漫談投資組合的幾何增值理論講義

從擲硬幣打賭看投資組合問題什么是投資組合？首先我們從擲硬幣打賭談起。假設有一種可以不斷重復的投資或打賭，其收益由擲硬幣確定，硬幣兩面出現(xiàn)的可能性相同；出A面你投一虧一，出B面你投一賺二；假設你開始只有100元，輸了沒法再借?，F(xiàn)在問怎樣重復下注可以使你盡快地由百元戶變?yōu)榘偃f元戶?我們可以象小孩子玩登山棋那樣，幾個人下不同的賭注，然后重復擲硬幣，看誰最先變成百萬富翁。你可能為了盡快地變?yōu)榘偃f富翁而全部押上你的資金?？墒侵灰幸淮文爿斄?，你就變成窮光蛋，并且永遠失去發(fā)財機會。你可能每次下注10元。但是，如果連輸10次，你就完了。再說，如果你已經是萬元戶了，下10元是不是太少了?每次將你的所有資金的10%用來下注，這也許是個不錯的主意。首先，你永遠不會虧完(假設下注的資金可以無限小)；第二，長此以往，贏虧的次數(shù)大致相等時，你總是賺的。假設平均兩次，你輸一次贏一次，則你的資金會變?yōu)樵瓉淼?1+0.2)×(1-0.1)=1.08倍?？墒?，以這樣的速度變?yōu)榘偃f富翁是不是太慢了，太急人了?有沒有更快的方法?有!理論研究表明，每次將你所有資金的25%或0.25倍用來下注，你變?yōu)榘偃f富翁的平均速度將最快。幾個不同下注比例帶來的資金變化如圖1所示(擲幣結果分別是A,B,A,B,...)。實驗表明，張大膽每次投100％，嬴時嬴得多，可虧時虧得慘，一次虧損就永遠被淘汰出局。李糊涂每次下50％，收益大起大落，到頭來白忙。王保守每次下10％，穩(wěn)賺但少賺；“你”每次下25％，長期看結果最好。圖1資金增值隨幾種不同投資比例的變化前面的打賭中，硬幣只有一個。如果同時有兩個、三個或更多，各個硬幣盈虧幅度不同，兩面出現(xiàn)的概率（頻率或可能性）也可能不同；怎樣確定在不同硬幣上的最優(yōu)下注比例？如果不同硬幣出現(xiàn)A面B面是不同程度相關的(比如一個出A面，另一個十有八九相同??正相關，或相反－－反相關)，又如何確定最優(yōu)下注比例？股票、期貨、期權、放貸、房地產、高科技等投資象擲硬幣打賭一樣，收益是不確定的且相互關聯(lián)的。如何確定不同證券或資產上的投資比例，以使資金穩(wěn)定快速增長并控制投資風險，這就是投資組合理論要解決的問題。投資組合也就是英文說的portfolio。當今世界上著名的投資組合理論是美國的馬科維茨(H.Markowitz)理論。筆者則從自己建立的一個廣義信息理論(參見專著《廣義信息論》，中國科技大學出版社，1993)和自己的投資實踐出發(fā)，得到了投資組合的幾何增值理論，或者叫熵(shang)理論（因為其中采用了同物理學和信息論中的熵函數(shù)相似的熵函數(shù)作為優(yōu)化標準），并完成了專著《投資組合的熵理論和信息價值??兼析股票期貨等風險控制》（中國科技大學出版社，1997)?，F(xiàn)在筆者知道美國的H.A.Latane和D.L.Tuttle最早提出了用幾何平均產出比??即1+幾何平均收益或平均復利??作為優(yōu)化證券組合的準則；后來T.E.Cover等人研究了用幾何平均產出比的對數(shù)作為優(yōu)化準則.不同的是，筆者的研究更注重應用。馬科維茨理論及其缺陷1952年，馬科維茨發(fā)表了《有家證券的選擇：有效的轉移》。這篇開創(chuàng)性的論文導致了一個新理論??投資組合理論??的誕生。1990年，瑞典皇家科學院將諾貝爾經濟學獎授予了H.馬科維茨，W.夏普(Shape)和W.米勒(Miller),以表彰它們在投資組合和證券市場理論上的貢獻。馬科維茨用收益的期望E和標準方差?表示一種證券的投資價值和風險。期望收益也就是算術平均收益。收益的標準方差反映了收益的不確定性。比如對于上一節(jié)談到的擲硬幣打賭(虧時虧一倍，嬴時嬴兩倍)，用全部資金下注時，E=P1r1+P2r2=0.5×(-1)+0.5×2=0.5?=[P1(r1-E)2+P2(r2-E)2]0.5=[0.5(-1-0.5)2+0.5(2-0.5)2]0.5=1.5上式中P1=0.5和r1=-1是虧錢的概率和幅度，P2=0.5和r2=2是嬴錢的概率和幅度。根據(jù)馬科維茨理論，期望越大越好，而標準方差越小越好。標準方差反映了收益的不確定性或投資風險。至于兩種證券或兩種組合，一個比另一個期望收益大，標準方差也大，那么選擇哪一個好呢？馬科維茨理論認為這沒有客觀標準。有人不在乎風險而只希望期望收益越大越好，而有人為了小一些的風險而情愿要低一些的期望收益。多馬科維茨證松明了，通過固分散投資互幕不相關或反常相關的證券批，可以在不籠降低期望收校益的情況下牛，減小總的全投資的標準夾方差及(割即風險從).怒比如同時用遙兩個硬幣打秋賭，嬴虧幅膚度同樣，每懇種證券下注構50%手時角,錢收益的可能占性有三種：僅1)末兩邊虧，虧唯100筑％，概率是疾1/4=0于.25;照2)適一虧一嬴，路嬴早50困％論,盞概率是顯1/2=0折.5;盟3)群兩邊嬴，嬴辨200賽％，概率是監(jiān)1/4=0盾.25.狗這時期望收農益封E=0.5摸不變，標準供方差由唉1.5涂減小為降?=[0.輪25(-1朽-0.5)豬2+0.5長(0.5-康0.5)2啊+0.25落(2-0.姻5)]0.襯5=1.托06文如果兩個硬德幣的嬴虧總躍是反相關的旺，比如一個礙出妨A羽面，另一個脊必定出繼B糖面，反之亦渣然；則期望歡收益不變，匪標準方差為蜜0??誰完全無風險鞭。餐馬科維茨理雪論的成就是域巨大的，但罩是其缺陷也鑒是不可忽視久的。缺陷之吃一是：不認瓶為有客觀的委最優(yōu)投資比壯例，或者說鏟并不提供使案資金增值最崇快的投資比攏例獎(竹當然也就不腹能解決前面賄的擲硬幣打臺賭問題弊)榨；外岔缺陷之二是偶：標準偏差米并不能很好帖反應風險。貸下面我們舉犯例說明。榜例：兩種證牧券當前價格務皆是揚1元，證券載I(象是期毛權)未來價妙格可能是0適元和2元，骨概率分別為槽1/4和3沿/4（參看殊圖1，其中灑產出比=產剖出比=本利歡和/本金=斃1+收益)簽。證券II扣(象是可轉閣換債券)的付收益的期望芽和標準方差嘆同樣是0.烘5和0.8扎86，但是載收益的概率銜分布以0.躍5為中心(自產出比以1越.5為中心材，)對稱反翠轉了一下.捷兩者投資價唐值分析如表左1所示(這好里忽略銀行院利息和交易堡手續(xù)費)。撒圖叫1都期望和標準啞方差相同但吹風險不同的派兩個證券鍛表信1俯期望和標準喘方差相同的南兩種證券的與投資價值分促析嫁俱期望昌標準方差蝴下喪100％時獸平均復利短優(yōu)化比例％像優(yōu)化后平均伴復利比例恢證券請I削0．5犁0．886膽－去100％匙50騰15％陸證券國II惰0．5元0．886占32％告100排32％女表中最優(yōu)投置資比例午?100%驟意味著：如鑼果可以貸款彎或透支，投緞更多更好。絕按巷Marko雁witz敞理論，占A脊和眼B浙投資價值相蛛同，而按常說識和投資組勿合的幾何增割值理論，菠B創(chuàng)遠優(yōu)于冷A穩(wěn)。拾網對于存在大談比例虧損可蓬能的投資，島比如期權、深期貨、放貸蹦(條可能收不回分本金室)結、衛(wèi)星發(fā)射非和地震保險坑（風險極大禾而標準方差蓮并不大），休馬科維茨理雅論的缺陷尤閱為明顯。警幾何級數(shù)增明值的魅力毯1988-勞1989他年，日本股奏市從期21564局點上漲了擊80糕％，到達要38921摩點；然后開騙始大跌，席1992襲年筒8住月跌到今14194淚點，跌幅達份63裂％。雖然奇80限％大于關63突％，算術平貼均大于亂0砍，可是總的蠅來說是跌的粉，跌了約捎1/3沉，因為累積比產出比是議(1+0飄.8)(1醋-0.63謀)=0.6墳66梳，累積收益明是忌0.666析-1=-效0.334展＝喪-33.4框％好.買黃炒過股票的臭人都知道，獲如果你總是破將所有的資羨金買入股票正，則先賺伸50%現(xiàn)再虧崗50%賽；墨煙或者先虧后櫻賺，雖然算畢術平均收益說是補0園，可是你的竹資金會變少仁(笨變成鞋0.5爛×奏1.5=0例.75驅倍惜)靠?？梢娝阈g擱平均收益不耗能反映實際慈增值情況。功能反映實際截增值的收益牢是什么呢？漫是幾何平均洪收益。設每餅一元資金投笨資落N象年后變?yōu)轫擬樸元，則累計窩產出比是篩M/1=M敞。敏需累計產出比醬的急N困次開方閱M1/N輸被稱為幾何狂平均產出比拴，罰漿我們記為謀Rg,搜即盜Rg=M1妖/N籮。頁掘投資的平均爺復利又叫幾爬何平均收益腹，我們記為著rg悅，則有買rg=Rg子-1.棒可見幾何平剃均產出比或貨幾何平均收驢益才能反映飼長期投資業(yè)循績。因為差N此年累積產出地比脂M=RgN田=(1+給rg)N.結投資組合的取幾何增值理蠶論處(開或者說熵理粘論紙)律就是用幾何測平均產出比鼠作為優(yōu)化投盆資組合的標片準，根據(jù)這槽一標準，使柜幾何平均收憶益達最大的零投資比例就稍是最好的投塘資比例。肥穩(wěn)定的幾何候增長具有無絡比的魅力。純幾何平均收纖益的微小優(yōu)洞勢，在長期設累計后可能副導致驚人的志成功。下表禿顯示了幾何王平均收益對迷20階年累積產出策比的影響。使表掌1惠幾何平均收趟益對壁20禁年累積產出底比的影響慣郵幾何平均收賤益饞10%

果15%

越20%惰23.8%蔬20貨年產出比粒6.7取16.4齊38.3濤71.5違其中撲23.8%截就是巴費特去管理的伯克律希爾公司龍32瑞年里的幾何瞎平均收益。澇在過去的姑32尾年里，伯克姓希爾公司每支股資產從刻19智美元增長到卡19011晝美元，算術短平均年收益玩大約是求1000/旅32=31涼25本％，可是幾異何平均年收迎益只有諷23.8%釘.獄美國的基金政管理大師彼越得語·倦林奇之所以臺有成功，是傷因為他十年碼里使基金的驕幾何平均收對益達到蔽30拉％。有人做陰過計算說明慌，雖然兩百襯年前美國政塵府從印地安典人手里以極拳便宜的價格姨買了大片土渡地，但是如嚼果印地安人騾把錢存入銀紡行每年得到古現(xiàn)在美國長謀期國債的收瓣益，則利滾劈利后，印地腰安人現(xiàn)在將院極其富有，爹足以買回更不大面積的土懶地。可見穩(wěn)羨定的幾何平角均收益的威據(jù)力。亮有人炒期貨簡看到可能的哭盈利幅度大期于虧損幅度鬼就大量投入溝；有人炒期革貨還要透支應。部渠中國人在期駛貨市場上破睛產的比例極陳大，原因就違是因為許多憑人看不到穩(wěn)鼓定增值的重豬要性。噸許多股民類眠似，他們對寨收益波動極命大的虧損垃暮圾股、莊股細、新股、權下證等倍加追燦捧；而對收壽益較為穩(wěn)定勒的年收益達次20窄％－鐘30孕％的投資（糾比如認購新拖股基)頁不以為然。慧這不能不說寇是中國股市仁不成熟的表嶺現(xiàn)。游筆者特別羨母慕那些有穩(wěn)釀定收入的年趟輕人。只要坑他們有耐心獻，采取穩(wěn)健節(jié)的策略悶(血比如每年認右購新股，如題果認購新股耗效益不變的搜話貪)宇，一、二十仔年后成為百火萬富翁將極向其容易。當轎然，對于包役括筆者在內責的許多人睡??懸既不年輕又穗有生活壓力宅，要成為百困萬富翁，我次們當采取更帆加進取的投劃資策略，即肆選擇多種投嗎資方式，優(yōu)貪化投資組合漲，贏得更高的的幾何平均紀收益。慣擲硬幣打賭沒問題的數(shù)學佩解答甘擲硬幣打賭里問題是：有廳一種可以不押斷重復的投旦資或打賭，塘其收益由擲探硬幣確定，東硬幣兩面出練現(xiàn)的可能性他相同；賄番出尺A盆面你投一虧舅一，出攻B拖面你投一賺后二；假設你勒開始只有憐100侵元，輸了沒堂法再借?，F(xiàn)驟在問怎樣重憐復下注可以雞使你盡快地顏由百元戶變雕為百萬元戶覽?舉棵不知讀者是砍否記得中學拍學過的拋物導線公式喜y=ax2門+bx以＋潑c辦。拋物線可丈以用來描述覺炮彈飛行軌福跡，它有一頓個最高點慘,捏當水平距離別x=-捐b/(明2a北)志時，高度發(fā)y桃達最大。下途面我們說明謠中學數(shù)學知磨識如何能幫賽助我們盡快內成為百萬富哥翁。欣對于上面的蔑擲硬幣打賭餓，幾何平均梁產出比朋Rg糟隨下注比例鼠q考的變化是鷹要使喉Rg華達最大，只閥需使上式右椅邊括號中的傘內容達最大天。根據(jù)中學首數(shù)學知識，悄q=-1并/[2開×落(-2)]爭=1/4=傭0.25=熔25%很時，括號中劉的內容，也疤即幾何平均員收益淘Rg渡達最大。這飾就是說，對改于上面的擲礎硬幣打賭，界25興％是最優(yōu)投悼資比例。怪圖玉1第幾何平均收隔益版rg涌和算術平均俱收益蠻ra薯隨失q松的變化驕對于上面的夢擲硬幣打賭庫，算術平均悟收益保ra育和幾何平均俘收益始rg影隨下注比例泄q恭的變化如圖昆1肥所示。容易鏡看出，算術耕平均收益購rg運和投資比例崇q獻成正比關系絮；而幾何平稻均收益不是塵，難q親太大反而不鄰好，如果劫q>0.5習則從長遠看嬸必然虧損。板上面假設硬成幣的兩面出隆現(xiàn)的可能性科或概率相同別，即掙P1=P2悶=0.5出；嬴虧幅度桂是給定壁呈的（－租1夠和候2)何。蹈必如果硬幣是縱彎的，一面坐出現(xiàn)的可能也性大，另一鄰面出現(xiàn)的可畜能性小位,P1賊和嗓P2途皆不等于在0.5,瞎并且嬴虧幅歡度也是變的舍(讓為濤r1謊小于改0效和孤r2鈴大于第0)欄，宗耕這時幾何平登均收益等于展則這時最優(yōu)儀比例如何求跑法？地沿現(xiàn)在我們用師H損表示資金翻叉一番數(shù)目，舟射如果鈴Rg=2嗎，因神則蓮H=1;榨如果組Rg陪不等于落2鄙呢希?神我們可以用劫log2R逝g即表示翻番數(shù)膀，哨嘆即問H=log勁2Rg=P揚1log(緞1+r1q貧)+P2l側og2(1據(jù)+r2q)特這一公式很妨象通信理論裝中的熵公式享，所以我們保把翻番數(shù)荷H跨叫做增值熵頁。這樣求幾葬何平均收益各最大和求增親值熵最大就樹是一回事。蝕可惜這時不抹能用中學生薄的方法求最夸優(yōu)投資比例舅。這時要用半到大學生學詞到的求極值望的方法測(袍可見數(shù)學還眉是有用的栽)溫。令攤H腎對甜q緒的導數(shù)等于活0夕可以求出最述優(yōu)投資比例定是平q*=?死(P1r1剩+P2r2臣)/(r1底r2).花注意上式分安子括號中正翠好是算術平熱均收益。有羞了這一公式晌，我們就可域以對付收益回更復雜的打喊賭或投資。濤比如重復擲跡骰子打賭，卵可能出現(xiàn)的筐數(shù)字是顏1鑰到鈴6灰；出認1圍，添2持虧一倍，出典3摟，慨4航，蛋5愧，儲6踩嬴一倍。談P1=1/驟3,P2丟=2/3,銀r1=儉?1,r龜2=1魚。于是可以瘦求出最優(yōu)下絨注比例厭q*=1/都3=33.窩3%納。讀者不妨做通過反復擲課硬幣或擲骰故子檢驗上面想結論。肉股票和國債召的投資組合煎優(yōu)化攏上一節(jié)我們尾介紹了擲硬蹦幣打賭下注各比例的優(yōu)化象公式：俱睛q*=?固(P1r1糧+P2r2筍)/(r1麗r2).冷有人會問：封剩下的資金敢不投資不是灘浪費掉了？午回答是：剩重下的資金如袖能產生穩(wěn)定便收益更好，紹即使不能產注生，那也不掛是浪費。就乎象打仗要有胸后備軍一樣客，風險投資壓也要有后備桂軍，它能在慈前次投資虧勿損后發(fā)揮更奴大效用?？舍t(yī)幸的是，目死前深圳上海鎖交易所允許愚股民同時從臥事股票和國脊債買賣，使持得股民可以掘用妖“慎后備軍攔”居購買國債，東同時得到穩(wěn)擇定的國債收外益。更假設只有購臨買二級市場披股票和購買芹國債兩種投驢資方式，股偷票收益近似湯用擲硬幣打約賭收益來模玉擬，即已知攜國債收益率乖r0搞和股票收益床的概率預測將P1,r1通,P2,進r2蜻。如何優(yōu)化沒股票和國債值的投資比例丟？這時資金振的平均翻番猶數(shù)或增值熵檔變?yōu)樨濰=log校2Rg=P庸1log2券(1+r0訪q0+r1唐q)+P2沾log2(觸1+r0q門0+r2q疾)恩其中競q0打＝姥1伐－耽q,暴是投資國債杯的比例。令撫H評對冷q數(shù)的導數(shù)等于語0熟可以求出最怒優(yōu)投資比例類：霉q*=?技(P1d1括+P2d2闖)R0/(瑞d1d2)憂.牛其中堪R0=1+蠻r0,要是投資國債蟻的產出比；燙d1=r1將-r0翻和衛(wèi)d2=r2女?r0垮是超出國債究收益的收益宴。國債收益外也可以說是即市場平均收謝益，我們可肅以說械d1棋和卵d2尸是超常收益棄。因為國債鍵利率反映了彩資金成本，至我們也說上豪式是考慮資午金成本的優(yōu)召化公式。黨例：可選擇稼的投資是股那票和國債，陜投資人每年漸年終調整投綁資比例胸,須股市每年的礦漲跌幅由擲殼硬幣確定，在收益預測殃P1=P2踐=0.5,域r1=拖-0.3,膀r2=0性.8嬌，一年期國謎債收益率是秧r0=0.貌1;趙求股票最優(yōu)捐投資比例扭q師*(孩忽略手續(xù)費眉)謹。簡解津:公已知傘R0=1+鵲r0=1.肝1;d1階=-0.孩3-0.1克=-0.船4,d2民=0.8-呆0.1=0糾.7;濫由上面公式掩可以求出榮q*=0.金59.丸故最優(yōu)的股蓄票和國債投游資比例是弱0.59:失0.41圓。迎圖測1隸三種投資方唉式資金增值披比較檢我們按三種社不同方式重尚復投資，資政金增值情況帝如圖琴1沈所示。其中寫假設有十個艇年頭，每年幕收益預測相井同惡;林按優(yōu)化的投賤資比例投資霉，則投資者精每年年終都模要轉移一下匪資金。如果囑上一輪股票違賺了就減少掠股票倉位，社否則就增倉浪，保持適當龍的持股比例延——誘這是取勝的謙關鍵。由圖秧可見，全投尤股票或全投敏國債的效果短顯然不如優(yōu)鷹化的組合。憤怎樣戰(zhàn)勝小圈神仙暈賭博和投資呼并沒有嚴格偏的分界線。偷首先，兩者木收益都是不葉確定的；其垃次，同樣的蠅投資工具，慈比如期貨，蔬你可以按照融投資的方式夢來做，也可防以按照賭博漂的方式來做澇——飾不做任何分匆析，孤注一究擲；同樣的蛾賭博工具，厚比如賭馬，炊你可以象通納常人們所做勞的那樣去碰厚運氣，也可微以象投資高徐科技產業(yè)那門樣去投資涌——兆基于細致的渡分析按恰當隸的比例下注猛。參但是賭博和累投資也有顯督然不同的地淋方：投資要企求期望收益黨一定大于竭0直，而賭博不足要求演.顯。比如通?；槿藗冑I彩票尖、賭馬、賭怨大小隱…瓶箭的期望收益奇就小于勞0鼠。支撐投資饞的是關于未睜來收益的分獄析和預測，胳而支撐賭博綁的是僥幸獲營勝心理。投嶄資要求回避是風險，而賭社博是找風險越。一種投資甲工具可能使嚇每個投資者蒼獲益，而賭版博工具不可器能。歪投資也是一謝種博弈籠——績對手是僑“遇市場先生那”儉。但是評價均投資和評價膚通常的博弈拐比如下圍棋憐不同。下圍于棋贏一目空鉤和贏一百目牽空是等價的味，而投資賺拿錢是越多越已好。由于評同價標準不同煙，策略也不仙同。瘋對于賭大小揚或賭紅黑那失樣的賭博，毒很多人推薦費這樣一種策孤略：首先下承一元（或分1犁％），如果蝴輸了，賭注替加倍；如果撒贏了，從頭框開始再下一繪元。理由是黨只要有一次貴贏了，你就貨可以扳回前魄面的全部損備失，反過來討成為贏家歇——星贏一元；有次人還認為它蒸是一種不錯懂的期貨投資碑策略。但是竹從幾何增值繳理論看，這量是一種糟透帽了的策略。粘因為這樣做渴雖然勝率很太高，但是贏姥時贏得少，朱輸時輸?shù)枚嗥妗獕m可能傾家蕩扎產，期望收災益為快0杯不變，而風擇險無限大。田不過，這種醫(yī)策略對于下盜圍棋等博弈島倒是很合適賠，因為下圍績棋重要的是傅輸贏，而不養(yǎng)在于輸贏多奴少目。圍棋恢手在實空不德如對手的情疤況下擴大戰(zhàn)塵爭或放出勝陵負手就是采豎用這一策略克。疲電影《生死羞賭門》上面踩有個小神仙搭，特別善于滲心理戰(zhàn)。賭擊博方式是猜樸寶，那里的你寶是兩個分秘別涂有紅黑燦二色的圓塊踏塊。小神仙為在密室里把擱其中之一放澆在寶盒中，現(xiàn)然后讓人拿貓出寶盒供大絨家下注，下情中顏色者贏丘，否則輸。森猜家總是根古據(jù)前面的顏由色預測后面顛的顏色，如烈果出寶者出婆的顏色順序袖和猜家預測燭的不同，猜圖家就會輸。漠有一次小神蘆仙一連出十南幾個黑，令鉛眾多賭徒大尺跌眼鏡。后跳來賭場老板努為鼓勵其他滴賭博高手向峰小神仙挑戰(zhàn)濕，給予優(yōu)惠貓賠率：挑戰(zhàn)紛者輸了一賠遺一，贏了一過賠五。結果秒小神仙還是翅一再贏了。座現(xiàn)實中可能笑有這樣贏錢眾的賭坊嗎？浩我說可能。才假設每賭三半次小神仙贏期兩次，賭徒躬每次拿出自跳己的一半資島金下注，那懶么賭徒的幾抖何平均產出衛(wèi)比是以[0.52瀉×倒3.5]1僚/3<1,往居重復賭下去雁，賭徒必輸米無疑。很多首賭徒沒有足導夠的耐心，逐輸?shù)揭欢ǔ萄ǘ染凸伦⒁幌獢S，那樣虧愈光更快。叔怎樣戰(zhàn)勝小渠神仙呢？首協(xié)先要有恰當歡的比例。根嶺據(jù)熵理論得遷出的比例是戴(鍵嬴虧概率分決別是挑1/3坡和癥2/3懶，幅度是酸-1橋和醫(yī)5):獲q*=?屆(P1r1榮+P2r2煌)/(r1逼r2)賴＝夫?[(2甲/3)牲×塔(-1)+謠(1/3)遼×羽5]/(-約1祥×尤5)=0.難2宋即每次拿出憂你的郊20律％資金下注纖，多次重復聰，必能取勝腿。盾另外，你可徒以通過擲硬披幣確定下哪窯一種顏色，屯由此避免心選理戰(zhàn)。小神陵仙再聰明也摧難猜中擲硬蠻幣結果，那殲樣你的勝率匠當接近罩1/2熟。隔如果你沒有恨太好的運氣羊，賭場老板紡不是一賠五棵，而是一賠麻二，即使你剃通過擲硬幣霜避免心理戰(zhàn)夜的不利，你晉也要注意控妙制下注比例盈（怎25網％最優(yōu)，超斷過地50貫％就會輸錢沸）。復由前面分析東可以看出，詠賭場老板贏搞錢的一個重稱要原因是：策參賭者沒有輔足夠的耐心寶，或賭注下帖限太高，使惜得賭友很容期易輸光自己因的資金，失嘉去扳本的機找會；而賭場灰老板的因“遼戰(zhàn)斗壽命創(chuàng)”亞要長得多，愁因為資金實月力更大，也疊因為面對不秒同的賭友老純板分散了投詠資，因而不芝容易輸光。乎另外，許多唱賭博方式都歲有莊家占先炭的特例，比貧如擲蹈3痕只骰子賭大嫁小，只要莊些家擲出三個砍“脾1棟”爺或三個一樣弊，則不管下尊注者擲出什趕么，莊家通瓦吃，這使得濕莊家的期望洪收益大于沿0獲，而下注者寨的期望收益罷小于膨0擁。從統(tǒng)計的連角度看，賭貨得越久，莊粗家勝率越大庫。蠢有部美國電掌影叫《賭場播風云》，其帝中講道，如耳果游客嬴了臥大錢，老板護就會想方設公法纏住他再蕩賭，使用的隔辦法小到讓煎妓女去挽留痛，大到讓飛割機晚點。沒搞有耐心的贏魚家往往很快小會變?yōu)檩敿依?。泊上面講的還險是比較規(guī)范饑的賭場，有柏的賭場在賭垂具上搞鬼，旱或者使用暴者力挽回損失條，那么賭徒現(xiàn)就更沒有贏旋錢的希望。蜂想通過賭博桑賺錢往往是治“宜出去減羊毛聰，自己的腦劍瓜被剃成瓢餃”辛。但是由于川人的冒險本盜性和總希望托有意外驚喜脊的本性，使技得賭博可以核作為一種娛耀樂。注意，夾賭注小點再披小點，不然通娛樂就會變奮成痛苦。白股民跟莊和敏賭徒企圖戰(zhàn)孝勝小神仙類齊似。如果預建計的盈利幅依度不是遠大昌于虧損幅度慚，則最好避接而遠之；獨筆即使盈利可鄉(xiāng)能性和幅度禍較大，也應韻以恰當?shù)谋葍衫伦?。突從巴費特的慢一筆生意看珠保險公司如催何量力而行豪巴菲特不僅膛是股票投資接大師，還是勿杰出的保險聞經營家。他咳的一個著名況經營策略是絨：在別人紛瘡紛降價銷售帽保險，擴大具市場的時候勞，自己收縮勇保險業(yè)務；匆在別人遭受絨破產風險之相后，自己再遲加大保險業(yè)戶務。正是由誰于這一策略你，巴菲特控爆股的保險公滔司(GEI傭CO)才能告在競爭激烈遍的保險市場鼠上發(fā)展壯大蘆。巴菲特的寬這一策略通賤俗說來就是惱：量力而行援，生存唯上叨。但是巴菲尚特又敢于冒丙別人不敢冒掀的風險。下訂面的例子說去明他特別善強于在風險和犁收益之間作舞適當?shù)臋嗪庥Ｉ曜罱?，巴菲江特又做了一別樁很大的保由險生意。他臂和加州政府可簽訂協(xié)議：巾在1997刊年4月1日柱到2001輕年3月31呆日的四年里夾，加州如發(fā)億生損失達7焦0億美元的借地震災害，敲巴菲特將賠戒償15億。鍬加州為此現(xiàn)態(tài)在付給巴菲皆特5.9億布美元。據(jù)歷敘史統(tǒng)計，加酬州出現(xiàn)超過花70億元的徹地震損失大丸約80年一螞次，即巴菲侮特賠償損失銜的概率是4辯/80=1脖/20=5讓%.升這筆保險生音意看來很合砌算，因為承嘗保人的期望與收益是5.疑9-15×勇5%=5.懂15億。一訴旦賠償，損振失是15－敞5.9=9凱.1億（忽淡略銀行利息命)。但是為僚什么沒有人鄉(xiāng)出低于5.慰9億的價格毫搶走巴菲特擴的生意呢？將可能的原因根是：1)其順他承保人心租有余而力不扁足；2)其悄他承保人擔私心未來4年么發(fā)生大地震誤的概率比過長去大許多；陳3)巴菲特留通過非保費嗚競爭手段贏曾得了這樁生臂意。對于第疤三種因素我熄們姑且不論愧?，F(xiàn)在我們校從幾何增值案理論的角度范考慮前兩個持因素。荷首先，假設春賠償損失的英概率是5％慶，求自有資岸本達多大的暢承保人承保某最好。對于亦本例，P1捕=0.05朵,P2=遵0.95。彩我們可以開設虧損額9用.1億就是凍投資額，則曲r1=-顆1,r2刊=5.15頁/9.1=碎0.57。個利用不考慮避資金成本的弦優(yōu)化比例公驗式，可以求默出最優(yōu)投資問比例：夫q*=-沿(P1r1選+P2r2悅)/(r1親r2)=伸-[0.0樓5×(-1滾)+0.9狠5×0.5料7]/(-搖1×0.5平7)=0.得862戀令q*=投息資額/自有糞資本，可得段：自有資本泛＝投資額/俘q*=9.疫1/0.8臺62＝10蔑.56億。室即：自有資省金為10.勺56億的承嚇保人承保，裂可使自己的螞資金幾何平柳均增值最快儀。辯巴菲特的?；㈦U公司資產艙遠超過10爛.56億，借故承保更安怠全。純現(xiàn)在我們看嚇另一個問題產：假設保險失公司自有資歡產為30億光,問賠償舟概率大到什載么程度，保項險公司才不圓合算。令幾吩何平均收益?；蛟鲋奠氐却队?，即糟H=log壟2Rg=P踐1log(舒1-9.1袍/30)+黎(1-P1玩)log2仙(1+5.到15/30災)=0夾由此方程可罩以解出P1房=0.3。和這就是說，患當虧損概率先達到0.3悔時，如此保儉險才是不合蛋算的(重復御如此保險將急使自己的資概金不斷減少禽)；如果考扁慮管理費用端，這一比例醬應更低一些有。躬從上面分析?？梢钥闯觯犕顺龈偁幍涅o保險公司過萄高地估計了典承保的風險計。袍保險公司如傭何參與火箭飯發(fā)射保險競醫(yī)爭？幾何增蟻值理論同樣繼可以告訴你仿如何量力而巧行。吃例：衛(wèi)星發(fā)囑射有失敗和輝成功兩種可址能，擔保金劫額是2億，穿保費是3千桃萬，失敗和均成功的概率韻分別為0.勝1和0.9牧，問有多少永凈資產的公跨司適于獨家趴承保；凈資滲產為3億的加保險公司應芽分保多大比負例？贈解：P1=壤0.1,衫P2=0.辟9;險公嶄司的投資虧芹損時虧1倍楊,盈利時付賺0.3/親2=0.1催5倍,故蕉r1=-1窩,r2=目0.15.垮利用前面峽公式可以算艘出最優(yōu)投資關比例是q*鞭=0.23撐。設保險公駝司凈資產為談Z,則投駝資比例q=默2/Z。令邀q=q*=薯0.23,泉可得Z=驅Z*=2/自0.23=乖8.7。故裁凈資產大于期或等于8.步7億的保險蜘公司適于獨鴿家保險。僅握有3億凈資母產的公司適智于承保的比妥例是3/8踢.7=0.日34=34仆%。未前面假設保輩險公司在同申一期間只承饅保一樁風險應。如果承保吧多樁風險，微就要用到更宏復雜數(shù)學公田式甚至電腦閱程序,一茅般情況下要餓求承保人有屢更強的實力央。上面的優(yōu)膝化公式仍不丘失參考價值鈴。從目前的思自然災害、姜飛機失事等集保險行情來否看，保費比利率太高了，化使得開保險凍公司遠比開憶賭場合算。送希望上面的章分析有助于烈保險行業(yè)的齡競爭，使買震保險者受益宿。毯醫(yī)療等保險奧和衛(wèi)星發(fā)射借的地震災害霜保險不同,里可能嬴虧爪幅度xi有凳多種，保險阿賠償比率的諒概率分布可我以通過統(tǒng)計街得到。假設獲x0是保本促比率(其確賊定考慮了保創(chuàng)費的投資收買益和管理費河用)。第i準種比率發(fā)生蠶時，保險公么司的產出比共是ri=1駱+q(x0打-xi)/愉x0,其堵中q等于保軍費除以保險吧公司凈資產導。則相應的揚增值熵是噸H=Si罰P(xi)懸log2[蓮1+q(1齡-xi/x必0)]涼（Si表羅示累加)。都對于給定的番賠率xi的婆概率分布和夾保本賠率x爹0,可以乘用電腦求出耀最優(yōu)承保比古例q*。設崇q是保費比格率f的函數(shù)毛(因為f越仿小棗即保險艱越便宜，q持將越大棗即某投保人越多凈),即q卡=q(f)嘩，則通過上遭式可以求出柿最優(yōu)的保費辯比率f*綁。暖在降低保費將比率以便增將加客戶的同密時也會增加郵風險，風險抖大了又要求檢有較低的最撤優(yōu)投資比例弄q*。目前財在中國，許釋多保險公司挨不顧一切地克搶占市場(鼠特別是人壽灌和養(yǎng)老保險使市場)，好俊象保費是沒豎有成本的利延潤，不要白會不要，這是州很危險的。產美國就曾有耳許多保險公俘司因降價出氏售保險而破敲產。巴菲特杜的策略——牙揪他在保險變市場過熱時確情愿失去部潛分市場而不附降價出售保農險，在別人德無力承保時械加大承保量修——值得借秤鑒。濾怎樣根據(jù)盈扯虧的幅度和陶概率定頭寸銳筆者曾聽到侮一位經紀人連說：“我看妨到一個又一軟個來做期貨相的虧完錢離焦開的樣子，巴心里真不是概滋味；好象集我們把人家鑄騙來，搜光俯他們身上的抱錢，再把他哥們趕出去。既”筆者以為漢原因主要在儲于頭寸控制買不好。勺羅恩·邁克板爾森在《世挖界杰出交易晉商的特色》笨(《中國期咳貨》，96笑年2月)一廊文中寫道：找一般來說，悄什么隊能拿辰全國或世界缸杯呢？是防宗守好的?！呓灰状髱熆傉橇粲型寺窊?，以便東山子再起?！幌狄状髱熆偸前幢４尜Y本。漠拉里·海特搭每次交易只蜂拿出1％的愈資本?！锻洞a資者商業(yè)報珍》的比爾·飛奧尼爾說，囑每莊買賣所障耗費的資本即不要超過7薦％，超過7谷％，他就會掠被趕出市場余。埃德·賽傭柯塔說，保題存資本是最急重要的賺錢驅秘密，如果乘不能保存實霜力，就不能社把期貨交易授進行到底。柱很多人認為壘，只投入一辰小部分資金庫，手里留那耍么多現(xiàn)金，悟這不是很浪闊費嗎？從幾胖何增值的角氏度看，即融使其他資金健不投在別處田，那也不是導浪費。因為賴期貨交易就祝象打仗，留賀下的現(xiàn)金就壽是你的后備懲軍，它能在抱你虧損時發(fā)涼揮更大效用壺。犧筆者贊成頭揮寸控制的重葡要性，但是疏不以為7％味或10％是損牢不可破的助界限。頭寸轎控制在多大唱范圍內，應編以盈虧的概惑率預測而定曠。撫有人說，只櫻要盈利的空嫩間（或者說出幅度）是虧勇?lián)p空間的三潮倍，就值得陳投資。但是蠻投多少呢？傅可以百分之趕百投入嗎？義盈虧概率不礦等時又如何確處理?下克面我們先看奸盈虧等概率戀時,優(yōu)化徹比例如何隨銜盈虧幅度變醫(yī)化。返例：對于只云有盈虧可能絞性皆相同的廚投資，一種筑是股票，盈帖虧相對(相各對于保證金妙)幅度是叔-10％和勉30％；另餐一種是期貨奉，盈虧相對積幅度是-司100％和畏300％，搖求優(yōu)化的投范資比例(忽禍略資金成本務和交易手續(xù)三費）。淺解：用最優(yōu)無投資比例公燕式難q*=-指(P1r1壩+P2r2巷)/(r1月r2)獅可以得出結揮論：對于前匪者，可以滿數(shù)倉甚至透支怕投入；而對磚于后者，最控優(yōu)比例是3爹3%。伍這表明，風泥險越大，投魚資比例應越哈小。蕩根據(jù)盈虧概毀率定頭寸可涌以同樣依據(jù)駁上面公式?；I假設兩種可費能的盈虧幅份度是：r1掏=-2,酷r2=3;既當0<P搜1<1時（遷其中P1嫩是虧損概率消)，q*狡=(3-5拋P1)/6敘。圖1顯示季了最優(yōu)下注星比例隨虧損倒概率的變化丘。狡圖1最優(yōu)頌下注比例隨瞧虧損概率的野變化.朗有趣的是：乓q*是P1花的不連續(xù)函糞數(shù),P1英=0時，q園*=1；晃P1=1時緊,q*=圈-1。餅但是p1趨時向于+0時電,q*的限極限值是1她/2;p季1趨向于1氣-0時,撿q*的極限湊值是-1/膽3。這就是烏說，只要P劑1>0,不偵管它有多小裝，你的做多付頭寸占有的籮資金比例都握不能超過1款/2，因為瀉一旦超過，蓄有一次虧損登，你就得破留產；同樣，乳只要P1不野等于1，不叛管它多么接痕近1，你做旬空的頭寸占途有的資金比煌例都不能超泄過1/3，壇因為一旦超便過，有一次聚虧損，你就榜會全軍覆沒是。由此可見砌，對于期貨佳這樣的盈虧柿幅度很大、柄而且不能被賽絕對正確預粥測的交易，贊最優(yōu)投資比組例往往被限慶制在很小的碰范圍內，一網旦超出，就劑可能破產。苦這也說明了搏為什么很多臉人加入期貨望交易不久就標被淘汰出局印。傷雞蛋和籃子翁問題接俗話說，不菊要把雞蛋放洪在一個籃子蹈里。下面我朽們將說明這遺是有數(shù)學道最理的。六前面我們假按設只有一種腐投資(證券甜或項目)，腹如果有兩種喜三種呢?嶄是否有最優(yōu)諒的在各證券榆上的投資比樂例?有!趙現(xiàn)在我們疤假設有兩種剩可選擇期貨你，它們的收灰益由兩個硬幼幣的投擲結貞果確定(出徒A面你投一冬虧一，出B測面你投一賺賭二)。這時索如何確定現(xiàn)擁金比例和各通期貨上的投睜資比例(假指設兩種期貨哀上的投資比突例相同〕，粉使得重復投憑資后累積收掙益最大?悉這時有三種鐮可能的盈虧掩：海1)同時出恒A面，虧損炮是下注資金協(xié)的1倍，概果率是1/4資;膽2)一A一涌B,盈利室是下注資金遷的0.5倍叮，概率是1眾/2;雹3)同時出零A面，盈利脊是下注資金剪的2倍，概脈率也是1/富4。護上面問題和配下面問題是棕等價的：假辯設用兩個足浮夠大的籃子產販運雞蛋，糊運到目的地員可贏利20卵0%(增值穗為原來的昂3倍)，每云個籃子在路僻上被打翻從活而損失10跳0%的概率淋是0.5，鞭兩個籃子是姻否被打翻是梁相互無關的湖，每個籃子膨各裝價值多狠少資金的雞非蛋，可使多里次販運后，危資金平均增得值最快?泛擲硬幣實驗順和理論研究松表明，各投絲總資金的2其3%可使長標期累積增值別最快(參看以表1)。賢表1兩種堅期貨時，不荷同下注比例環(huán)的增值比較詞實驗序號可擲幣結果樓張大膽各下帽50％爪李糊涂各下潛25％

捷你各下23宿％沸王保守各下爆12.5％潔0乖鐮100配100總100卻100傅1預A,B必150尊125販123娘112.5秀2仔A,A厭0榮62.5順66.42風84.38溝3翅B,A館0貧78.13腥81.7勤97.46法4御B,B姨0督156.2城6垃156.8辯6捐155.5控5平B,A做0羅195.3相2綱192.9莊4百174.9歲4示6坑B,B到0徒390.6汪4嶄370.4傲4餅262.4湊1誘7常A,B京0沾488.3蟲455.6描4匠295.2思1并8蛇A,A弱0鍋244.1貨5敘246.0機5糟295.2輝1妄...僑...能0拐244.1仙5死246.0斷5枯221.4祥16伙室0椅596.0埋9謠606.4大1味490.1唱8躬幾何平均收終益交店－100％冷

埋11．8％凝11．9％蒼11．7％留假如有三個蔑、四個籃子費，甚至無窮暈多個籃子呢枝，理論研究杰表明有表2觸和圖1結果昌。陡表2優(yōu)化肌比例和幾何寫平均收益隨狗籃子數(shù)目變寫化攀籃子數(shù)目蚊1蟻2隱3兵4仔N重最優(yōu)投資比屬例%衰1?5戀2?3析3?1.1計4?9.2芹N?00/承N私幾何平均收篇益%橡6.07亡11.91壁17.45演22.58耕50約可見，籃子詳越多，資金怎越分散，資裹金平均增值戲越快.當盆然，實際投別資中，過于朗分散會增加憂信息和操作騎成本，適當欄地將雞蛋分設散放在五、扒六個籃子里冠，投資組木合的效果就駛相當不錯了爬?？釄D1投雪資比例和收禁益隨籃子數(shù)職目變化(N屢)迷有人不喜歡牛分散，認為光集中力量分烏析并投資一惠個品種更好艱。而事實往艇往是：不管捷你付出多少帽精力，你對古某個期貨品顯種的了解和蠅認識永遠有對限；盈利往蝶往在于機會齡，而不在于參能力，就象方當官一樣。疏分散實際上胸就是更充分昂利用機會。魯另一方面，語不恰當?shù)胤智缟⑼顿Y也是詢要不得的。驟是否分散懇要看：1)員產出比是否刻隨投資規(guī)模型增大而減小落，如果增大剪,比如對于負對于存在規(guī)鋪模效益的行辱業(yè)，分散往替往不好；2義)投資的收爽益是否是不劑確定的，如布果確定，則歪無必要分散肆；3)不同駁投