中科大《線性代數(shù)與解析幾何》講義5線性變換

1第五章線性變換?5.1線性變換的概念?5.1.1線性變換的定義定義5.1.1.設(shè)U,V為數(shù)域F上的兩個線性空間,映射愛:U二V稱為線性映射,如愛(x+y)=愛(x)+愛(y)(5.1)愛(λx)=λ愛(x)(5.2)則稱愛為從線性空間U到線性空間V的線性映射.特別地,如果U=V,則稱愛為線性空間V上的一個線性變換.?5.1.2線性變換的例子例5.1.1.把每個向量映為自身的變換侈:侈(x)=x,x∈V;以及把每個向量映為V不難看出這兩個變換為線性變換.侈稱為單位變換或恒等變換,份稱為零變換.例5.1.2.設(shè)Fn為數(shù)域F中的n元數(shù)組空間,A=(aij)nxn為n階方陣.變換愛:Fn二Fn定義為:對每個x=(x1,x2,...,xn)\∈Fn(這里我們用列向量表示Fn中的向量),╱a11a12...a1n、╱x1、愛(x)=x.2由矩陣的乘法法則知變換愛為線性變換.映射或變換是一個幾何概念,我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常碰到的鏡面反射、旋轉(zhuǎn)等都是線性變換.例5.1.3.本例中,我們用列向量表示R2的向量.變換愛:R2二R2將每個向量α映到α關(guān)于X軸對稱的向量(見圖1).設(shè)α=ì、,則愛(α)=ìx_y、.用矩陣表示就是愛(α)=愛)ì、/=、ì、由例5.1.2知愛為線性變換,稱為關(guān)于X軸的鏡面反射.2第五章線性變換設(shè)變換愛:R2二R2是將每個向量α逆時針旋轉(zhuǎn)9角的變換.設(shè)α=ì、,愛(α)=ì、.我們利用復數(shù)來計算,.設(shè)向量α對應的復數(shù)為reio.則愛(α)對應的復數(shù)為rei(o+9).因此=rcos(o+9)=rcosocos9_rsinosin9=xcos9_ysin9=rsin(o+9)=rcososin9+rsinocos9=xsin9+ycos9用矩陣表示就是愛(α)=愛)ì、/=、ì、·由例5.1.2知愛為線性變換,稱為旋轉(zhuǎn)變換.下面介紹我們熟悉的空間中的一些線性變換.例5.1.4.在Pn[x]中,設(shè)愛為微分算子愛(p(x))=p(x)·由微分法知愛為線性變換.例5.1.5.在由2階方陣構(gòu)成的線性空間中,對取定的方陣M=ì、,定義變換愛ì、=ì、ì、由矩陣的乘法法則不難看出愛為線性變換.?5.1.3線性變換的性質(zhì)下面的命題給出了線性變換的一些簡單性質(zhì).命題5.1.1.設(shè)愛:V二V為線性變換,則(1)愛(9)=9;愛(_a)=_愛(a),a∈V(2)若α1,α2,...,αm為V中線性相關(guān)的向量,則愛(α1),愛(α2),...,愛(αm)也線性相關(guān).?5.2線性變換的矩陣3證明:(1)愛(9)=愛(0.a)=0.愛(a)=9;愛(_a)=愛((_1)a)=(_1)愛(a)=_愛(a).λ1α1+λ2α2+...+λmαm=9·兩邊用線性變換愛作用后,得到λ1愛(α1)+λ2愛(α2)+...+λm愛(αm)=愛(λ1α1+λ2α2+...+λmαm)=愛(9)=9m.□這個命題說明線性相關(guān)的向量組經(jīng)過線性變換后,仍保持線性相關(guān)性.特別地將它應用到R3空間就意味著線性變換把共線的向量映為共線的向量,把共面的向量映為共面的向量.但是它的逆命題不成立.線性無關(guān)的向量經(jīng)過線性變換后,可以成為線性相關(guān)的.例如零變換.?5.2線性變換的矩陣我們將數(shù)域F上n維線性空間V的全體線性變換所構(gòu)成的集合記為L(V),將數(shù)域F上的全體n階方陣所構(gòu)成的集合記為Mn(F).本節(jié)我們將說明在給定的一組基下,集合L(V)與集合Mn(F)之間存在一一對應.?5.2.1線性變換在一組基下的矩陣定義5.2.1.設(shè)愛:V二V為n維線性空間V上的線性變換,(α1,α2,...,αn)為V的一組基.如果數(shù)域F上的方陣A滿足則稱方陣A為線性變換愛在基(α1,α2,...,αn)下的矩陣.注1.由定義知矩陣A的第j列恰為愛(αj)在基(α1,α2,...,αn)下的坐標,因此一個線性變換在給定的一組基下的矩陣是唯一的.VV...,αn)下的矩陣為A.x,y∈V且y=Y=AX(5.4)證明:設(shè)X=,Y=·則xnyn(xnyn4第五章線性變換xn=愛(x1α1+...+xnαn)=x1愛(α1)+.xn=愛(x1α1+...+xnαn)=x1愛(α1)+...+xn愛(αn)╱x1、nxnxn╱x1、(α1,...,αn)A、xnxn由于一個向量在一組基下的坐標是唯一的,我們得到(5.4)式.(5.5)(5.6)□下面我們來看如何計算線性變換愛在一組基下的矩陣A.例5.2.1.設(shè)例5.1.2中線性變換愛在自然基e1,e2,...,en下的矩陣為.由愛的定義知╱a11a12...a1n、╱1、╱a11、愛(e1)=0..=a2..1因此的第一列與A的第一列相同.同理,的第j(2<j<n)列與A的第j列相同.所以=A,即愛在自然基e1,e2,...,en下的矩陣為A.作為推論,例5.1.2中的變換愛在自然基下的矩陣為A,例5.1.3中對稱變換和旋轉(zhuǎn)變換在自然基下的矩陣分別是、,、·例5.2.2.在例5.1.5中,取基e1=ì、,e2=ì、,e3=ì、,e4=ì、·B8．?5.2線性變換的矩陣5則愛(e1)=ì愛(e2)=ì愛(e3)=ì愛(e4)=ì、ì80B、80、ì80B、80、=ì、=ì0B0B08、=ì、=αe1+0e2+ye3+0e4、=0e1+αe2+0e3+ye4Bee2+8e3+0e4、=0e1+Be2+0e3+8e4╱αA=A=0α0yB080上例中的變換愛雖然是由通過左乘矩陣M得到,但愛在自然基下的矩陣AM,它們的階數(shù)甚至都不相同.讀者應注意它與例5.1.2的區(qū)別.?5.2.2L(V)與Mn(F)的一一對應下面的定理指出了L(V)與Mn(F)之間的一一對應關(guān)系.定理5.2.2.設(shè)V為數(shù)域F上的n維線性空間,α1,α2,...,αn為V的一組基.則存在一一映射o:L(V)二Mn(F),使得對每個愛∈L(V),o(愛)為愛在基α1,α2,...,αn下的矩陣.?5.2.3線性變換的運算雖然我們發(fā)現(xiàn)了一一對應o,但它僅僅是兩個集合間的一種對應關(guān)系,它是否能保持更多的數(shù)學結(jié)構(gòu)呢?例如Mn(F)在矩陣的加法和數(shù)乘下構(gòu)成數(shù)域F上的一個線性空間,在L(V)中能否引入適當?shù)倪\算,使之成為線性空間,并使o成為線性同構(gòu)呢?答案是肯定的.設(shè)愛,s∈L(V),λ∈F,定義愛+s,λ愛,s。愛∈L(V)如下:對每個x∈V,(愛+s)(x)=愛(x)+s(x)(λ愛)(x)=λ愛(x)(s。愛)(x)=s╱愛(x)、不難看出L(V)在上述加法和數(shù)乘運算下構(gòu)成線性空間.6第五章線性變換定理5.2.3.設(shè)o:L(V)二Mn(F)為定理5.2.2中定義的映射.則對愛,s∈L(V),λ∈F,有(1)o(愛+s)=o(愛)+o(s),(2)o(λ愛)=λo(愛),(3)o(s。愛)=o(s).o(愛)·特別地,(1),(2)表明o為線性同構(gòu).證明:□?5.3矩陣的相似線性變換的矩陣是以空間的一組取定的基為前提的.一般來說同一線性變換在不同基下的矩陣是不一樣的.現(xiàn)在我們來尋找同一線性變換在不同基下的矩陣之間的關(guān)系.定理5.3.1.設(shè)線性變換愛在V的兩組基α1,α2,...,αn和B1,B2,...,Bn下的矩陣分ABn基B1,B2,...,Bn的過渡矩陣為T,則B=T_1AT證明:已知愛(α1,α2,...,αn)=(α1,α2,...,αn)A于是=(α1,α2,...,αn)(AT)=(B1,B2,...,Bn)(T_1AT)□定義5.3.1.設(shè)A,B為數(shù)域F上的兩個n階方陣,如果存在數(shù)域F上的n階可逆方陣T,使得B=T_1AT,則稱A與B(在數(shù)域F上)相似,記為A~B.7?5.4特征值和特征向量7命題5.3.2.矩陣的相似關(guān)系為等價關(guān)系,即滿足以下三個條件:(1)(反身性)A~A;(2)(對稱性)若A~B,則B~A;(3)(傳遞性)若A~B,B~C,則A~C.證明:(1)因為A=I_1AI,所以A~A.(2)設(shè)A~B,則存在可逆方陣T,使得B=T_1AT,所以A=(T_1)_1BT_1,即B~A.A(3)設(shè)A~B,B~C,則存在可逆方陣T,S,使得B=T_1AT,C=S_1BS,所以C=S_1(T_1AT)S=(TS)_1A(TS),即A~C.□由于相似關(guān)系為等價關(guān)系,可以將n階方陣按相似關(guān)系進行分類:將相互之間相似的方陣歸成一類.兩個類要么是一樣的,要么就不相交.每個類稱之為一個相似類,該類中的每個元素都稱為一個代表元.定理5.3.1指出:一個線性變換在不同基下的矩陣是相似的.那么反過來,屬于某一相似類的所有方陣,是否都是該線性變換在不同基下對應的矩陣呢?回答是肯定的.事實上,設(shè)A為線性變換愛:V二V在基α1,α2,...,αn下的矩陣.若B為A所在的相似類中的任一元素,則B與A相似,即存在可逆方陣T,使得B=T_1AT.令BB..,Bn也是V的一組基,且不難驗證愛在這組基下的矩陣為B.一般說來,一個線性變換的性質(zhì)與空間的基沒有關(guān)系.因此,通過矩陣研究線性變換的性質(zhì)時,只有相似的矩陣都具有的性質(zhì),才有可能反映線性變換的性質(zhì).如果一個性質(zhì)為某個方陣所具有,則與之相似的方陣也具有該性質(zhì),則稱該性質(zhì)為一個相似不變量.例如,方陣的行列式和秩都是相似不變量.讀者可以思考這兩個不變量反映的是線性變換的哪些性質(zhì).在下一節(jié)中我們要介紹更多的相似不變量.?5.4特征值和特征向量?5.4.1特征值與特征向量的定義定義5.4.1.設(shè)A為數(shù)域F上的n階方陣,如果存在λ∈F及非零向量X∈Fn,使得AX=λX,則稱λ為方陣A的一個特征值,而稱X為屬于特征值λ的一個特征向量.命題5.4.1.設(shè)A為數(shù)域F上的n階方陣,則8第五章線性變換(1)λ∈F為A的特征值當且僅當齊次方程組(λI_A)X=0有非零解.(2)屬于A的不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的.證明:(1)是顯然的,下面證明(2).設(shè)λ1,λ2,...,λk為A的互不相同的特征值,X1,X2,...,Xk為相應于它們的特征向量.用數(shù)學歸納法證明.當k=1時,X19,它是線性無關(guān)的.假設(shè)k_1時命題成立,下面證明對k命題成立.假設(shè)u1X1+u2X2+...+ukXk=9用λk乘(5.7)式兩端,得u1λkX1+u2λkX2+...+ukλkXk=9用A左乘(5.7)式,得u1λ1X1+u2λ2X2+...+ukλkXk=9(5.8)式減(5.9)式,得(5.7)(5.8)(5.9)u1(λk_λ1)X1+...+uk_1(λk_λk_1)Xk_1=9·由歸納假設(shè)知,uj(λk_λj)=9,j=1,2,...,k_1,由于λk_λj0,我們得到u1,u2,...,uk_1=0.再由(5.7)知ukXk=9.因為Xk9,所以uk=0.這就證明了X1,X2,...,Xk線性無關(guān).□?5.4.2特征值與特征向量的算法設(shè)λ為方陣A的一個特征值,由上述命題知,(λI_A)X=0的解空間為Fn的非平凡的線性子空間,我們稱之為矩陣A的屬于特征值λ的特征子空間,記作Vλ.Vλ恰好由屬于λ的所有特征向量和零向量組成.因此,屬于λ的兩個特征向量的和以及屬于λ的特征向量的倍數(shù)仍然是屬于λ的特征向量.λ為A的特征值午÷(λI_A)X=0有非零解午÷det(λI_A)=0對于給定的n階方陣A,det(λI_A)是以λ為變量的n次多項式.定義5.4.2.設(shè)A是數(shù)域F上的n階方陣,λ∈F,稱det(λI_A)為矩陣A的特征多項式,記為pA(λ).?5.4特征值和特征向量9由上面的分析,λ為矩陣A的特征值當且僅當λ為A的特征多項式的根.但是,數(shù)域F上的多項式在數(shù)域F中并不一定有根,例如F=R時.為了確保特征值的存在性,在本章剩下的各節(jié)中,除非特別申明,我們總假設(shè)F=C.由代數(shù)基本定理知,一個n次復系數(shù)多項式恰有n個根,因此每個復數(shù)域C上的n階方陣中恰有n個特征值.復數(shù)域C上的方陣A的特征值和特征向量的算法如下:(1)計算特征多項式pA(λ)=det(λI_A).設(shè)pA(λ)=(λ_λ1)n1(λ_λ2)n2...(λ_λs)ns,(2)對每個特征值λi,求解方程組(λiI_A)X=0·設(shè)Xi1,Xi2,...,Ximi為它的一個基礎(chǔ)解系,則所有的非零線性組合c1Xi1+c2Xi2+...+cmiXimi為A的屬于λi的所有特征向量.例5.4.1.求矩陣╱3_1_2、A=20_2(2_1_1．全部特征值和特征向量.解:A的特征多項式為λ_3λpApA(λ)=lλI_Al=_21λ_22λ1由pA(λ)=λ(λ_1)2=0,得到A的全部特征值為λ1=0,λ2=λ3=1.下面求各個特征值對應的特征向量.對于λ=0,解方程組(0I_A)X=0,即解_202x2=0·(_211．(x3．(0．解得特征值0對應的特征向量為c11(c10)(1．10第五章線性變換對于λ2=λ3=1,解方程組(I_A)X=0,即解_112x2=0·(_212．(x3．(0．解得特征值1對應的特征向量為c22+c3_2(c2,c3不同時為零)(0．(1．下面討論特征多項式的基本性質(zhì).命題5.4.2.相似的矩陣具有相同的特征多項式和特征值.證明:設(shè)B=T_1AT,其中T為可逆方陣.則lλI_Bl=lλI_T_1ATl=lT_1(λI_A)Tl=lλI_Al因此A和B有相同的特征多項式,從而有相同的特征值.□設(shè)A=(aij)為C上的一個n階方陣,則pA(λ)=│a2n_a12λ_a22..._an2......_a1n_a2n...λ_ann=λn+o1λn_1+...+on_1λ+onn不難看出在上式中,o1=Eaii,on=(_1)nlAl.i=1i另一方面,假設(shè)A的n個特征值為λ1,λ2,...,λn,則pA(λ)=(λ_λ1)(λ_λ2)...(λ_λn)·對比上面兩式,我們得到下面的命題.命題5.4.3.設(shè)A=(aij)為C上的一個n階方陣,λ1,λ2,...,λn為A的n個特征值.則nn(1)Eaii=Eλi,i=1i=1?5.5(2)det(A)=λ1λ2...λn·推論5.4.1.n階方陣可逆當且僅當它的n個特征值都不為零nn階方陣A=(aij)的主對角線上元素之和Eaii通常稱為A的跡,記為tr(A).命i=1題5.4.2和5.4.3表明矩陣的特征多項式,特征值,行列式,跡等都是相似不變量.例5.4.2.設(shè)n階方陣A的n個特征值分別為λ1,λ2,...,λn,求I+A的特征值及l(fā)I+Al.n解:對λ∈C,lλI_Al=Ⅱ(λ_λi)·因此i=1ilλI_(I+A)l=l(λ_1)I_Aln=Ⅱ(λ_1_λi)ni=1n1+λi)、i=1in因此I+A的n個特征值為1+λ1,1+λ2,...,1+λn,從而lI+Al=Ⅱ(1+λi).i=1i?5.5矩陣的相似對角化本節(jié)我們討論矩陣在相似下的標準性問題.我們希望在每個相似等價類中尋找一個最簡單的代表元.對角陣可能是最容易想到的候選代表,但是下面的例子說明這是辦不到的,并不是每個矩陣都能相似于對角陣.╱210、例5.5.1.證明3階方陣A=021不能相似于對角陣.(002．證明:假設(shè)A能夠相似于對角陣B.由于A的三個特征值都是2,而特征值是相似不變量,因此B的三個特征值也都是2,所以B=2I3.由A相似于B知,存在3階可逆方陣T,使得A=T_1BT=T_1(2I3)T=2I3(T_1T)=2I3·這顯然是矛盾的.因此A不可能相似于對角陣.?5.5.1相似于對角陣的一個充要條件下面給出矩陣相似與對角陣的充分與必要條件.定理5.5.1.數(shù)域F上的n階方陣A相似于對角陣的充分必要條件是:A有n個線性無關(guān)的特征向量.證明:必要性:設(shè)存在可逆方陣T,使得12第五章線性變換兩邊左乘T,得記T=(X1,X2,...,Xn),其中Xi(i=1,2,...,n)為Fn中的列向量.則由矩陣的分塊運算得(AX1,AX2,...,AXn)=A(X1,X2,...,Xn)╱λ1、=(X1,X2,...,Xn)λ2(λn．因此AXi=λiXi(i=1,2,...,n).所以X1,X2,...,Xn為A的n個特征向量.由于這n個向量構(gòu)成的矩陣T是可逆的,它們是線性無關(guān)的.XXnn令T=(X1,X2,...,Xn),則有AT=A(X1,X2,...,Xn)╱λ1、=(X1,X2,...,Xn)λ2...(λn．□注2.若矩陣A相似于對角陣,則該對角陣的n個主對角線元素恰為A的n個特征值.因此如果不計主對角線上元素的先后次序,該對角陣是唯一的.推論5.5.1.如果矩陣A的n個特征值兩兩不同,則A相似于對角陣.證明:由命題5.4.1知,不同的特征值對應的特征向量是線性無關(guān)的.因此,由上面的定理知推論成立.□?5.5.2特征值的代數(shù)重數(shù)與幾何重數(shù)雖然定理5.5.1給出矩陣可對角化的一個充要條件,但是對于給定的方陣,要驗證定理的條件卻非易事.下面我們將給出一個更加容易驗證的充要條件.為此需要幾個定義.?5.5給定復數(shù)域C上的n階方陣A,設(shè)A的特征多項式為pA(λ)=(λ_λ1)n1(λ_λ2)n2...(λ_λs)ns·稱ni為特征值λi的代數(shù)重數(shù).特征值λi對應的特征子空間Vλi,即方程組(λiI_A)X=0的解空間的維數(shù)稱為特征值λi的幾何重數(shù),記為mi.定理5.5.1告訴我們一個矩陣要相似于對角陣,必須有足夠多的線性無關(guān)的特征向量組.命題5.4.1指出不同特征值對應的特征向量是線性無關(guān)的,而對每個特征值λi,屬于λi的線性無關(guān)的特征向量有mi個(參照mi的定義).如果將這些向量放在一起仍然是線性無關(guān)的,那就得到一個個數(shù)更多的全部由特征向量構(gòu)成的線性無關(guān)的向量組.下面的引理告訴我們這樣做是可行的.引理5.5.1.設(shè)λ1,λ2,...,λs是矩陣A的s個不同的特征值.Xi1,Xi2,...,Ximi是A的屬證明:證明方法是命題5.4.1的證明方法的推廣.□下面的引理指出了代數(shù)重數(shù)與幾何重數(shù)的關(guān)系.引理5.5.2.設(shè)λi為n階復方陣A的特征值,則它的幾何重數(shù)不超過它的代數(shù)重數(shù),即mi<證明:屬于特征值λi的特征子空間Vli的維數(shù)為mi.取它的一組基α1,α2,...,αmi,將驗證).令則=T、因此矩陣A相似于矩陣ìλimi們有1、.由于相似的矩陣有相同的特征多項式,我pA(λ)=(λ_λi)mipA1(λ)而pA(λ)的(λ_λi)的指數(shù)等于ni,所以mi<ni.14第五章線性變換□定理5.5.2.復方陣A可對角化的充分必要條件是A的每個特征值的幾何重數(shù)與代數(shù)重數(shù)相等.證明:設(shè)A為n階復方陣,其特征多項式為pA(λ)=(λ_λ1)n1(λ_λ2)n2...(λ_λs)ns·特征值λi的代數(shù)重數(shù)為ni.設(shè)λi的幾何重數(shù)為mi,即方程組(λiI_A)X=0的解空間維數(shù)為mi.因此存在mi個屬于特征值λi的線性無關(guān)的特征向量.由引理5.5.1知,A有m1+m2+...+ms個線性無關(guān)的特征向量.由定理5.5.1,A可對角化當且僅當m1+m2+...+ms=n.又由于mi<ni,1<i<s及n1+n2+...+ns=n,因此A可對角化當且僅當mi=ni,1<i<s.□例5.5.2.在例5.4.1中,矩陣A有兩個不同的特征值0和1.特征值0的代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)都是1.特征值1的代數(shù)重數(shù)為2,而特征方程(I_A)X=0的解空間的維數(shù)等于2,故特征值1的幾何重數(shù)也是2,因此A是可對角化的.事實上,令X1=1,X2=2X3=_2,(1．(0．(1．則AX1=0,AX2=X2,AX3=X3.若令T=(X1,X2,X3),則有╱000、T_1AT=010·(001．?5.5.3相似于上三角陣從上面的兩個定理可知,不是每個方陣都可以相似于對角陣,但我們可以證明它總可以相似于一個上三角陣.定理5.5.3.任何一個n復方陣A都可以相似于一個上三角陣,且該上三角陣的主對角線上的元素都是A的特征值.證明:對方陣A的階數(shù)n用數(shù)學歸納法.當n=1時,命題顯然成立.假設(shè)命題對n_1階方陣成立.現(xiàn)在考慮n階方陣A.設(shè)λ1為A的一個特征值,X1為屬于λ1的一個特征向量.將X1擴充為Cn的一組基:X1,X2,...,Xn.令T=(X1,X2,...,Xn)?5.6若當標準形簡介*15則T為n階可逆方陣.由AX1=λ1X1知AT=A(X1,X2,...,Xn)=(λ1X1,AX2,...,AXn)·所以T_1AT=ì根據(jù)歸納假設(shè),存在n_1階可逆方陣T1,使得T1_1A1T1為上三角陣.令S=S=T,0T1則S_1=ìT0_11、T_1·所以S_1AS=ìT0_11、(T_1AT)ì、=ìT0_11、ì、=、由于T1_1A1T1為上三角陣,S_1AS為上三角陣.因為上三角陣的主對角線元素都是它的特征值,而特征值是相似不變量,所以S_1AS的主對角線元素都是A的特征值.□注3.在式(5.10)中,向量X2,...,Xn的選取方法不是唯一的,最后得到的上三角不是唯一的.?5.6若當標準形簡介*?5.6.1若當標準性定理在本節(jié)中,我們將簡單介紹矩陣在相似關(guān)系下的標準形–若當標準形.我們不給出若當標準形定理的證明,但給出計算若當標準形的方法,并作一些簡單的說明.╱210、在例5.5.1中,我們證明了矩陣021不能相似于對角陣.這個矩陣只有一個重數(shù)為3特征值2.若當標準形定理告訴我們這樣的矩陣在相似關(guān)系下已經(jīng)是最簡單的形式了,稱為一個若當塊.一般地,我們有16第五章線性變換定義5.6.1.設(shè)λ是任意復數(shù),m是任意正整數(shù),形如╱λ10...0、λ1...