的順序排列的不同方法共有3×2=6種，如圖1.2一1所示．把上面問題中被取的對象叫做元素，于是問題可敘述為：從3個不同的元素a,b，。中任取2個，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？所有不同的排列是ab,ac,ba,bc,ca,cb,共有3×2=6種．問題2．從1,2,3,4這4個數(shù)字中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？分析：解決這個問題分三個步驟：第一步先確定左邊的數(shù)，在4個字母中任取1個，有4種方法；第二步確定中間的數(shù)，從余下的3個數(shù)中取，有3種方法；第三步確定右邊的數(shù)，從余下的2個數(shù)中取，有2種方法由分步計數(shù)原理共有：4×3×2=24種不同的方法，用樹型圖排出，并寫出所有的排列由此可寫出所有的排法顯然，從4個數(shù)字中，每次取出3個，按“百”“十”“個”位的順序排成一列，就得到一個三位數(shù)．因此有多少種不同的排列方法就有多少個不同的三位數(shù)．可以分三個步驟來解決這個問題：第1步，確定百位上的數(shù)字，在1,2,3,4這4個數(shù)字中任取1個，有4種方法；第2步，確定十位上的數(shù)字，當(dāng)百位上的數(shù)字確定后，十位上的數(shù)字只能從余下的3個數(shù)字中去取，有3種方法；第3步，確定個位上的數(shù)字，當(dāng)百位、十位上的數(shù)字確定后，個位的數(shù)字只能從余下的2個數(shù)字中去取，有2種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從1,2,3,4這4個不同的數(shù)字中，每次取出3個數(shù)字，按“百”“十”“個”位的順序排成一列，共有4×3×2=24種不同的排法，因而共可得到24個不同的三位數(shù)，如圖1.2一2所示．由此可寫出所有的三位數(shù)：123，124,132,134,142,143，213，214,231,234,241,243，312，314,321,324,341,342，412，413,421,423,431,432。同樣，問題2可以歸結(jié)為：從4個不同的元素a,b,c，d中任取3個，然后按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？所有不同排列是abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.共有4×3×2=24種.樹形圖如下 abｃｄｂｃｄａｃｄａｂｄａｂｃ2．排列的概念：從個不同元素中，任取（）個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列說明：（1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列；（2）兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同3．排列數(shù)的定義：從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素的所有排列的個數(shù)叫做從個元素中取出元素的排列數(shù)，用符號表示注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個排列”是指：從個不同元素中，任取個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從個不同元素中，任取（）個元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)所以符號只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列4．排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：由的意義：假定有排好順序的2個空位，從個元素中任取2個元素去填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列，反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)．由分步計數(shù)原理完成上述填空共有種填法，∴=由此，求可以按依次填3個空位來考慮，∴=，求以按依次填個空位來考慮，排列數(shù)公式：（）說明：（1）公式特征：第一個因數(shù)是，后面每一個因數(shù)比它前面一個少1，最后一個因數(shù)是，共有個因數(shù)；（2）全排列：當(dāng)時即個不同元素全部取出的一個排列全排列數(shù)：（叫做n的階乘） 另外，我們規(guī)定0!=1.例1．用計算器計算：(1）；(2）;(3）.解：用計算器可得：由（2)(3）我們看到，．那么，這個結(jié)果有沒有一般性呢？即.排列數(shù)的另一個計算公式：=.即=例2．解方程：3．解：由排列數(shù)公式得：，∵，∴，即，解得或，∵，且，∴原方程的解為．例3．解不等式：．解：原不等式即，也就是，化簡得：，解得或，又∵，且，所以，原不等式的解集為．例4．求證：（1）；（2）．證明：（1），∴原式成立（2）右邊∴原式成立說明：（1）解含排列數(shù)的方程和不等式時要注意排列數(shù)中，且這些限制條件，要注意含排列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍；（2）公式常用來求值，特別是均為已知時，公式=，常用來證明或化簡例5．化簡：⑴；⑵⑴解：原式⑵提示：由，得，原式說明：．第二課時例1．(課本例2)．某年全國足球甲級（A組）聯(lián)賽共有14個隊參加，每隊要與其余各隊在主、客場分別比賽一次，共進(jìn)行多少場比賽？解：任意兩隊間進(jìn)行1次主場比賽與1次客場比賽，對應(yīng)于從14個元素中任取2個元素的一個排列．因此，比賽的總場次是=14×13=182.例2．(課本例3)．(1）從5本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？(2）從5種不同的書中買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？解：(1）從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，對應(yīng)于從5個不同元素中任取3個元素的一個排列，因此不同送法的種數(shù)是=5×4×3=60.(2）由于有5種不同的書，送給每個同學(xué)的1本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學(xué)每人各1本書的不同方法種數(shù)是5×5×5=125.例8中兩個問題的區(qū)別在于：(1）是從5本不同的書中選出3本分送3名同學(xué)，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；而（2）中，由于不同的人得到的書可能相同，因此不符合使用排列數(shù)公式的條件，只能用分步乘法計數(shù)原理進(jìn)行計算．例3．(課本例4)．用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析：在本問題的。到9這10個數(shù)字中，因為。不能排在百位上，而其他數(shù)可以排在任意位置上，因此。是一個特殊的元素．一般的，我們可以從特殊元素的排列位置人手來考慮問題解法1：由于在沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，百位上的數(shù)字不能是O，因此可以分兩步完成排列．第1步，排百位上的數(shù)字，可以從1到9這九個數(shù)字中任選1個，有種選法；第2步，排十位和個位上的數(shù)字，可以從余下的9個數(shù)字中任選2個，有種選法（圖1.2一5)．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所求的三位數(shù)有=9×9×8=648（個）.解法2：如圖1.2一6所示，符合條件的三位數(shù)可分成3類．每一位數(shù)字都不是位數(shù)有A母個，個位數(shù)字是O的三位數(shù)有揭個，十位數(shù)字是0的三位數(shù)有揭個．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)有=648個．解法3：從0到9這10個數(shù)字中任取3個數(shù)字的排列數(shù)為，其中O在百位上的排列數(shù)是，它們的差就是用這10個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)，即所求的三位數(shù)的個數(shù)是-=10×9×8-9×8=648.對于例9這類計數(shù)問題，可用適當(dāng)?shù)姆椒▽栴}分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解題方法．解法1根據(jù)百位數(shù)字不能是。的要求，分步完成選3個數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)這件事，依據(jù)的是分步乘法計數(shù)原理；解法2以O(shè)是否出現(xiàn)以及出現(xiàn)的位置為標(biāo)準(zhǔn)，分類完成這件事情，依據(jù)的是分類加法計數(shù)原理；解法3是一種逆向思考方法：先求出從10個不同數(shù)字中選3個不重復(fù)數(shù)字的排列數(shù)，然后從中減去百位是。的排列數(shù)（即不是三位數(shù)的個數(shù)），就得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)．從上述問題的解答過程可以看到，引進(jìn)排列的概念，以及推導(dǎo)求排列數(shù)的公式，可以更加簡便、快捷地求解“從n個不同元素中取出m(m≤n）個元素的所有排列的個數(shù)”這類特殊的計數(shù)問題．1.1節(jié)中的例9是否也是這類計數(shù)問題？你能用排列的知識解決它嗎？四、課堂練習(xí)：1．若，則（）2．與不等的是（）3．若，則的值為（）4．計算：；．5．若，則的解集是．6．（1）已知，那么；（2）已知，那么=；（3）已知，那么；（4）已知，那么．7．一個火車站有8股岔道，停放4列不同的火車，有多少種不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火車）？8．一部紀(jì)錄影片在4個單位輪映，每一單位放映1場，有多少種輪映次序？答案：1.B2.B3.A4.1,15.6.(1)6(2)181440(3)8(4)57.16808.24教學(xué)反思：排列的特征：一個是“取出元素”；二是“按照一定順序排列”,“一定順序”就是與位置有關(guān)，這也是判斷一個問題是不是排列問題的重要標(biāo)志。根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，且僅當(dāng)兩個排列的元素完全相同，而且元素的排列順序也相同.了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法，從中體會“化歸”的數(shù)學(xué)思想，并能運用排列數(shù)公式進(jìn)行計算。對于較復(fù)雜的問題，一般都有兩個方向的列式途徑，一個是“正面湊”，一個是“反過來剔”．前者指，按照要求，一點點選出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，選出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法，從中體會“化歸”的數(shù)學(xué)思想，并能運用排列數(shù)公式進(jìn)行計算。第三課時例1．（1）有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）有5種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？解：（1）從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，對應(yīng)于從5個元素中任取3個元素的一個排列，因此不同送法的種數(shù)是：，所以，共有60種不同的送法（2）由于有5種不同的書，送給每個同學(xué)的1本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學(xué)，每人各1本書的不同方法種數(shù)是：，所以，共有125種不同的送法說明：本題兩小題的區(qū)別在于：第（1）小題是從5本不同的書中選出3本分送給3位同學(xué)，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；而第（2）小題中，給每人的書均可以從5種不同的書中任選1種，各人得到那種書相互之間沒有聯(lián)系，要用分步計數(shù)原理進(jìn)行計算例2．某信號兵用紅、黃、藍(lán)3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？解：分3類：第一類用1面旗表示的信號有種；第二類用2面旗表示的信號有種；第三類用3面旗表示的信號有種，由分類計數(shù)原理，所求的信號種數(shù)是：，例3．將位司機(jī)、位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，每一輛汽車分別有一位司機(jī)和一位售票員，共有多少種不同的分配方案？分析：解決這個問題可以分為兩步，第一步：把位司機(jī)分配到四輛不同班次的公共汽車上，即從個不同元素中取出個元素排成一列，有種方法；第二步：把位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，也有種方法，利用分步計數(shù)原理即得分配方案的種數(shù)解：由分步計數(shù)原理，分配方案共有（種）例4．用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解法1：用分步計數(shù)原理：所求的三位數(shù)的個數(shù)是：解法2：符合條件的三位數(shù)可以分成三類：每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)有個，個位數(shù)字是0的三位數(shù)有個，十位數(shù)字是0的三位數(shù)有個，由分類計數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個數(shù)是：．解法3：從0到9這10個數(shù)字中任取3個數(shù)字的排列數(shù)為，其中以0為排頭的排列數(shù)為，因此符合條件的三位數(shù)的個數(shù)是-．說明：解決排列應(yīng)用題，常用的思考方法有直接法和間接法直接法：通過對問題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸惡头植剑苯佑嬎惴蠗l件的排列數(shù)如解法1，2；間接法：對于有限制條件的排列應(yīng)用題，可先不考慮限制條件，把所有情況的種數(shù)求出來，然后再減去不符合限制條件的情況種數(shù)如解法3．對于有限制條件的排列應(yīng)用題，要恰當(dāng)?shù)卮_定分類與分步的標(biāo)準(zhǔn)，防止重復(fù)與遺漏第四課時例5．（1）7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：7個元素的全排列＝5040．（2）7位同學(xué)站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？解：根據(jù)分步計數(shù)原理：7×6×5×4×3×2×1＝7?。?040．（3）7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：余下的6個元素的全排列——=720．（4）7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解：根據(jù)分步計數(shù)原理：第一步甲、乙站在兩端有種；第二步余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有種，所以，共有=240種排列方法（5）7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法1（直接法）：第二步從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列（全排列）有種方法，所以一共有＝2400種排列方法解法2：（排除法）若甲站在排頭有種方法；若乙站在排尾有種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有種方法，所以，甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有－＋=2400種．說明：例6.從10個不同的文藝節(jié)目中選6個編成一個節(jié)目單，如果某女演員的獨唱節(jié)目一定不能排在第二個節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？解法一：（從特殊位置考慮）；解法二：（從特殊元素考慮）若選：；若不選：，則共有種；解法三：（間接法）第五課時例7．7位同學(xué)站成一排，（1）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？解：先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素與其余的5個元素（同學(xué)）一起進(jìn)行全排列有種方法；再將甲、乙兩個同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有種方法．所以這樣的排法一共有種（2）甲、乙和丙三個同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？解：方法同上，一共有＝720種（3）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？解法一：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的5個元素中選取2個元素放在排頭和排尾，有種方法；將剩下的4個元素進(jìn)行全排列有種方法；最后將甲、乙兩個同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有種方法．所以這樣的排法一共有＝960種方法解法二：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，若丙站在排頭或排尾有2種方法，所以，丙不能站在排頭和排尾的排法有種方法解法三：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的四個位置選擇共有種方法，再將其余的5個元素進(jìn)行全排列共有種方法，最后將甲、乙兩同學(xué)“松綁”，所以，這樣的排法一共有＝960種方法．（4）甲、乙、丙三個同學(xué)必須站在一起，另外四個人也必須站在一起解：將甲、乙、丙三個同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素，另外四個人“捆綁”在一起看成一個元素，時一共有2個元素，∴一共有排法種數(shù)：（種）說明：對于相鄰問題，常用“捆綁法”（先捆后松）．例8．7位同學(xué)站成一排，（1）甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？解法一：（排除法）；解法二：（插空法）先將其余五個同學(xué)排好有種方法，此時他們留下六個位置（就稱為“空”吧），再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個位置（空）有種方法，所以一共有種方法．（2）甲、乙和丙三個同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？解：先將其余四個同學(xué)排好有種方法，此時他們留下五個“空”，再將甲、乙和丙三個同學(xué)分別插入這五個“空”有種方法，所以一共有＝1440種．說明：對于不相鄰問題，常用“插空法”（特殊元素后考慮）．第六課時例9．5男5女排成一排，按下列要求各有多少種排法：（1）男女相間；（2）女生按指定順序排列解：（1）先將男生排好，有種排法；再將5名女生插在男生之間的6個“空擋”（包括兩端）中，有種排法故本題的排法有（種）；（2）方法1：；方法2：設(shè)想有10個位置，先將男生排在其中的任意5個位置上，有種排法；余下的5個位置排女生，因為女生的位置已經(jīng)指定，所以她們只有一種排法故本題的結(jié)論為（種）2007年高考題1．（2007年天津卷）如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有390種（用數(shù)字作答）．2．（2007年江蘇卷）某校開設(shè)9門課程供學(xué)生選修，其中三門由于上課時間相同，至多選一門，學(xué)校規(guī)定每位同學(xué)選修4門，共有75種不同選修方案。（用數(shù)值作答）3．（2007年北京卷）記者要為5名志愿都和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（Ｂ）Ａ．1440種 Ｂ．960種 Ｃ．720種 Ｄ．480種4．圖３是某汽車維修公司的維修點分布圖，公司在年初分配給Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四個維修點的某種配件各５０件，在使用前發(fā)現(xiàn)需將Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四個維修點的這批配件分別調(diào)整為４０、４５、５４、６１件，但調(diào)整只能在相鄰維修點之間進(jìn)行，那么完成上述調(diào)整，最少的調(diào)動件次（ｎ個配件從一個維修點調(diào)整到相鄰維修點的調(diào)動件次為ｎ）為答案：B；（Ａ）１５（Ｂ）１６（Ｃ）１７（Ｄ）１８5．（2007年全國卷I）從班委會5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有種．（用數(shù)字作答）6．（2007年全國卷Ⅱ）從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參加公益活動，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有（B）A．40種 B．60種 C．100種 D．120種7.（2007年陜西卷）安排3名支教老師去6所學(xué)校任教，每校至多2人，則不同的分配方案共有種.（用數(shù)字作答）8．（2007年四川卷）用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且比20000大的五位偶數(shù)共有（）（A）288個（B）240個（C）144個（D）126個解析：選B．對個位是0和個位不是0兩類情形分類計數(shù)；對每一類情形按“個位－最高位－中間三位”分步計數(shù)：①個位是0并且比20000大的五位偶數(shù)有個；②個位不是0并且比20000大的五位偶數(shù)有個；故共有個．本題考查兩個基本原理，是典型的源于教材的題目．9．（2007年重慶卷）某校要求每位學(xué)生從7門課程中選修4門，其中甲乙兩門課程不能都選，則不同的選課方案有____25_____種.（以數(shù)字作答）10．（2007年寧夏卷）某校安排5個班到4個工廠進(jìn)行社會實踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個班，不同的安排方法共有 240 種．（用數(shù)字作答）11．（2007年遼寧卷）將數(shù)字1，2，3，4，5，6拼成一列，記第個數(shù)為，若，，，，則不同的排列方法有種（用數(shù)字作答）．解析：分兩步：（1）先排，=2，有2種；=3有2種；=4有1種，共有5種；（2）再排，共有種，故不同的排列方法種數(shù)為5×6=30，填30．1．2．2組合第一課時一、復(fù)習(xí)引入：1分類加法計數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，……，在第n類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法2.分步乘法計數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，……，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事有種不同的方法3．排列的概念：從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列4．排列數(shù)的定義：從個不同元素中，任取（）個元素的所有排列的個數(shù)叫做從個元素中取出元素的排列數(shù)，用符號表示5．排列數(shù)公式：（）6階乘：表示正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘規(guī)定．7．排列數(shù)的另一個計算公式：=8.提出問題：示例1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項活動，其中1名同學(xué)參加上午的活動，1名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的選法？示例2：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加一項活動，有多少種不同的選法？引導(dǎo)觀察：示例1中不但要求選出2名同學(xué)，而且還要按照一定的順序“排列”，而示例2只要求選出2名同學(xué)，是與順序無關(guān)的引出課題：組合．二、講解新課：1組合的概念：一般地，從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合說明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——無序性；⑶相同組合：元素相同例1．判斷下列問題是組合還是排列（1）在北京、上海、廣州三個民航站之間的直達(dá)航線上，有多少種不同的飛機(jī)票？有多少種不同的飛機(jī)票價？（2）高中部11個班進(jìn)行籃球單循環(huán)比賽，需要進(jìn)行多少場比賽？（3）從全班23人中選出3人分別擔(dān)任班長、副班長、學(xué)習(xí)委員三個職務(wù)，有多少種不同的選法？選出三人參加某項勞動，有多少種不同的選法？（4）10個人互相通信一次，共寫了多少封信？（5）10個人互通電話一次，共多少個電話？問題：（1）1、2、3和3、1、2是相同的組合嗎？（2）什么樣的兩個組合就叫相同的組合2．組合數(shù)的概念：從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)．用符號表示．例2．用計算器計算．解：由計算器可得例3．計算：（1）；（2）；（1）解：＝35；（2）解法1：＝120．解法2：＝120．第二課時3．組合數(shù)公式的推導(dǎo)：（1）從4個不同元素中取出3個元素的組合數(shù)是多少呢？啟發(fā)：由于排列是先組合再排列，而從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)可以求得，故我們可以考察一下和的關(guān)系，如下：組合排列由此可知,每一個組合都對應(yīng)著6個不同的排列，因此，求從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)，可以分如下兩步：①考慮從4個不同元素中取出3個元素的組合，共有個；②對每一個組合的3個不同元素進(jìn)行全排列，各有種方法．由分步計數(shù)原理得：＝，所以，．（2）推廣：一般地，求從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，可以分如下兩步：①先求從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)；②求每一個組合中m個元素全排列數(shù)，根據(jù)分步計數(shù)原理得：＝．（3）組合數(shù)的公式：或規(guī)定:.三、講解范例：例4．求證：．證明：∵＝＝∴例5．設(shè)求的值解：由題意可得：，解得，∵，∴或或，當(dāng)時原式值為7；當(dāng)時原式值為7；當(dāng)時原式值為11．∴所求值為4或7或11．第三課時例6．一位教練的足球隊共有17名初級學(xué)員，他們中以前沒有一人參加過比賽．按照足球比賽規(guī)則，比賽時一個足球隊的上場隊員是11人．問：(l)這位教練從這17名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場方案？(2)如果在選出11名上場隊員時，還要確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？分析：對于（1)，根據(jù)題意，17名學(xué)員沒有角色差異，地位完全一樣，因此這是一個從17個不同元素中選出11個元素的組合問題；對于（2)，守門員的位置是特殊的，其余上場學(xué)員的地位沒有差異，因此這是一個分步完成的組合問題．解：(1）由于上場學(xué)員沒有角色差異，所以可以形成的學(xué)員上場方案有C｝手＝12376（種）.(2）教練員可以分兩步完成這件事情：第1步，從17名學(xué)員中選出n人組成上場小組，共有種選法；第2步，從選出的n人中選出1名守門員，共有種選法．所以教練員做這件事情的方法數(shù)有=136136（種）.例7．（1）平面內(nèi)有10個點，以其中每2個點為端點的線段共有多少條？(2）平面內(nèi)有10個點，以其中每2個點為端點的有向線段共有多少條？解：(1）以平面內(nèi)10個點中每2個點為端點的線段的條數(shù)，就是從10個不同的元素中取出2個元素的組合數(shù)，即線段共有（條）.(2）由于有向線段的兩個端點中一個是起點、另一個是終點，以平面內(nèi)10個點中每2個點為端點的有向線段的條數(shù)，就是從10個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)，即有向線段共有（條）.例8．在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品．從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(1）有多少種不同的抽法？(2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？(3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？解：(1）所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)，所以共有=161700（種）.(2）從2件次品中抽出1件次品的抽法有種，從98件合格品中抽出2件合格品的抽法有種，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有=9506(種).(3）解法1從100件產(chǎn)品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品兩種情況．在第（2）小題中已求得其中1件是次品的抽法有種，因此根據(jù)分類加法計數(shù)原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有+=9604（種）.解法2抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是次品的抽法的種數(shù)，也就是從100件中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件中都是合格品的抽法的種數(shù)，即=161700-152096=9604（種）.說明：“至少”“至多”的問題，通常用分類法或間接法求解。變式：按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？（1）甲、乙、丙三人必須當(dāng)選；（2）甲、乙、丙三人不能當(dāng)選；（3）甲必須當(dāng)選，乙、丙不能當(dāng)選；（4）甲、乙、丙三人只有一人當(dāng)選；（5）甲、乙、丙三人至多2人當(dāng)選；（6）甲、乙、丙三人至少1人當(dāng)選；例9．（1）6本不同的書分給甲、乙、丙3同學(xué)，每人各得2本，有多少種不同的分法？解：．（2）從5個男生和4個女生中選出4名學(xué)生參加一次會議，要求至少有2名男生和1名女生參加，有多少種選法？解：問題可以分成2類：第一類2名男生和2名女生參加，有中選法；第二類3名男生和1名女生參加，有中選法依據(jù)分類計數(shù)原理，共有100種選法錯解：種選法引導(dǎo)學(xué)生用直接法檢驗，可知重復(fù)的很多例10．解法一：（直接法）小組構(gòu)成有三種情形：3男，2男1女，1男2女，分別有，，，所以，一共有++＝100種方法．解法二：（間接法）第四課時組合數(shù)的性質(zhì)1：．一般地，從n個不同元素中取出個元素后，剩下個元素．因為從n個不同元素中取出m個元素的每一個組合，與剩下的nm個元素的每一個組合一一對應(yīng)，所以從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，等于從這n個元素中取出nm個元素的組合數(shù)，即：．在這里，主要體現(xiàn)：“取法”與“剩法”是“一一對應(yīng)”的思想證明：∵又，∴說明：①規(guī)定：；②等式特點：等式兩邊下標(biāo)同，上標(biāo)之和等于下標(biāo)；③此性質(zhì)作用：當(dāng)時，計算可變?yōu)橛嬎?，能夠使運算簡化.例如＝＝=2002；④或．2．組合數(shù)的性質(zhì)2：＝+．一般地，從這n+1個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)是，這些組合可以分為兩類：一類含有元素，一類不含有．含有的組合是從這n個元素中取出m1個元素與組成的，共有個；不含有的組合是從這n個元素中取出m個元素組成的，共有個．根據(jù)分類計數(shù)原理，可以得到組合數(shù)的另一個性質(zhì)．在這里，主要體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想，“含與不含其元素”的分類思想．證明：∴＝+．說明：①公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與大的相同的一個組合數(shù)；②此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡化運算例11．一個口袋內(nèi)裝有大小不同的7個白球和1個黑球，（1）從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？（2）從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？（3）從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？解：（1）,或，；（2）；（3）．例12．（1）計算：；（2）求證：＝++．解：（1）原式；證明：（2）右邊左邊例13．解方程：（1）；（2）解方程：．解：（1）由原方程得或，∴或，又由得且，∴原方程的解為或上述求解過程中的不等式組可以不解,直接把和代入檢驗,這樣運算量小得多.（2）原方程可化為，即，∴，∴，∴，解得或，經(jīng)檢驗：是原方程的解第五課時例14．證明：。證明：原式左端可看成一個班有個同學(xué)，從中選出個同學(xué)組成興趣小組，在選出的個同學(xué)中，個同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組，余下的個同學(xué)參加物理興趣小組的選法數(shù)。原式右端可看成直接在個同學(xué)中選出個同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組，在余下的個同學(xué)中選出個同學(xué)參加物理興趣小組的選法數(shù)。顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立。例15．證明：…（其中）。證明：設(shè)某班有個男同學(xué)、個女同學(xué)，從中選出個同學(xué)組成興趣小組，可分為類：男同學(xué)0個，1個，…，個，則女同學(xué)分別為個，個，…，0個，共有選法數(shù)為…。又由組合定義知選法數(shù)為，故等式成立。例16．證明：…。證明：左邊=…=…，其中可表示先在個元素里選個，再從個元素里選一個的組合數(shù)。設(shè)某班有個同學(xué)，選出若干人（至少1人）組成興趣小組，并指定一人為組長。把這種選法按取到的人數(shù)分類（…），則選法總數(shù)即為原式左邊?，F(xiàn)換一種選法，先選組長，有種選法，再決定剩下的人是否參加，每人都有兩種可能，所以組員的選法有種，所以選法總數(shù)為種。顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立。例17．證明：…。證明：由于可表示先在個元素里選個，再從個元素里選兩個（可重復(fù)）的組合數(shù)，所以原式左端可看成在例3指定一人為組長基礎(chǔ)上，再指定一人為副組長（可兼職）的組合數(shù)。對原式右端我們可分為組長和副組長是否是同一個人兩種情況。若組長和副組長是同一個人，則有種選法；若組長和副組長不是同一個人，則有種選法?！喙灿?種選法。顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立。例18．第17屆世界杯足球賽于2002年夏季在韓國、日本舉辦、五大洲共有32支球隊有幸參加，他們先分成8個小組循環(huán)賽，決出16強(qiáng)（每隊均與本組其他隊賽一場，各組一、二名晉級16強(qiáng)），這支球隊按確定的程序進(jìn)行淘汰賽，最后決出冠亞軍，此外還要決出第三、四名，問這次世界杯總共將進(jìn)行多少場比賽？答案是：，這題如果作為習(xí)題課應(yīng)如何分析解：可分為如下幾類比賽：⑴小組循環(huán)賽：每組有6場，8個小組共有48場；⑵八分之一淘汰賽：8個小組的第一、二名組成16強(qiáng)，根據(jù)抽簽規(guī)則，每兩個隊比賽一場，可以決出8強(qiáng)，共有8場；⑶四分之一淘汰賽：根據(jù)抽簽規(guī)則，8強(qiáng)中每兩個隊比賽一場，可以決出4強(qiáng)，共有4場；⑷半決賽：根據(jù)抽簽規(guī)則，4強(qiáng)中每兩個隊比賽一場，可以決出2強(qiáng)，共有2場；⑸決賽：2強(qiáng)比賽1場確定冠亞軍，4強(qiáng)中的另兩隊比賽1場決出第三、四名共有2場.綜上，共有場四、課堂練習(xí)：1．判斷下列問題哪個是排列問題，哪個是組合問題：（1）從4個風(fēng)景點中選出2個安排游覽，有多少種不同的方法？（2）從4個風(fēng)景點中選出2個，并確定這2個風(fēng)景點的游覽順序，有多少種不同的方法？2．名同學(xué)進(jìn)行乒乓球擂臺賽，決出新的擂主，則共需進(jìn)行的比賽場數(shù)為（）．．．．3．如果把兩條異面直線看作“一對”，則在五棱錐的棱所在的直線中，異面直線有（）．對．對．對．對4．設(shè)全集，集合、是的子集，若有個元素，有個元素，且，求集合、，則本題的解的個數(shù)為（）．．．．5．從位候選人中選出人分別擔(dān)任班長和團(tuán)支部書記，有種不同的選法6．從位同學(xué)中選出人去參加座談會，有種不同的選法7．圓上有10個點：（1）過每2個點畫一條弦，一共可畫條弦；（2）過每3個點畫一個圓內(nèi)接三角形，一共可畫個圓內(nèi)接三角形8．（1）凸五邊形有條對角線；（2）凸五邊形有條對角線9．計算：（1）；（2）．10．個足球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽，（1）共需比賽多少場？（2）若各隊的得分互不相同，則冠、亞軍的可能情況共有多少種？11．空間有10個點，其中任何4點不共面，（1）過每3個點作一個平面，一共可作多少個平面？（2）以每4個點為頂點作一個四面體，一共可作多少個四面體？12．壹圓、貳圓、伍圓、拾圓的人民幣各一張，一共可以組成多少種幣值？13．寫出從這個元素中每次取出個的所有不同的組合答案：1.（1）組合,（2）排列2.B3.A4.D5.306.157.（1）45（2）1208.（1）5（2）9.⑴455；⑵10.⑴10；⑵2011.⑴；⑵12.13.；；；；教學(xué)反思：1注意區(qū)別“恰好”與“至少”從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的手套的不同取法共有多少種2特殊元素（或位置）優(yōu)先安排將5列車停在5條不同的軌道上，其中a列車不停在第一軌道上，b列車不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有種3“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有多少種4、混合問題，先“組”后“排”對某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一進(jìn)行測試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測試時全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測試方法有種可能？5、分清排列、組合、等分的算法區(qū)別(1)今有10件不同獎品,從中選6件分給甲一件,乙二件和丙三件,有多少種分法?(2)今有10件不同獎品,從中選6件分給三人,其中1人一件1人二件1人三件,有多少種分法?(3)今有10件不同獎品,從中選6件分成三份,每份2件,有多少種分法?6、分類組合,隔板處理從6個學(xué)校中選出30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?1．3．1二項式定理第一課時一、復(fù)習(xí)引入：⑴；⑵⑶的各項都是次式，即展開式應(yīng)有下面形式的各項：，，，，，展開式各項的系數(shù)：上面?zhèn)€括號中，每個都不取的情況有種，即種，的系數(shù)是；恰有個取的情況有種，的系數(shù)是，恰有個取的情況有種，的系數(shù)是，恰有個取的情況有種，的系數(shù)是，有都取的情況有種，的系數(shù)是，∴．二、講解新課：二項式定理：⑴的展開式的各項都是次式，即展開式應(yīng)有下面形式的各項：，，…，，…，，⑵展開式各項的系數(shù)：每個都不取的情況有種，即種，的系數(shù)是；恰有個取的情況有種，的系數(shù)是，……，恰有個取的情況有種，的系數(shù)是，……，有都取的情況有種，的系數(shù)是，∴，這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫的二項展開式，⑶它有項，各項的系數(shù)叫二項式系數(shù)，⑷叫二項展開式的通項，用表示，即通項．⑸二項式定理中，設(shè)，則三、講解范例：例1．展開．解一：．解二：．例2．展開．解：

．第二課時例3．求的展開式中的倒數(shù)第項解：的展開式中共項，它的倒數(shù)第項是第項，．例4．求（1），（2）的展開式中的第項．解：（1），（2）．點評：，的展開后結(jié)果相同，但展開式中的第項不相同例5．（1）求的展開式常數(shù)項；（2）求的展開式的中間兩項解：∵，∴（1）當(dāng)時展開式是常數(shù)項，即常數(shù)項為；（2）的展開式共項，它的中間兩項分別是第項、第項，，第三課時例6．（1）求的展開式的第4項的系數(shù)；（2）求的展開式中的系數(shù)及二項式系數(shù)解：的展開式的第四項是，∴的展開式的第四項的系數(shù)是．（2）∵的展開式的通項是，∴，，∴的系數(shù)，的二項式系數(shù)．例7．求的展開式中的系數(shù)分析：要把上式展開，必須先把三項中的某兩項結(jié)合起來，看成一項，才可以用二項式定理展開，然后再用一次二項式定理，，也可以先把三項式分解成兩個二項式的積，再用二項式定理展開解：（法一），顯然，上式中只有第四項中含的項，∴展開式中含的項的系數(shù)是（法二）：∴展開式中含的項的系數(shù)是．例8．已知的展開式中含項的系數(shù)為，求展開式中含項的系數(shù)最小值分析：展開式中含項的系數(shù)是關(guān)于的關(guān)系式，由展開式中含項的系數(shù)為，可得，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的二次函數(shù)求解解：展開式中含的項為∴，即，展開式中含的項的系數(shù)為，∵，∴，∴，∴當(dāng)時，取最小值，但，∴時，即項的系數(shù)最小，最小值為，此時．第四課時例9．已知的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列，（1）證明展開式中沒有常數(shù)項；（2）求展開式中所有的有理項解：由題意：，即，∴舍去）∴①若是常數(shù)項，則，即，∵，這不可能，∴展開式中沒有常數(shù)項；②若是有理項，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)，∴，∴，即展開式中有三項有理項，分別是：，，例10．求的近似值，使誤差小于．解：，展開式中第三項為，小于，以后各項的絕對值更小，可忽略不計，∴，一般地當(dāng)較小時四、課堂練習(xí)：1.求的展開式的第3項.2.求的展開式的第3項.3.寫出的展開式的第r+1項.4.求的展開式的第4項的二項式系數(shù)，并求第4項的系數(shù).5.用二項式定理展開：（1）；（2）.6.化簡：（1）；（2）7．展開式中的第項為，求．8．求展開式的中間項答案：1.2.3.4.展開式的第4項的二項式系數(shù)，第4項的系數(shù)5.（1）；（2）.6.（1）；（2）7.展開式中的第項為8.展開式的中間項為五、小結(jié)：二項式定理的探索思路:觀察——歸納——猜想——證明；二項式定理及通項公式的特點八、教學(xué)反思：(a+b)ｎ=這個公式表示的定理叫做二項式定理，公式右邊的多項式叫做(a+b)ｎ的，其中（r=0,1,2,……,n）叫做，叫做二項展開式的通項，它是展開式的第項，展開式共有個項.掌握二項式定理和二項展開式的通項公式，并能用它們解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題。培養(yǎng)歸納猜想，抽象概括，演繹證明等理性思維能力。教材的探求過程將歸納推理與演繹推理有機(jī)結(jié)合起來，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力的極好載體，教學(xué)過程中，要讓學(xué)生充分體驗到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般性問題的解決方法。二項式定理是指這樣一個展開式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3…等等展開式的一般形式，在初等數(shù)學(xué)中它各章節(jié)的聯(lián)系似乎不太多，而在高等數(shù)學(xué)中它是許多重要公式的共同基礎(chǔ)，根據(jù)二項式定理的展開，才求得y=xn的導(dǎo)數(shù)公式y(tǒng)′=nxn－1，同時=e≈2.718281…也正是由二項式定理的展開規(guī)律所確定，而e在高等數(shù)學(xué)中的地位更是舉足輕重，概率中的正態(tài)分布，復(fù)變函數(shù)中的歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ，微分方程中二階變系數(shù)方程及高階常系數(shù)方程的解由e的指數(shù)形式來表達(dá).且直接由e的定義建立的y=lnx的導(dǎo)數(shù)公式y(tǒng)=與積分公式=dxlnx+c是分析學(xué)中用的最多的公式之一.而由y=xn的各階導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)建立的泰勒公式；f(x)=f(x0)+(x－x0)2+…(x－x0)n+(θ∈(0，1))以及由此建立的冪級數(shù)理論，更是廣泛深入到高等數(shù)學(xué)的各個分支中.怎樣使二項式定理的教學(xué)生動有趣正因為二項式定理在初等數(shù)學(xué)中與其他內(nèi)容聯(lián)系較少，所以教材上教法就顯得呆板，單調(diào)，課本上先給出一個(a+b)4用組合知識來求展開式的系數(shù)的例子.然后推廣到一般形式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，因為證明寫得很長，上課時的板書幾乎占了整個黑板，所以課必然上得累贅，學(xué)生必然感到被動.那么多的算式學(xué)生看都不及細(xì)看，記也感到吃力，又怎能發(fā)揮主體作用？怎樣才能使得在這節(jié)課上學(xué)生獲得主動？采用課前預(yù)習(xí)；自學(xué)輔導(dǎo)；還是學(xué)生討論，或讀，議、講，練，或目標(biāo)教學(xué)，還是設(shè)置發(fā)現(xiàn)情境？看來這些辦法遇到真正困難時都會無能為力，因為這些方法都無法改變算式的冗長，證法的呆板，課堂上的新情境與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的圖式不協(xié)調(diào)的事實.而MM教育方式即數(shù)學(xué)方法論的教育方式卻能根據(jù)習(xí)題理論注意到充分利用數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)技術(shù)把所要證明或計算的形式變換得十分簡潔，心理學(xué)家皮亞杰一再強(qiáng)調(diào)“認(rèn)識起因于主各體之間的相互作用”［1］只有客體的形式與學(xué)生主體認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的圖式取得某種一致的時候，才能完成認(rèn)識的主動建構(gòu)，也就是學(xué)生獲得真正的理解.MM教育方式遵循“興趣與能力的同步發(fā)展規(guī)律”和“教，學(xué)，研互相促進(jìn)的規(guī)律”［2］在教學(xué)中追求簡易，重視直觀，并巧妙地在應(yīng)用抽象使問題變得十分有趣，學(xué)生學(xué)得生動主動，充分發(fā)揮其課堂上的主體作用.1．3．2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)第一課時一、復(fù)習(xí)引入：1．二項式定理及其特例：（1），（2）.2．二項展開式的通項公式：3．求常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項時，要根據(jù)通項公式討論對的限制；求有理項時要注意到指數(shù)及項數(shù)的整數(shù)性二、講解新課：1二項式系數(shù)表（楊輝三角）展開式的二項式系數(shù)，當(dāng)依次取…時，2．二項式系數(shù)的性質(zhì)：展開式的二項式系數(shù)是，，，…，．可以看成以為自變量的函數(shù)定義域是，例當(dāng)時，其圖象是個孤立的點（如圖）（1）對稱性．與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等（∵）．直線是圖象的對稱軸．（2）增減性與最大值．∵，∴相對于的增減情況由決定，，當(dāng)是偶數(shù)時，中間一項取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時，中間兩項，取得最大值．（3）各二項式系數(shù)和：∵，令，則三、講解范例：例1．在的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和證明：在展開式中，令，則，即，∴，即在的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和．說明：由性質(zhì)（3）及例1知.例2．已知，求：（1）；（2）；（3）.解：（1）當(dāng)時，，展開式右邊為∴，當(dāng)時，，∴，（2）令，①令，②①②得：，∴.（3）由展開式知：均為負(fù)，均為正，∴由（2）中①+②得：，∴，∴例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展開式中x3的系數(shù)解：=，∴原式中實為這分子中的，則所求系數(shù)為第二課時例4.在(x2+3x+2)5的展開式中，求x的系數(shù)解：∵∴在(x+1)5展開式中，常數(shù)項為1，含x的項為，在(2+x)5展開式中，常數(shù)項為25=32，含x的項為∴展開式中含x的項為，∴此展開式中x的系數(shù)為240例5.已知的展開式中，第五項與第三項的二項式系數(shù)之比為14；3，求展開式的常數(shù)項解：依題意∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10設(shè)第r+1項為常數(shù)項，又令，此所求常數(shù)項為180例6．設(shè)，當(dāng)時，求的值解：令得：，∴，點評：對于，令即可得各項系數(shù)的和的值；令即，可得奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項和的關(guān)系例7．求證：．證（法一）倒序相加：設(shè)①又∵②∵，∴，由①+②得：，∴，即．（法二）：左邊各組合數(shù)的通項為，∴．例8．在的展開式中,求:①二項式系數(shù)的和;②各項系數(shù)的和;③奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和;④奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和;⑤的奇次項系數(shù)和與的偶次項系數(shù)和.分析:因為二項式系數(shù)特指組合數(shù),故在①,③中只需求組合數(shù)的和,而與二項式中的系數(shù)無關(guān).解：設(shè)(*),各項系數(shù)和即為,奇數(shù)項系數(shù)和為,偶數(shù)項系數(shù)和為,的奇次項系數(shù)和為