圓錐曲線中的四心

圓錐曲線中的四心圓錐曲線中的四心13/13第13頁(yè)共13頁(yè)圓錐曲線中的四心圓錐曲線中的四心圓錐曲線中的“四心”云南省會(huì)澤縣茚旺高級(jí)中學(xué)楊順武摘要：通過(guò)對(duì)三角形四心與圓錐曲線的有機(jī)結(jié)合，達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生的思維，提升學(xué)生的解題能力。同時(shí)起到培養(yǎng)學(xué)生的說(shuō)思路、練本領(lǐng)、強(qiáng)素質(zhì)的作用．關(guān)鍵詞：思維流程內(nèi)心外心重心垂心解題能力正文：圓錐曲線是每年高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，從近幾年的命題風(fēng)格看，既注重知識(shí)又注重能力，既突出圓錐曲線的本質(zhì)特征，又體現(xiàn)傳統(tǒng)內(nèi)容的橫向聯(lián)系和新增內(nèi)容的縱向交匯，而三角形在圓錐曲線中更是如魚得水，面積、弦長(zhǎng)、最值等成為研究的常規(guī)問(wèn)題。“四心”走進(jìn)圓錐曲線，讓我們更是耳目一新。因此，在高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)中，通過(guò)讓學(xué)生研究三角形的“四心”與圓錐曲線的結(jié)合問(wèn)題，快速提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，增強(qiáng)學(xué)生的信心，從而戰(zhàn)勝高考．例1、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程：（Ⅱ）若點(diǎn)D為橢圓上不同于、的任意一點(diǎn)，，當(dāng)Δ內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求Δ內(nèi)心的坐標(biāo)；由橢圓經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)設(shè)方程為由橢圓經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)設(shè)方程為得到的方程組解出（Ⅰ）由內(nèi)切圓面積最大轉(zhuǎn)化為面積最大轉(zhuǎn)化為點(diǎn)由內(nèi)切圓面積最大轉(zhuǎn)化為面積最大轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大最大為橢圓短軸端點(diǎn)面積最大值為得出得出點(diǎn)坐標(biāo)為解題過(guò)程：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為將、、代入橢圓E的方程，得解得.∴橢圓的方程． （Ⅱ），設(shè)Δ邊上的高為當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，最大為，所以的最大值為．設(shè)Δ的內(nèi)切圓的半徑為，因?yàn)棣さ闹荛L(zhǎng)為定值6．所以，所以的最大值為．所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為.點(diǎn)石成金： 例2、橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點(diǎn)，且，．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）記橢圓的上頂點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在直線，使點(diǎn)恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。思維流程：寫出橢圓方程由，，（Ⅰ）寫出橢圓方程由，，由F為由F為的重心（Ⅱ） 兩根之和，兩根之積得出關(guān)于m的方程解出m兩根之和，兩根之積得出關(guān)于m的方程解出m解題過(guò)程：（Ⅰ）如圖建系，設(shè)橢圓方程為,則又∵即∴故橢圓方程為（Ⅱ）假設(shè)存在直線交橢圓于兩點(diǎn)，且恰為的垂心，則設(shè)，∵，故，于是設(shè)直線為，由得∵又得即由韋達(dá)定理得解得或（舍）經(jīng)檢驗(yàn)符合條件．點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對(duì)邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零．例3、在橢圓C：中，分別為橢圓C的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的且在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，的重心為G，內(nèi)心為I．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）已知為橢圓C上的左頂點(diǎn)，直線過(guò)右焦點(diǎn)與橢圓C交于兩點(diǎn)，若的斜率滿足，求直線的方程．思維流程：由已知得，設(shè)重心由已知得，設(shè)重心I的縱坐標(biāo)為∥由，可知的斜率一定存在且不為0，設(shè)為k的方程為由，可知的斜率一定存在且不為0，設(shè)為k的方程為消去y得利用得的方程解出解題過(guò)程：（Ⅰ）設(shè)，重心，由已知可知，則，由又內(nèi)心I的縱坐標(biāo)為∥即．（Ⅱ）若直線斜率不存在，顯然不合題意；則直線l的斜率存在．設(shè)直線為，直線l和橢交于，。將依題意：由韋達(dá)定理可知：又而從而求得符合故所求直線MN的方程為：點(diǎn)石成金：重心的特點(diǎn)為坐標(biāo)．例4、已知雙曲線C以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以橢圓的左右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)．（Ⅰ）求雙曲線C的方程；（Ⅱ）若為雙曲線C的左右焦點(diǎn)，為雙曲線C上任意一點(diǎn)，為的外心，且,求點(diǎn)的坐標(biāo)．思維流程：由已知易得雙曲線中寫出雙曲線的方程（Ⅰ由已知易得雙曲線中寫出雙曲線的方程是的外心在y軸上，且在是的外心在y軸上，且在中，解題過(guò)程：（Ⅰ）由已知可知，雙曲線的，則雙曲線的方程為（Ⅱ）因?yàn)闉橥庑模?，則點(diǎn)在線段的垂直平分線上即在軸上又同弧上的圓心角是圓周角的2倍，則在中，則即．點(diǎn)石成金：外心的特點(diǎn)為到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等或說(shuō)是三邊的垂直平分線的交點(diǎn)．能力提升：1、橢圓：求橢圓的焦點(diǎn)三角形內(nèi)心的軌跡方程．解：如圖（1），設(shè)點(diǎn)P，內(nèi)心為，焦點(diǎn)，，，則．過(guò)內(nèi)心I作垂直于點(diǎn)．∵點(diǎn)I是△的內(nèi)心，點(diǎn)是內(nèi)切圓的切點(diǎn)，圖（1）∴由切線長(zhǎng)定理，得方程組：，結(jié)合，解得：．而，∴，既．……①又∵△面積，，∴，既=．…………………②將①②代入，得．可知，橢圓焦點(diǎn)三角形內(nèi)心的軌跡是一個(gè)橢圓，它的離心率是．2、橢圓：求橢圓的焦點(diǎn)三角形垂心的軌跡方程；解：如圖（2），設(shè)點(diǎn)P，垂心為，焦點(diǎn)，則，．∵⊥，∴=0．圖（2）又∵，∴．……..①而，∴……….②將②式代入①式，整理得：．由方程可以看出，橢圓焦點(diǎn)三角形垂心的軌跡不是兩條拋物線，它與哪些初等函數(shù)圖象有關(guān)？請(qǐng)大家思考．3、已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與定直線相切．（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡相交于、兩點(diǎn)，若在直線存在點(diǎn)，使為正三角形，求直線方程.（Ⅲ）當(dāng)直線得斜率大于零時(shí)，求外心的坐標(biāo)．解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓圓心為，根據(jù)題意，得化簡(jiǎn)得故動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為.（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，，弦中點(diǎn)為（ⅰ）當(dāng)時(shí)，由得此時(shí)，有圖形的對(duì)稱性可知，上的點(diǎn)只可能是而故，不合題意.（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由得則即若在直線上存在點(diǎn)，使為正三角形則設(shè)直線，與聯(lián)