2023學(xué)年完整公開課版圖乘法

16.4圖乘法16.4圖乘法16.4圖乘法在上節(jié)用虛功原理（積分法）計算梁和剛架的位移中，我們通過下列形式的積分計算結(jié)構(gòu)的位移：其中和M分別是虛擬狀態(tài)與實際狀態(tài)的彎矩方程,為函數(shù)形式表達(dá)。對于梁和剛架以及組合結(jié)構(gòu)（中的梁式桿）,當(dāng)荷載比較簡單、變化較少時，用積分法計算十分方便。但是，如果荷載較多,變化復(fù)雜時,桿件就需要分多段求彎矩方程，然后進(jìn)行分段積分計算,此時計算將會十分繁瑣。為了使這種位移計算實現(xiàn)簡化，本節(jié)介紹圖乘法。16.4圖乘法1.圖乘法的條件：應(yīng)用圖乘法的條件是（1）桿件的軸線為直線；（2）桿件的截面不變，EI為常數(shù)；（3）實際狀態(tài)的彎矩M圖和虛擬狀態(tài)的彎矩圖的兩個圖形中至少有一個為直線。對于梁和剛架這兩種結(jié)構(gòu)，通過處理后，每一桿（段），都能夠滿足上述條件。16.4圖乘法2．圖乘法的公式如圖所示，設(shè)AB為結(jié)構(gòu)中滿足圖乘法三個條件的相關(guān)計算式的積分區(qū)間的直桿段，其中實際狀態(tài)的彎矩圖M圖為任意形狀，虛擬狀態(tài)的彎矩圖圖為直線；在AB段，M圖的形心為C，面積為F；圖中對應(yīng)于C點的縱坐標(biāo)為。16.4圖乘法設(shè)坐標(biāo)系如圖，取圖直線與x軸的交點O為坐標(biāo)原點并設(shè)該直線的傾角為，則，這里tan為常數(shù)。由于EI均為常數(shù)，故它們都可以提到積分號前面去。于是16.4圖乘法由于是AB段M圖對y軸的面積靜矩，這里F和xc分別是M圖的面積及其形心C到y(tǒng)軸的距離。于是就有：16.4圖乘法由此得到梁與剛架用圖乘法求位移的計算公式：式中：F為某一桿段在實際狀態(tài)荷載作用下的彎矩M圖的面積，為實際狀態(tài)荷載作用下的彎矩M圖的形心所對應(yīng)的虛擬狀態(tài)的彎矩圖圖的彎矩豎標(biāo)值，EI為桿段的抗彎剛度。16.4圖乘法在積分法中，由于是用兩個狀態(tài)的彎矩表達(dá)式（方程）進(jìn)行計算，所以直接有正負(fù)結(jié)果，而在圖乘法中，出現(xiàn)的是彎矩圖的面積和豎標(biāo)相乘，所以應(yīng)注意圖乘結(jié)果的正負(fù)。當(dāng)實際狀態(tài)荷載作用下的彎矩M圖與虛擬狀態(tài)的彎矩圖圖在基線的同一側(cè)時，圖乘結(jié)果取正，否則取負(fù)?；€一般為桿軸線，或者是區(qū)段疊加法作圖的起始線。當(dāng)某桿段的兩項彎矩圖都是直線圖形時，面積與豎標(biāo)的乘積可以互換，即面積為虛擬狀態(tài)的彎矩圖圖的面積，豎標(biāo)為虛擬狀態(tài)的彎矩圖圖的形心所對的實際狀態(tài)荷載作用下的彎矩M圖的豎標(biāo)。16.4圖乘法3．常用圖形的面積及形心位置直桿彎矩圖常常是由一些簡單的幾何圖形組成的,圖16－16給出了一些常用圖形的面積以及它們的形心的位置,掌握了這些圖形的面積及形心位置,才能真正達(dá)到應(yīng)用式(16－10)簡化積分計算的目的。16.4圖乘法標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線（三種形式）16.4圖乘法了解：標(biāo)準(zhǔn)三次拋物線在上面圖中,所謂拋物線“頂點”指的是拋物線的極值點。頂點處的切線與基線平行。圖中的四條拋物線的頂點均位于區(qū)間的端點或中點,這樣的拋物線與基線圍成的圖形稱為標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形。圖中的拋物線稱為“標(biāo)準(zhǔn)”拋物線正是這個意思。在用圖乘法計算位移時，一定要注意標(biāo)準(zhǔn)圖形與非標(biāo)準(zhǔn)圖形的區(qū)別。16.4圖乘法4．應(yīng)用圖乘法計算梁和剛架的位移用圖乘法計算梁和剛架的位移,一般先要對梁和剛架進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆侄?，使圖乘法的三個條件在每一段上都得到滿足；其次，在分段計算時，如果實際狀態(tài)的彎矩M圖的圖形不是標(biāo)準(zhǔn)圖形，則還要對它應(yīng)用區(qū)段疊加法進(jìn)行處理，使所得到的每一塊圖形都是面積已知和形心位置確定的標(biāo)準(zhǔn)圖形。

16.4圖乘法例如在右圖中，M圖為二次拋物線卻不是標(biāo)準(zhǔn)圖形，可將它分為一個三角形和一個拋物線圖形，這兩個“子圖形”都是標(biāo)準(zhǔn)圖形，其中拋物線圖形以三角形的斜邊為基線，拋物線上對應(yīng)于基線中點處的切線平行于基線，因此它的面積和形心可按圖標(biāo)準(zhǔn)拋物線的情況來計算和確定，即ω=2lh/3，形心C2的水平投影位于桿段的中點。具體的積分計算如下：16.4圖乘法用圖乘法求梁與剛架在荷載作用下的位移的步驟：1.將原荷載作用狀態(tài)作為實際狀態(tài)，針對所求位移補充建立虛擬狀態(tài)（在所求位移點沿所求位移方向作用虛擬單位力），并求出兩個狀態(tài)的支反力；2.分別作出兩個狀態(tài)的彎矩圖；3.代入公式計算。16.4圖乘法例

：如圖所示的簡支梁，承受均布荷載q作用，試求A端截面的轉(zhuǎn)角A與梁中點C的豎向位移Δcy。已知梁的抗彎剛度EI=常數(shù)。解：（1）求A端截面的轉(zhuǎn)角A在A端施加單位力偶作為虛擬狀態(tài)，分別作M圖和圖，如圖所示。16.4圖乘法觀察兩個彎矩圖，完全滿足圖乘法的條件，所以可以直接代公式計算。代入圖乘法公式計算16.4圖乘法（2）求梁中點C的豎向位移Δcy同上，建立虛擬狀態(tài)并作M圖和圖注意到為折線，所以應(yīng)分段計算16.4圖乘法例16-5如圖所示的簡支梁，承受均布荷載q并在B端受集中力偶M作用，試求A端截面的轉(zhuǎn)角A。已知梁的抗彎剛度EI=常數(shù)。解：(1)在A端施加單位力偶作為虛擬狀態(tài)，分別作M圖和圖，如圖所示。注意到該M圖為非標(biāo)準(zhǔn)拋物線，所以必須根據(jù)疊加原理進(jìn)行分解處理16.4圖乘法(2)將M圖分為一個三角形和一個標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形，其中三角形在基線以上，拋物線圖形在基線以下；與它們的形心相應(yīng)的圖中的兩個縱坐標(biāo)都在基線以上。因此三角形與相應(yīng)縱坐標(biāo)的乘積為正，拋物線圖形與相應(yīng)縱坐標(biāo)的乘積為負(fù)。(3)代入圖乘法公式計算所得的結(jié)果為負(fù)，說明A端截面的轉(zhuǎn)角A為順時針轉(zhuǎn)。

16.4圖乘法例16-6試求如圖所示剛架中結(jié)點B的水平位移Bx。解：(1)在結(jié)點B施加單位水平力作為虛擬狀態(tài)，分別作M圖和圖，如圖所示。16.4圖乘法(2)在AB段，將M圖分為一個三角形和一個標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形，這兩個圖形以及與它們的形心相應(yīng)的圖的兩個縱坐標(biāo)都在基線右側(cè)BC段兩個彎矩圖都是直線圖形，可以直接計算。所以16.4圖乘法【討論】在本例如果能夠由支座C處無水平反力判定出AB桿上端的剪力為零，因而彎矩在此處有極值，AB段的M圖本來就是一個標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形，則可以不需要對AB段的M圖進(jìn)行分塊。上述計算可以簡化如下：16.4圖乘法例16-7求如圖所示外伸梁上點C的豎向位移ΔCy。設(shè)梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。解：（1）建立虛擬力狀態(tài)如圖所示。（2）分別作梁在荷載作用下實際狀態(tài)和在虛擬力作用下的虛擬狀態(tài)的彎矩圖，如圖所示。

16.4圖乘法（3）代入公式計算位移。根據(jù)區(qū)段疊加法，將AB段的M圖分解為一個三角形與一個標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形，其中三角形的面積為1，基線