數(shù)學(xué)必修1知識點總結(jié)

數(shù)學(xué)必修1知識點總結(jié)

（一）、映射、函數(shù)、反函數(shù)

1、對應(yīng)、映射、函數(shù)三個概念既有共性又有區(qū)分，映射是一種特別的對應(yīng)，而函數(shù)又是一種特別的映射。

2、對于函數(shù)的概念，應(yīng)留意如下幾點：

（1）把握構(gòu)成函數(shù)的三要素，會推斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)。

（2）把握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變量間的函數(shù)關(guān)系式，特殊是會求分段函數(shù)的解析式。

（3）假如y=f（u），u=g（x），那么y=f叫做f和g的復(fù)合函數(shù)，其中g(shù)（x）為內(nèi)函數(shù)，f（u）為外函數(shù)。

3、求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)的一般步驟：

（1）確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域；

（2）由y=f（x）的解析式求出x=f—1（y）；

（3）將x，y對換，得反函數(shù)的習(xí)慣表達(dá)式y(tǒng)=f—1（x），并注明定義域。

留意①：對于分段函數(shù)的反函數(shù)，先分別求出在各段上的反函數(shù)，然后再合并到一起。

②熟識的應(yīng)用，求f—1（x0）的值，合理利用這個結(jié)論，可以避開求反函數(shù)的過程，從而簡化運算。

（二）、函數(shù)的解析式與定義域

1、函數(shù)及其定義域是不行分割的整體，沒有定義域的函數(shù)是不存在的，因此，要正確地寫出函數(shù)的解析式，必需是在求出變量間的對應(yīng)法則的同時，求出函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域一般有三種類型：

（1）有時一個函數(shù)來自于一個實際問題，這時自變量x有實際意義，求定義域要結(jié)合實際意義考慮；

（2）已知一個函數(shù)的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可。如：

①分式的分母不得為零；

②偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

③對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必需大于零；

④指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必需大于零且不等于1；

⑤三角函數(shù)中的正切函數(shù)y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函數(shù)y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。

應(yīng)留意，一個函數(shù)的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分（即交集）。

（3）已知一個函數(shù)的定義域，求另一個函數(shù)的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可。

已知f（x）的定義域是，求f的定義域是指滿意a≤g（x）≤b的x的取值范圍，而已知f的定義域指的是x∈，此時f（x）的定義域，即g（x）的值域。

2、求函數(shù)的解析式一般有四種狀況。

（1）依據(jù)某實際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時，必需引入合適的變量，依據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)學(xué)問尋求函數(shù)的解析式。

（2）有時題設(shè)給出函數(shù)特征，求函數(shù)的解析式，可采納待定系數(shù)法。比如函數(shù)是一次函數(shù)，可設(shè)f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b為待定系數(shù)，依據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，求出a，b即可。

（3）若題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)f的表達(dá)式時，可用換元法求函數(shù)f（x）的表達(dá)式，這時必需求出g（x）的值域，這相當(dāng)于求函數(shù)的定義域。

（4）若已知f（x）滿意某個等式，這個等式除f（x）是未知量外，還消失其他未知量（如f（—x），等），必需依據(jù)已知等式，再構(gòu)造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f（x）的表達(dá)式。

（三）、函數(shù)的值域與最值

1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采納何種方法求函數(shù)值域都應(yīng)先考慮其定義域，求函數(shù)值域常用方法如下：

（1）直接法：亦稱觀看法，對于結(jié)構(gòu)較為簡潔的函數(shù)，可由函數(shù)的解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì)，直接觀看得出函數(shù)的值域。

（2）換元法：運用代數(shù)式或三角換元將所給的簡單函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡潔函數(shù)再求值域，若函數(shù)解析式中含有根式，當(dāng)根式里一次式時用代數(shù)換元，當(dāng)根式里是二次式時，用三角換元。

（3）反函數(shù)法：利用函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f—1（x）的定義域和值域間的關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域，形如（a≠0）的函數(shù)值域可采納此法求得。

（4）配方法：對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法。

（5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥可以求某些函數(shù)的值域，不過應(yīng)留意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧。

（6）判別式法：把y=f（x）變形為關(guān)于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域。其題型特征是解析式中含有根式或分式。

（7）利用函數(shù)的單調(diào)性求值域：當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上（或某個定義域的子集上）的單調(diào)性，可采納單調(diào)性法求出函數(shù)的值域。

（8）數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數(shù)的值域，即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域。

2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)分和聯(lián)系

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的，事實上，假如在函數(shù)的值域中存在一個最?。ù螅?shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲?。因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異。

如函數(shù)的值域是（0，16]，值是16，無最小值。再如函數(shù)的值域是（—∞，—2]∪[2，+∞），但此函數(shù)無值和最小值，只有在轉(zhuǎn)變函數(shù)定義域后，如x>0時，函數(shù)的最小值為2?？梢姸x域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響。

3、函數(shù)的最值在實際問題中的應(yīng)用

函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)學(xué)問求解實際問題上，從文字表述上經(jīng)常表現(xiàn)為“工程造價最低”，“利潤”或“面積（體積）（最?。钡戎T多現(xiàn)實問題上，求解時要特殊關(guān)注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值。

（四）、函數(shù)的奇偶性

1、函數(shù)的奇偶性的定義：對于函數(shù)f（x），假如對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（—x）=—f（x）（或f（—x）=f（x）），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)（或偶函數(shù)）。

正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，要留意兩點：（1）定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f（x）為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件；（2）f（x）=—f（x）或f（—x）=f（x）是定義域上的恒等式。（奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)）。

2、奇偶函數(shù)的定義是推斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于推斷函數(shù)的奇偶性，有時需要將函數(shù)化簡或應(yīng)用定義的等價形式：

留意如下結(jié)論的運用：

（1）不論f（x）是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，f（|x|）總是偶函數(shù)；

（2）f（x）、g（x）分別是定義域D1、D2上的奇函數(shù)，那么在D1∩D2上，f（x）+g（x）是奇函數(shù)，f（x）·g（x）是偶函數(shù)，類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”；

（3）奇偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù)；

（4）奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。

3、有關(guān)奇偶性的幾共性質(zhì)及結(jié)論

（1）一個函數(shù)為奇函數(shù)的`充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱；一個函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱。

（2）如要函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱且函數(shù)值恒為零，那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。

（3）若奇函數(shù)f（x）在x=0處有意義，則f（0）=0成立。

（4）若f（x）是具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù)，則奇（偶）函數(shù)在正負(fù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同（反）的。

（5）若f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，則F（x）=f（x）+f（—x）是偶函數(shù)，G（x）=f（x）—f（—x）是奇函數(shù)。

（6）奇偶性的推廣

函數(shù)y=f（x）對定義域內(nèi)的任一x都有f（a+x）=f（a—x），則y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱，即y=f（a+x）為偶函數(shù)。函數(shù)y=f（x）對定義域內(nèi)的任—x都有f（a+x）=—f（a—x），則y=f（x）的圖象關(guān)于點（a，0）成中心對稱圖形，即y=f（a+x）為奇函數(shù)。

學(xué)好數(shù)學(xué)的方法

學(xué)好數(shù)學(xué)第一要養(yǎng)成預(yù)習(xí)的習(xí)慣。這是我多年學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個好方法，由于提前把老師要講的學(xué)問先學(xué)一遍，就知道自己哪里不會，學(xué)的時候就有重點。當(dāng)然，假如完全自學(xué)就懂更好了。

其次是書后做練習(xí)題。預(yù)習(xí)完不是目的，有時間可以把例題和課后練習(xí)題做了，檢查預(yù)習(xí)狀況，假如都會做說明學(xué)會了，即使不會還能再聽老師講一遍。

第三個步驟是做老師布置的作業(yè)，仔細(xì)做。做的時候可以把解題過程直接寫在題目旁邊，比如選擇題和填空題，由于解答題有許多空白處可寫。這樣做的好處就是，老師講題時能跟上思路，不簡單走神。

第四個學(xué)好數(shù)學(xué)的方法是整理錯題。每次考試結(jié)束后，總會有許多錯題，對于這些題目，我們不要以為上課聽懂了就會做了，看花簡單繡花難，親自做過了才知道會不會。而且要把錯的題目對比書本去看，重新學(xué)習(xí)學(xué)問。

第五個提高數(shù)學(xué)成果的方法是查缺補(bǔ)漏。在做了大量習(xí)題以后，數(shù)學(xué)成果有所提高，但還是存在一些不會做的題目，我們要擅長發(fā)覺哪些類型的題目還存在盲區(qū)，然后逐一擊破。

下一個方法是提高數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)段?？赡軘?shù)學(xué)學(xué)了一段時間，成果老是上不去，這是要總結(jié)差在哪里？基礎(chǔ)題還是拔高題，然后對自己提出高要求，基礎(chǔ)題目爭取不丟分，然后做一些有難度的題目。

第七個數(shù)學(xué)提分方法是把握一些數(shù)學(xué)解題思路。數(shù)學(xué)許多題目都是有固定的或者是多種解題思想的，大家要擅長發(fā)覺和總結(jié)，比如歸納法、分類爭論法等等。

第八個學(xué)好數(shù)學(xué)的方法是“鉆”。當(dāng)遇到難題百思不得其解時，學(xué)霸們的做法通常是思索一兩天，而學(xué)酥的做法則是一掃而過，其中的差別已經(jīng)很明顯了，這也是成果差異的緣由所在。

要想提高數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)，最明智的做法是，考試遇到不會的題目先放過去，做完其他題目再回過頭來重新做難題。但不能連著放過去好幾道題目，那就有問題了。

最終一個提分方法就是合理支配答題時間，規(guī)定做選擇題和大題各多長時間，然后根據(jù)既定時間去做，這樣才能最有效的提高數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)。

數(shù)學(xué)集合學(xué)問點

1、集合的含義

2、集合的中元素的三個特性：

（1）元素的確定性如：世界上最高的山

（2）元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H，A，P，Y}

（3）元素的無序性：如：{a，b，c}和{a，c，b}是表示同一個集合

3、集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員}，B={1，2，3，4，5}

（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。

留意：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

正整數(shù)集N_或N+整數(shù)集Z有理數(shù)