數(shù)值分析課程課后習(xí)題答案(李慶揚(yáng)等)

第一章緒論

1、設(shè)x>0,x的相對誤差為3,求Inx的誤差。

［解］設(shè)x*>0為x的近似值，則有相對誤差為￡；(x)=6,絕對誤差為￡*(x)=廉”,

從而Inx的誤差為￡(Inx)=|(lnx*“￡(x")=二加=S,

相對誤差為￡；(Inx)=皿*=-A

InxInx

2、設(shè)x的相對誤差為2除求x"的相對誤差。

［解］設(shè)x*為x的近似值,則有相對誤差為￡：(x)=2%,絕對誤差為￡(x)=2%,*|,

從而x"的誤差為￡*(lnx)=,￡(x*)==2〃％，

相對誤差為￡；(lnx)=；：|；j)=2〃％。

3、下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù)，即誤差不超過最后一位的半個(gè)單

位，試指出它們是兒位有效數(shù)字：

x；=1.1021,x；=0.031,x；=385.6,x；=56.430,x；=7x1.0。

［解］x；=1.1021有5位有效數(shù)字；x；=0.0031有2位有效數(shù)字；x；=385.6有4

位有效數(shù)字；x；=56.430有5位有效數(shù)字；x；=7x1.0有2位有效數(shù)字。

4、利用公式(3.3)求下列各近似值的誤差限，其中x：,x；,無;,x；均為第3題所給

的數(shù)。

*辛辛

(/11)\匹+%+%；

e*(x：+X；+*；)=￡萼卜(X；)=￡(<)+￡(X；)+￡(X；)

［解］.

=-xl0-4+-X10-34-lxlO_3=1.05xl0-3

222

(2)x；x；x；；

*/*?*、、、df/*、/**、/*、/**、/*、/**、,*、

e(七4乙)二Z丁￡(%)=(X2X3)￡(演)+(x/3)￡(Z)+(x/2)￡(￡)

k=\7

^^^(0.031x385.6)-xl0-4+(1.1O21X385.6)-X1O-3+(1.1O21XO.O31)-X1O-3；

222

=0.59768X10-3+212.48488xl0-3+0.01708255x10-3

=213.09964255xlO-J=0.21309964255

(3)%；/x；。

e*(%；/%；)=￡￡(x：)=-r￡(芯)+?)￡(%；)

k=\乙(乙)

［解八,xLlk+°O3l,xLl。

56.4302(56.430)22

*?461x_LxI。、=088654x107

(56.430)22

5、計(jì)算球體積要使相對誤差限為現(xiàn)，問度量半徑R允許的相對誤差是多少？

4￡*(1%(/?*)3)

［解］由1%=￡；(—兀(R*)3)=—-------可知，

3加*)3

￡*(g〃(R*)3)=l%xg%(R*)3=:%(R*)3￡*(/?*)=4乃(R*)2X￡*(R*),

從而￡(R)=1%X-R,故￡；(R*)=*f)=1%X—=-^―o

3R3300

6、設(shè)公=28,按遞推公式匕=匕1-高(〃=1,2,-一)計(jì)算到幾0，若取

V783?27.982(五位有效數(shù)字，)試問計(jì)算丫項(xiàng)將有多大誤差？

［解］令匕表示，的近似值，e*(%)=匕一匕，則e*(y0)=0,并且由

匕=匕一看X27.982,/?=一擊*歷可知，

Yn-Yn=｝；_I_yn_1_-l_x(27.982-V783),即

e*(y?)=e*(%T)-焉X(27.982-7783)=e*(Yn_2)一高x(27.982-A/783)=…，從

W/(yiOo)=^*(^)-(27.982-7783)=7783-27.982,

-3

而-27.982］<|xlO,所以/(7100)=gx10-3。

7、求方程，-56^+1=0的兩個(gè)根，使它至少具有四位有效數(shù)字(V783=27.982)

［解］由x=28±7^5與77^5=27.982(五位有效數(shù)字)可知，

/=28+4^=28+27.982=55.982(五位有效數(shù)字)。

而馬=28-/麗=28-27.982=0.018,只有兩位有效數(shù)字，不符合題意。

但是x=28-V783=-----3==------=1.7863x10-2

228+V78355.9820

8、當(dāng)N充分大時(shí)，怎樣求「'一二dx?

［解］因?yàn)?"『=dx=arctan(N+1)-arctanN,當(dāng)N充分大時(shí)為兩個(gè)相近數(shù)相

減，設(shè)a=arctan(N+1),=arctanN,則N+l=tana,N=tan〃，從而

tan(a-/?)=［③?！?(N+V)-N=—一，

1+tanatan/?1+N(N+1)N2+N+l

因此f"一［dx-a-B-arctan—；一----。

9、正方形的邊長大約為100cm,應(yīng)怎樣測量才能使其面積誤差不超過1c加2?

［解］由￡*((/*)2)=|［(/*)2、*(/*)=2/*￡*(/*)可知，若要求￡*((/*/)=1,則

即邊長應(yīng)滿足/=100±—

200200

10、設(shè)S=；g/，假定g是準(zhǔn)確的，而對t的測量有±0.1秒的誤差，證明當(dāng)t

增加時(shí)S的絕對誤差增加，而相對誤差卻減少。

［證明］因?yàn)椤?(S)=|(。)*卜⑴=/*￡*?)=，

￡；。)=守=臀9=至9=出，所以得證。

S上(-t5t

11、序列｛>”｝滿足遞推關(guān)系y“=10y,i-1(〃=1,2,…)，若>0=四=1.41(三位

有效數(shù)字)，計(jì)算到必0時(shí)誤差有多大？這個(gè)計(jì)算過程穩(wěn)定嗎？

［解］設(shè)歹,，為紇的近似值，￡*(>“)=工-打，則由卜。=及與

J”=1。-T

v=1411

?可知，￡*(%)=彳Xi。-工-%=10("-h1)，即

口=10九-1-12

￡*(%)=10￡*(y,T)=10"￡*(y。),

從而￡*(乃0)=101°￡*(汽)=10隈310-2=9108,因此計(jì)算過程不穩(wěn)定。

12、計(jì)算/=(&-1)6,取0=1.4,利用下列公式計(jì)算，哪一個(gè)得到的結(jié)果最

]

好？(3-2揚(yáng)3------L,99-7072o

(V2+1)6(3+2V2)3

[解]因?yàn)椤?(/)=；xl()T,所以對于￡=]

(V2+1)6

e*(/；)=M'|e*(L4)=—^^x,xlOT=6.54X1(]T<1*1()-2,有一位有效數(shù)字

'I1I(1.4+1)722

對于￡=G-2/兒

2-1-1-1

(/2)=|/2y(1.4)=6(3-2x1.4)x1x10=0.12x10<1xl0,沒有有效數(shù)

字；

]

對于八=

(3+2揚(yáng)3

l32

e*(￡)=L'|e*(L4)=------——Tx-xlO-=2.65X10-<-xl0-,有一位有效數(shù)

3TI(3+2x14)422

字；

對于￡=99—70匹，e*(￡)=e"(L4)=70xgxl()T=35X1()T<gxl()i,沒有

有效數(shù)字。

13、/(x)=ln(x-A/X2-1).求/(30)的值。若開平方用六位函數(shù)表，問求對數(shù)時(shí)

誤差有多大？若改用另一等價(jià)公式imx-T7=Tx-ina+TT%)計(jì)算，求對數(shù)

時(shí)誤差有多大？

［解］因?yàn)?3()2一1=次旃=29.9833(六位有效數(shù)字)，f*(x)=-X10-4,所以

2

1

e*(/i)=(/：)*e*(x)=-

t------x-xlO

(30-V302-1)2

------1------x-xlO-4=0.2994x10-2

30-29.98332

e*(32)=|(/2')［e*(x)=-x-xlO-4

x+2

------1------x1xl()T=0.8336xl()F

30+29.98332

X+in10r=in10

14、試用消元法解方程組'2"，假定只有三位數(shù)計(jì)算，問結(jié)果是否

X1+工2=2

可靠?

1A101A10_7

［解］精確解為X=T—，》2=二^。當(dāng)使用三位數(shù)運(yùn)算時(shí)，得到

10'°-1210,°-1

xx=l,x2=1,結(jié)果可靠。

15、已知三角形面積，=,出^!1。，其中c為弧度，0<c<三，且測量a,b,c

22

△a\bAc

的誤差分別為An,勵(lì),Ac,證明面積的誤差A(yù)s滿足aW++

ab

i1

6討sinc"cosc|Ac|,

［解］因?yàn)閨A(s)|=Z--|A(xt)|=—Z>sinc|Aa|+—a

dXk22

；bsinc?+1

一々sine+-abcosc

22

1

所以absinc

2

AcNbAcAcA/?Ac

++<4-+

btancb

第二章插值法

1、根據(jù)（2.2）定義的范德蒙行列式，令

1X。X。■,x()

?????????

匕（Xo，X|J?,x,i，x)=,證明匕（x）是n次多項(xiàng)式，它的

1人Y〃-1An-I?-冷

1Xx~???x"

根是為，》2,…，X,I,且匕（Xo，X|,…=V,i（Xo，X|,…，X“_|）（X—Xo）?一（X-X“T）。

"T

匕a。,*,…,x.T,x)=nn(Xj-Xj>n(x-Xj)

［證明］由'=：.j=°可得求證。

n-l

=V,T(Xo，XDX,Li>n(x-Xj)

j=o

2、當(dāng)x=l,-l,2時(shí)，/(x)=0-3,4,求/(x)的二次插值多項(xiàng)式。

(x-x)(x-x)(x-x)(x-x,)(X-Xo)(X-X|)

}!20

L,(x)=y0------------=-+y,------------=-+y,---------------

(x0-x,)(x0-X2)(X|—Xo)(X|一/)(x2-x0)(x2-X1)

*?-i(x+l)(x—2)(x—l)(x—2)(x—l)(x+1)

［r解］=0x-——-----+(-3)x———----—+4x-——-——-

(1+1)(1-2)(-1-1)(-1-2)(2-1)(2+1)

=--(%2-3x+2)+—(x2-1)--x~+—x~—

23623

3、給出fM=Inx的數(shù)值表用線性插值及二次插值計(jì)算In0.54的近似值。

X0.40.50.60.70.8

Inx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144

［解］若取為=05,%,=0.6,

則%=/(/)=/(。5)=-0.693147,y,=/(%,)=/(0.6)=-0.510826,則

*/、x—x.x—x,x—0.6?/see/x_0.5

L.(x)=y------+y.-----n-=-0.693147x---------0.510826x-------

101

Xo-/-x,-x00.5-0.60.6-0.5,

=6.93147(x-0.6)-5.10826(x-0.5)=1.8232lx-1.604752

從而L,(0.54)=1.8232lx0.54-1.604752=0.9845334-1.604752=-0.6202186。

若取3=0.4,x,=0.5,x2=0.6,則氏=f(x0)=/(0.4)=-0.916291,

%=/(/)=/(0.5)=-0.693147,y2=/(x2)=/(0.6)=-0.510826,則

,<、(j-x.Xx-xJ(x-x0)(x-x2)(%-%0)(%-%))

L,(x)=y()+y2

(x0-X])(x0-x2)(x,-%0)(%,-x2)(x2-x0)(x2-xj

x5x6

=-0.91629lx(-°-X-°-)+(-0,693147)x

(0.4-0.5)(0.4-0.6)(0.5-0.4)(0.5-0.6)

+(-0,510826)x*一04)(x-0-5)

(0.6-0.4)(0.6-0.5)

=-45.81455x(x2-1.lx+0.3)+69.3147x(x2-x+0.24)

-25.5413(r-0.9x+0.2)

=-2.04115x2+4.068475x-2.217097

從而&(0-54)=-2.04115x0.542+4.068475x0.54-2.217097

=-0.59519934+2.1969765-2.217097=-0.61531984

4、給出cosx,0°Wx<90°的函數(shù)表，步長力=1'=(1/60)°,若函數(shù)具有5位有效

數(shù)字，研究用線性插值求cosx近似值時(shí)的總誤差界。

［解］設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為/<X<X］=/+/?,對應(yīng)的COSX值為先,必，函數(shù)表值為

了0，不則由題意可知，瓦―焉|<gxlO-5,近似線性插值多

項(xiàng)式為乙。)=歹。土』-+月士迎，所以總誤差為

與一尤IX|一Xo

R(x)=/(x)-L,(x)=f(x)-L,(x)+L,(x)-L,(x)

=/；)(x-Xo)(x-X|)+(>()一歹0)^~~+(yi~—

,從而

2!x0.X]x{-x0

COSJ/、/、/_xx-x./_xX-XG7X

=一一-(x-x0)(x-x,)+(y0-y0)-------+(%一%)------,穴(x()，xJ

2%一七%,-x0

AAx-x

|R(X)K1cosJ(X-x0)(x-X|)|+瓦一y0|_'+'一yj0

X-X,1…5x-x。

——(X-Xg)(x_X])+—xlOX-----+-X10x------

人一匹2

1h2

<----+-X10-5=-x——+-X10-5=-x6.94xl0-5+-X10-5=3.47x1O-5

-242214400222

5、設(shè)占=%()+劭，k=1,2,3,求max，2(x)|

x0-x-x2

(X-Xo)(X-X|)(X-X3)

!:

max|/2(x)|max------------------——

.VQ—A*—

%%(x2-x0)(x2-Xj)(x2-/)

(x—x)(x—x—h)(x—x—3h)

［解］=max000

(2/2)A(-/2)

=—ymax\(x-x0)(x-x0-=(x-x0-3/i)|

/(x)=(x-x)(x-x-h)(x-x-3A)

令0QQ，則

=x—(3XQ+4/?)x"+(3x；+8//?+3/J，)x—(x；+4/zxj+3h~)

*22

f\x)=3x-2(3X(,+4h)x+(3x；+8xoh+3h),從而極值點(diǎn)可能為

22

_2(3x0+4//)±74(3x0+4/?)-12(3x^+8xoh+3h)

6,又因?yàn)?/p>

_(3x0+4/i)±V7/?_4±V7

--=X(\?fl

3°3

4-y［l4—V^71--\［1—5—V71/z-3

/(xH-------h)=------hx------hx--------h=—(14V7—20)/i',

0333327

4+近4+V7,1+77,77—5,1一不，3

f(xH-------/z)=------hx------hx------h=----(20+14J7)/?,

°n333327

顯然/Go+4,h)</(x0+4+?h)，所以

34

max\l2(x)|f(x0+4+S力)=_-L(20+14-J7)/?=療。

但寶2\42/1332/2727

6、設(shè)與(j=0』,)為互異節(jié)點(diǎn),求證：

1)￡x；/j(x)三■?(/J=0,1,??■,?)；

j=o

2)-x)Z(x)三/(k=1,2,--?,/?)；

7=0

［解］1)因?yàn)樽髠?cè)是的n階拉格朗日多項(xiàng)式，所以求證成立。

2)設(shè)/(>')=(y-x)*，則左側(cè)是/(>')=(y-x)k的n階拉格朗日多項(xiàng)式,令y=x,

即得求證。

8、在-4Wx<4上給出/(x)=e，的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，若用二次插值求e,的近似

值，要使截?cái)嗾`差不超過1CT6,問使用函數(shù)表的步長h應(yīng)取多少？

[解]由題意可知，設(shè)x使用節(jié)點(diǎn)X0=X//2,不，/=七+%進(jìn)行二次插值，則

&(x)=工”(x-%0)。-玉)(x-x2)

插值余項(xiàng)為N'，

=-[x-(x,-h)](x-xl)[x-(x]+/2)],Je(x0,x2)

o

322

令fW=[x-(Xj-h)](x-x])[x-(Xj+/?)]=x-3xjX+(3x；-h)x+x1(xf-h?),

2

則/'(%)=31-6x]x+(3xf-h),從而/(x)的極值點(diǎn)為x=x1土gk,故

Irx|V3,〃V32A/33玲

max/((x)=-/?.(14----)h-(1--)//=--/r,而

eq3339

33

\R2(X)\<—max|/(x)|<-^-h=-h,要使其不超過10」,則有

1

6*女216927

<10-6,即//W"2Yelxlo"-3.48%10-2=0472x10-2。

27e27.389

9、若y“=2",求A4y“及b'y,,。

4

A"=(E-/)y?立㈠)/。4rL江㈠丫門》一

j=0\JJj=0\jJ

[解]=(_l)o]：卜+4+(—1)(：卜+3+(-1)2(；卜短+(-1)31卜M+(-1)4[：>,。

,,+4,,+2,,+l

=2-4x2"3+6x2-4x2+2"

=16x2"-32x2"+24x2"-8x2"+2"=2n

3%=(￡-/)4y“=之(-1)，(4歸*"葭

=Z(T)，(：卜=Z(T)(:卜“+2-j

j=0\JJj=0\JJ

=QI)］>,+2+(T“(J4、x+i+(T)(a4、+(T(口4、小+((T4、)。

=2n+2-4x2n+1+6x2"-4x2"-'+2"-2

=16x2"--32x2"T+24X2"T一8x2"一+2"<=2"-2

10、如果"x）是m次多項(xiàng)式,記V（無）=〃％+力）一/（尤）,證明/（x）的k階差分

N/（x）（0W&Wm）是加一人次多項(xiàng)式，并且N"+，/（x）=0（1為正整數(shù)）。

［證明］對k使用數(shù)學(xué)歸納法可證。

11、證明A（九gQ=5kgz+fM。

^fgk)=fkiS-fg=fk+\gk+「fkgk+i+f8ki-fkSk

［證明］k+Mkkk+

=(A+i-fk)gk+i+=(g*+i-g?)=Mkgk+i+

，一1.一I

12、證明X力3=/.g“—/ogo—Zg"+M。

k=OA=O

［證明］因?yàn)?/p>

1yr,一!

ZfZk+2^+1頌=E(fZk+gk+i頌)

k=ok=ok=o，故得證。

,一！.一!

=Z1/(g&+i-g*)+g*+i(/*+i-/月=Z(g“J*+i一/g*)=/"g"一/og。

k=Ok=0

w-I

i3>證明：Z'x=4v〃一八打。

j=O

JLI.?一!

［證明］Xx=Z(△>加一劃)=-△)’()。

j=oj=o

n

14、若f(x)=a0+a,x+---+an_,x''+%x"有n個(gè)不同實(shí)根x”/，…，怎，證明

?x：JO,0<k<n-2

馬廣(乙)=后,k=n-\

［證明］由題意可設(shè)f(x)=an(x-)(x-x2)???(x-xn)=a“什(x-xj,故

(=i

，

f(xj)-anY[(xj-%,),再由差商的性質(zhì)1和3可知:

沏/=1

=￡[3——=，工"區(qū),…，招]=’富?，從而得證。

““(為7，)明明("

i=\

Mj

15、證明n階均差有下列性質(zhì)：

1)若F(x)=t/(x),則“XtpXi，…,x“]=c/[Xo，X],…,七」；

2)若F(x)=/(x)+g(x)，則F[x(),X1,…,x,』=/[xo，x”…,x,』+g[xo，xnx,」。

eF(x)"cf(x：)

產(chǎn)[尤°,蒞,x,』=--------=--------

網(wǎng)fl"—,)xfj(Xj-巧)

f=o/=0

[證明]1),由o

Vf(Xj)

C

=L-------------=cf[xQ,x1,---,xn]

j=°n(Xjf)

i=0

由

?r]v尸(Xj)</(X/)+g(Xj)

網(wǎng)立⑴-馬)六。n(xy-x,.)

i=Oi=0

2)'刃叼

//(Xj)g(Xj)rr1「1

=L~—:——:—=/[/，再，…，苞』+磯工。，M，…，1,』

>=o

>="n(x7-x,.)n(x7.-x,.)

、f⑻冉0

16、/(x)=/+/+3x+l,求/[2°,21??,27],/[2°,21,---,28]=^—^=-=0o

8!8!

[解]/[2°,2',-,27]=q=1,/[20,2',-,28]o

17、證明兩點(diǎn)三次埃爾米特插值余項(xiàng)是

&*)=/">0"—與)2*—4+|)2/4!,(4,4+1),

并由此求出分段三次埃爾米特插值的誤差限。

Q

[解]見P30與P33,誤差限為。①)+—hmax園。

271

19、求一個(gè)次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式P(x),使它滿足尸(0)=P'(0)=0,

/1)=所1)=1,P⑵=1。

%4ax32

［角星］設(shè)P(x)=<24+i^+的/++/，貝UP'(x)=4tz4x+3a3x+2a2x+at,

再由尸(0)=〃(0)=0,p(l)=p/(l)=l,P(2)=l可得:

0=a八

0=P(0)=劭0

0

0=/(0)=%=%

9

1=尸⑴=a+a+a+a+〃0解得<=ao從而

432142

1=P'(x)=4%+3。3+2的+

?!3

+2cli+6Z—=a3

1=尸⑵=16%+8%+02

1

—a

14=4

2“X-3-

…1433922X

P(x)=-x——X+—x=—(x-6x+9)=o

42444

20、設(shè)〃x)eC［a,b］,把［a,"分為n等分，試構(gòu)造一個(gè)臺階形的零次分段插值函

數(shù)/(x),并證明當(dāng)n->8時(shí)，e.(x)在以㈤上一?致收斂到/(x)。

sup/(x)+inf/(x)

［解］令處(x)=3當(dāng)——產(chǎn)巴一，i=l,2,3,…,*

21、設(shè)/*)=1/(1+/)，在—5Wx<5上取”=10,按等距節(jié)點(diǎn)求分段線性插值

函數(shù)〃(x)，計(jì)算各節(jié)點(diǎn)中點(diǎn)處的，(x)與/(x)的值，并估計(jì)誤差。

［解］由題意可知，h=\,從而當(dāng)xw［x*,x*+J時(shí)，

，/、r,,,1X~X,.+|L1X-Xk

/%(x)=fklk+fk+L+l=----7------+--------r-------

l+k-x-xl+(k+l)-x-x

kk+lk+lko

11

=-------(X-4+1)-*--------------(x-)

h(\+k2)/i(i+a+i)2］

22、求〃x)=/在上的分段線性插值函數(shù)/%(x),并估計(jì)誤差。

［解］設(shè)將［a,"劃分為長度為h的小區(qū)間a=x0WX|W…Wx.=8,則當(dāng)

xe［x￡，4+J,%=0,1,2,…,〃一1時(shí),

，/\一，，2元-4+12X~XkXk+\(X—4)一Xk(X—Xk+\)

Ih(%)=fJk+fk+Jk+\=Xk+Xk+\

X「Xk+iKf

XX

_X(X；+1-年)+4+1X；~k+\k_/.rrY

一84+］十4J4+14

3-4

從而誤差為此(X)=萼(f)(x-％)=(f-

力2

故艮（幻|二|（%一九）。一匕+）K彳。

23、求/。）=/在鼠”上的分段埃爾米特插值，并估計(jì)誤差。

［解］設(shè)將劃分為長度為h的小區(qū)間。=與《玉工…工%=。，則當(dāng)

xe民,Z+J，k=0,1,2,…，〃-1時(shí),

/力(x)=fk%+fk+l%+［+fkBk+fk+lBk+1(X)

可Ud（f）+4認(rèn)二:卜一心

r(4)(Q

2222

從而誤差為R2(x)=-(x-xA.)(x-xk+］)=(x-xk)(x-xk+}),

故網(wǎng)⑴=|（X7*）2（X-X*+1）2歸而。

24、給定數(shù)據(jù)表如下：

Xj0.250.300.390.450.53

yj0.50000.54770.62450.67080.7280

試求三次樣條函數(shù)S（x）,并滿足條件:

1)5/(0.25)=1.0000,5z(0.53)=0.6868；

2)S〃(0.25)=S"(0.53)=0。

［解］由％=0.30—0.25=0.05,4=0.39-0.30=009,h2=0.45-0.39=0.06,

h.hM

/?=0.53-0.45=0.08,及(8.10)式兒=——2—,(J=1,???,?-1)

37}

hJ,T,+/?,J.h

0.090.062

可知，40.05+0.094=

/?1+h0.09+0.065

0.084

4=

h2+h30.06+0.087

0.055%0.093

4=---，〃2

60+h]0.05+0.091424+0.09+0.065

力20.063

出=

h2+/z30.06+0.087

由(8.11)式勺+(j=l,…〃一1)可知,

9/(xj-/(x°)?5/(4)-/(花)

g,=3(A1/[X0,XI]+//1/[X1,X2])=3[]

14%1-%014x2-Xj

c/90.5477-0.500050.6245-0.5477

=3x(—x---------------------+一x-)--------------------

140.30-0.25140.39-0.30

個(gè)，94775768、19279

=3x(—x------1—x-----)==2.7541

14500149007000

2/(X)-/(X,)3/(X)-/(X)

-------------2--------------------1---------------3----------------2---

g2=3(A2/[x1,x2]+x/2/[%2,x3])=3[1

5x2—x.5x3-x2

c20.6245-0.547730.6708—0.6245、

=3x(z—x______________?x______________)

50.39-0.3050.45-0.39

.,27683463、4x256+3x463

=3x(-x------1—x-----)———13

590056001000

4/（七）-/區(qū)）+3/缶）-/5）

g3=3(A,/[X2,X3]+//3/[X3,X4])=3[]

7X3-x27x4-x3

c40.6708-0.624530.7280-0.6708、

=3x(—x---------------------+-x---------------------)o從而

70.45-0.3970.53-0.45

44633472、4x463+9x1181457汽八…

=3x(—x-----1—x-----)=---------------------=-------=2.0814

760078001400700

5

209

142.7541--x1.0000

142.1112

23

1）矩陣形式為:2m2.4132.413，解得

552

m31.7871

432.0814--X0.6868

027

7

0.9078

二

m20.8278從而S(x)=Z[y(x)+(x)]。

j=o

m30.6570

2)此為自然邊界條件，故

V-嚅曾=3嚼口62；

^3x0.7280-0.6708572

Sn=3/[X“T，X,』=3X=3x—=2.145,

X“_X"_10.53-0.45800

21000

9c5八八

—2—00mo-2.862-機(jī)0

1414m2.7541仍

23]

矩陣形式為：0-2-0m=2.413,可以解得m,從而

5522

2.0814m

八八4c3機(jī)33

00-2-2.145

77機(jī)4加4

4

000-2

7

S(x)=^[yJaJ(x)+mj/3i(x)]。

j=0

25、若/(x)eC2[a向，SQ)是三次樣條函數(shù)，證明

1)[\f\x^dx-[[Sr(x)]2dx=[[f\x)-S\x)]2dx+2p7x)[/7x)-S\x)]dx；

2)若/(%,.)=S(xJ(i=0,1,…,〃)，式中巧為插值節(jié)點(diǎn)，且a-x0<xt<-<xn-b

則fS"(x)""(x)-S\x)]dx=S\b)[f\b)-5W-S\a)[fXa)-S'⑷]。

f[/7x)-S\x)]2dx+2fS"(x)""(x)-S\x)]dx

=￡[f\x)-5*(x)]2+2S\x)[f\x)-S*(x)]Jx

[解]1)=f{LT(x)-S"(x)]+2S'(x)}""(x)-S"(x)]dxo

=f""(x)+S"(x)]""(x)-S'(x)Mx=f""(x)]2-[Syx)]2dx

=[[f\x^dx-[[S\x^dx

2)由題意可知，S"(x)=A,XG[a,b],所以

fs"(x)""(x)—S"(x)mx={S"(x)"'(x)—S'(x)]}：-j"'(x)-S'(x)]S"(x)dx

=S\b)[fXb)-S\b)]-S\a)[fXa)一S'(。)]-A^[f\x)-S\x)]dx

=S"S)"'(b)—S'3)]—S'(a)"'⑷一S'(。)]一A[f(x)-S(<

=S"3)"'(b)-SQ)]-S〃⑷"'⑷一S'(a)]

第三章函數(shù)逼近與計(jì)算

1、(a)利用區(qū)間變換推出區(qū)間為以力］的伯恩斯坦多項(xiàng)式;

(b)對/(x)=sinx在0,^上求1次和3次伯恩斯坦多項(xiàng)式并畫出圖形，并與

相應(yīng)的馬克勞林級數(shù)部分和誤差做出比較。

[解](a)令x=a+(b-a)f,則從而伯恩斯坦多項(xiàng)式為

B?(/,%)=之心-呼處(X),其中”(X)=[卜(b-a-xy-k。

(b)令X=5f,則從而伯恩斯坦多項(xiàng)式為

線(九口=f/(當(dāng)6(x),其中Pk(x)=>(9x)5

仁2〃2

Bi(九X)=￡樗刈⑴=/明若7卜/式.

?

=sinOx^y-x^+sin^xx=+x=x

3

”(/，x)=Z/(K)鼻(X)

7(端)笛令伊(/)2

+嗎微弓2+"羽Y-"

O

=sinOxf-+sin—x3x(--x)2+sin—x3x2(—~x)+sin—xx3

(2J62322

3.71.23-732/〃、33/%223、3A/3.7123、3

=-X(----X)-H----X(-----X)4-X=-(----X~~TCX.^+X')H-----(—X-X)+X*

22222422

=叱X_」%(2_揚(yáng)》2_J_(3百_5)1

842

2^求證:(a)當(dāng)機(jī)時(shí)，m<<M；

(b)當(dāng)/(x)=x時(shí)，Bn(f,x)=xo

［證明］(a)由線(/,x)=￡/(勺G(x)及aW/(x)WM可知,

k=0〃

機(jī)fP,(x)<￡mPk(x)<Bn(f,x)<YMPk(x)<MYPk