定積分定積分的概念與性質(zhì)

第五章定積分本章重點：定積分計算：1.用牛一萊公式用“特性”(奇偶對稱)分段函數(shù)的定積分積分上限函數(shù)求導(dǎo)及應(yīng)用定積分計算中應(yīng)注意的問題第一節(jié)．定積分的概念與性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容和重點:1理解定積分定義2掌握性質(zhì)和幾何意義定積分的引入數(shù)學(xué)上:求曲邊梯形的面積曲邊梯形面積的求法i分割ii近似iii求和iv取極限Ax既表示第i個小區(qū)間，也表示長度.A=lim工f憶i)?Axi i九=max{Ax}i物理上:①作變速直線運(yùn)動的路程.V(t)［TT］1,2求法：S=lim》V憶)?At9oi=i z'分析：i含義不同，但處理的方法完全一樣i式子均為特定和式結(jié)構(gòu)的極限定積分的概念Def:設(shè)f(x)在［a,b］上有界(有界才有極限)若lim另f(g)?Ax3，則稱lim另f(g)?Ax今Jbf(x)dxi i i ia心i=1 心i=1定積分存在的兩個充分條件若f(x)GC［a,b］nJbf(x)dx3(f(x)在［a,b］上可積)a若f(x)在［a,b］上有界，且只有有限個間斷點(非無窮，振蕩)(工類的)nJbf(x)dx3a幾個注意的問題定積分3,對任意分法和任意取法都成立n采取特殊的分法，取法(比如等分)九T0 nTa等分定積分的值，只與f(x)和積分區(qū)間［a,b］有關(guān)，與積分變量無關(guān)

Jbf(x)dx=Jbf(u)du=Jbf(t)dtaaa定積分的幾何意義f(x)>0nA=Jbf(x)dx.面積Jbf(x)dx<af(x)<0n-AJbf(x)dx<af(x)有正有負(fù)nJbf(x)dx是面積的代數(shù)和a5.定積分定義的應(yīng)用利用幾何意義來求定積分如：J\;1-x2dx= y=\；104女口:設(shè)Vxg[a,b],有f(x)〉0,f'(x)〉0,f”(x)<0,則f(b)(b-a)〉Jbf(x)dx>f(a)+f(b)(b—a)〉f(a)(b-a)a2大小順序如何？S曲梯〉s梯〉s矩求特定和式數(shù)列的極限女口：求lim(亠+——+???+—1—)作等分：工f憶）〉丄=n丄dxin工f憶）〉丄=n丄dxin01+x=lim工—=lim工—?1=limnfg.,n+infg innfgi=1 i=1丄十—n=[ln(l+x)]0=ln2(在1之間)用定義求定積分（等分令E=x）iiJbJbxdx=lim區(qū)ab-ab-a/b一a、b-a b-a、x =lim (a+ 1+a+ 2+???+a+n)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"n—g in nfgn n n ni=1二lim-~-(na+-~-(1+2H bn))nsn n=lim匕(na+ )=(b-a)?a+^一^?1nfgn n 2 2=2(b2-a2)x2b1事實上：Jbxdx=—=—(b2一a2)2a定積分的性質(zhì):1.假設(shè)可積.

2.3.4.所求等式性質(zhì)a,b大小無關(guān)系.不等式性質(zhì)要求上限必須大于下限一個規(guī)定,6個性質(zhì)①規(guī)定：iJ2.3.4.所求等式性質(zhì)a,b大小無關(guān)系.不等式性質(zhì)要求上限必須大于下限一個規(guī)定,6個性質(zhì)①規(guī)定：iJaf(x)dx=0aiiJbf(x)dx=-Jaf(x)dxabAx<0

i②性質(zhì)：i線性性質(zhì).Jb[f(x)土g(x)]dxJkf(x)dxaii積分曲間可加性.Jbf(x)dx=Jc+Jba a c注：(l)c可在a,b之間，也可在a,b之外⑵Jb=Jc+Jd+Je+Jba a c d eJb1dx=b-a(幾何面積為b-a)a保號性：若Vxe[a,b]，有f(x)>0nJbf(x)dx>0a(b>a)推論：(1)Vxe[a,b],有f(x)<g(x)nJbf(x)dx<Jbg(x)dxJbf(x)dx<Jbf(x)dxV估值性質(zhì)：設(shè)f(x)e[a,b],m<f(x)<Mm(b-a)<Jbf(x)dx<JbMdx=M(b-a)Jbf(x)dxvi積分中值定理：設(shè)f(x)eC[a,b] m<t <Mb-a由介值定理：f(g)其中,ge[a,b]至少日幾何意義：Jbf(x)dx=f(g)?(b-a)③定積分的應(yīng)用——例題分析例1i??i例2比較積分值的大?、鄱ǚe分的應(yīng)用——例題分析例1i??i例2比較積分值的大小J1xdx與J1ln(1+x)dx00J2Inxdx與J2n2xdxS曲梯二S矩(n(1+x)<x<ex-1(nx<1)11估計積分值J4兀J4兀(1+sin-2x)dx兀iiJ3xarctanxdx兀5(1+sin2x在一，—兀上連，必有最值)44/5 兀、— /5 兀、小兀=(—兀一一)?1<...<(—兀一一).2=2兀4 4 4 4例3