華中師范大學(xué)量子力學(xué)

一、填空題（共10題，每題2分，共20分）.若某種光的波長(zhǎng)為九，則其光子的能量為，動(dòng)量大小為。.戴維遜一革末實(shí)驗(yàn)主要表現(xiàn)出電子具有。.若v（x,t）是歸一化的波函數(shù)，則卜G,t）|2dx表示.設(shè)力學(xué)量算符F與G不對(duì)易，且其對(duì)易子為[F,G]=ik，則它們的不確定性關(guān)系為:。一.厄米算符在自身表象是矩陣。.從量子力學(xué)的觀點(diǎn)看，氫原子中核外電子的運(yùn)動(dòng)不再是圓軌道上的運(yùn)動(dòng)，而是電子云的圖像，電子云是；.設(shè)氫原子處于態(tài)甲（廠,①中”2r（r）7（仇⑴-包r（r）7（仇⑴，求氫原321 10 321 1-1子的角動(dòng)量z分量的平均值.證明電子具有自旋的實(shí)驗(yàn)是。.兩個(gè)角動(dòng)量j；=1,j2=2耦合的總角動(dòng)量J=.共振躍遷意思是。共振躍遷意思是 當(dāng)周期性微擾的頻率不等于兩能級(jí)間的玻爾頻率時(shí)，即①中土嗎，時(shí)，躍遷概率不大；當(dāng)①二土①mn時(shí)，即吸收過程和輻射過程，其躍遷概率隨時(shí)間而增大，稱為共振躍遷。二、判斷題（共10題，每題1分，共10分）.光電效應(yīng)證實(shí)了光的粒子性，康普頓效應(yīng)進(jìn)一步證實(shí)了光的粒子性。.若V12，是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加▼=CV+CV++CV+（其中C,C,,C,為復(fù)常數(shù)）也是體系的11 22 nn 1 2 n??? ???一個(gè)可能狀態(tài)。.不同定態(tài)的線性疊加還是定態(tài)。.因?yàn)樽鴺?biāo)與動(dòng)量算符均是厄米算符，所以它們的乘積一定是厄米算符。.若兩個(gè)力學(xué)量算符不對(duì)易，則它們一般沒有共同本征態(tài)。.粒子在中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，若角動(dòng)量'是守恒量，那么\就不是守恒量。.在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱：U(-x)=U(x)，則粒子的波函數(shù)一定具有確定的宇稱。.費(fèi)米子體系的哈密頓算符H必須是交換反對(duì)稱的，波色子體系的哈密頓算符H必須是交換對(duì)稱的。.全同粒子體系的波函數(shù)具有一定的對(duì)稱性，是來自于全同粒子的不可區(qū)分性。.自由粒子所處的狀態(tài)只能是平面波。三、簡(jiǎn)答題(共5題，每題4分，共20分).簡(jiǎn)述玻爾的量子論，并對(duì)它進(jìn)行簡(jiǎn)單的評(píng)價(jià)。.處于定態(tài)的體系具有哪些性質(zhì)。.隧道效應(yīng)。.躍遷的選擇定則及其理論依據(jù)。.分波法的基本思想。四、證明題(共2題，每題8分，共16分).用狄拉克符號(hào)證明：(1)厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)；(2)厄米算符不同本征值的本征矢互相正交(非簡(jiǎn)并情形)。(8分).證明，處于1s，2P和3d態(tài)的氫原子，分別在r=a0，4a和9a0的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)電子的概率最大。(提示：氫原子波函數(shù)W/rf,Rni(r)Ym(6,⑺，其中2 -" 1 r一R(r) ea0 ， R(r)———■—=e2ao ，10 a3/2 21 (2a)3/2av30 0 0

(8分)/21(8分)一IaJ五、計(jì)算題（共3題，共34分）.質(zhì)量為"的一維諧振子的基態(tài)波函數(shù)為,。（X『置e-2*,其中”求粒子出現(xiàn)在經(jīng)典禁區(qū)的概率。（10分）(積分公式：小e-x2dx=^2-,fe-x2dx=0.75).已知在L2和L的共同表象中，算符L和L的矩陣表示分別為L(zhǎng)=xL=x(0*i10求它們的本征值和歸一化的本征函數(shù)，并將矩陣Lx和Ly對(duì)角化。（12分）“1c0、3,已知某表象中哈密頓算符的矩陣形式H=c3 0100c—2）（1）設(shè)c1，應(yīng)用微擾論求哈密頓算符的本征值到二級(jí)近似;（2）求精確解，并與上面的微擾論結(jié)果比較。（12分）備用:B卷一、簡(jiǎn)答題（每小題4分，共36分）.態(tài)疊加原理.波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋及波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件.全同性原理和泡利不相容原理.量子力學(xué)基本假設(shè)是什么.隧道效應(yīng).哪些實(shí)驗(yàn)表明電子具有自旋現(xiàn)象電子自旋角動(dòng)量是電子自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的嗎.共振躍遷.分波法的基本思想.電子云二、計(jì)算題（共64分）.證明對(duì)易關(guān)系LJ=ihZ。（8分）Lx」2.設(shè) 氫原2.設(shè) 氫原子處于歸r,,1R（r）Y（,）乎R（r）Y（,）,求其能量、角動(dòng)量平方2 21 10 2 21 11及角動(dòng)量z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。（12分）.二維矩陣A,B滿足A20,AAAA1,BAA,（1）證明B2B；（2）在B表象中求出人的矩陣。（共12分）.在某一選定的一組正交基矢下哈密頓算符由下列矩陣給出1c0Hc3 000c2（1）設(shè)c1，應(yīng)用微擾論求哈密頓算符的本征值到二級(jí)近似；（2）求哈密頓算符的本征值的精確解；（3）在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。（15分）.求S -0 1和S -0 1*勺本征值和本征矢。（8分）x 21 0y 2i0“方.證明：厄米算符的本征值必為實(shí)數(shù)。（5分）.設(shè)電子1、2的自旋分別為：S,S，體系處于對(duì)稱波函數(shù)⑴（S）（S）1 2 s1/21z1/22z的狀態(tài)，證明：總自旋角動(dòng)量z分量的本征值為 。（6分）0 ei.設(shè)算符F在A表象的矩陣表示為F ，為實(shí)常數(shù)，求（1）F的ei0本征值及正交歸一的本征矢在A表象的矩陣表示；（2）使矩陣F對(duì)角化的么正變換矩陣U。（12分）.設(shè)粒子處于