廣西壯族自治區(qū)百色市財校中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

廣西壯族自治區(qū)百色市財校中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布,若P(Z>2)=0.023,則P(-2≤Z≤2)=（

）A.0.477

B.0.625

C.0.954

D.0.977參考答案：C2.是橢圓上的一點，和是焦點，若∠F1PF2=30°，則△F1PF2的面積等于

（

）

參考答案：B略3.投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B，則事件A,B中至少有一件發(fā)生的概率是A． B． C． D．參考答案：C略4.設(shè)x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】由“x≥2且y≥2”推出“x2+y2≥4”可證明充分性；由滿足“x2+y2≥4”可舉出反例推翻“x≥2且y≥2”，則證明不必要性，綜合可得答案．【解答】解：若x≥2且y≥2，則x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；若x2+y2≥4，則如（﹣2，﹣2）滿足條件，但不滿足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要條件．故選A．5.現(xiàn)在，很多人都喜歡騎“共享單車”，但也有很多市民并不認(rèn)可．為了調(diào)查人們對這種交通方式的認(rèn)可度，某同學(xué)從交通擁堵不嚴(yán)重的A城市和交通擁堵嚴(yán)重的B城市分別隨機(jī)調(diào)查了20名市民，得到了一個市民是否認(rèn)可的樣本，具體數(shù)據(jù)如下2×2列聯(lián)表：

AB總計認(rèn)可13518不認(rèn)可71522總計202040

附：，．

0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列說法中，正確的是（

）A．沒有95%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”B．有99%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”C．可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”D．可以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”參考答案：D由題意，根據(jù)中列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，利用公式求得，又由，所以可以在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)”，故選D．

6.奇函數(shù)的定義域為，且滿足，已知，則的取值范圍是A.

B.

C.

D.

參考答案：D7.已知拋物線,直線與交于兩點,若,則點到直線的最大距離為(）A．2

B．4 C．8 D．-4參考答案：C8.雙曲線x2﹣4y2=1的焦距為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】將所給的雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)雙曲線中的a，b，c的關(guān)系求解c，焦距2c即可．【解答】解：雙曲線x2﹣4y2=1，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為：∵a2+b2=c2∴c2==解得：c=所以得焦距2c=故選：C．9.O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線的焦點，P為C上一點，若，則的面積為（

）A．2

B．

C．

D．4參考答案：C∵拋物線C的方程為∴，可得，得焦點設(shè)P（m，n），根據(jù)拋物線的定義，得|PF|=m+=，即，解得∵點P在拋物線C上，得∴∵|OF|=∴△POF的面積為

10.若等于（

） 一 A． B． C． D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________．111]參考答案：解：，當(dāng)，即時取等號；的最小值為；,故本題正確答案是

.12.已知經(jīng)過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B兩點，則直線AB的方程為

．參考答案：由切點弦方程得直線的方程為

13.若關(guān)于的不等式的解集中整數(shù)恰好有3個，則實數(shù)的取值范圍是

▲．參考答案：14.觀察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此規(guī)律，第n個等式可為．參考答案：【考點】歸納推理．【分析】等式的左邊是正整數(shù)的平方和或差，根據(jù)這一規(guī)律得第n個等式左邊為12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．再分n為奇數(shù)和偶數(shù)討論，結(jié)合分組求和法求和，最后利用字母表示即可．【解答】解：觀察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…分n為奇數(shù)和偶數(shù)討論：第n個等式左邊為12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．當(dāng)n為偶數(shù)時，分組求和（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣1）2﹣n2]=﹣，當(dāng)n為奇數(shù)時，第n個等式左邊=（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣2）2﹣（n﹣1）2]+n2=﹣+n2=．綜上，第n個等式為．故答案為：．15.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則_____．參考答案：【分析】由題意求出z，可得的值.【詳解】解：由，得．∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的求模問題，是一道基礎(chǔ)題.16.甲乙丙三人代表班級參加校運(yùn)會的跑步，跳遠(yuǎn)，鉛球比賽，每人參加一項，每項都要有人參加，他們的身高各不同，現(xiàn)了解到已下情況：（1）甲不是最高的；（2）最高的是沒報鉛球；（3）最矮的參加了跳遠(yuǎn)；（4）乙不是最矮的，也沒參加跑步．可以判斷丙參加的比賽項目是________．參考答案：跑步由題意得，由（4）可知，乙參加了鉛球比賽，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，參加了跳遠(yuǎn)，丙是最高的，參加了跑步比賽。

17.設(shè)是橢圓上的一點,則的最大值是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

參考答案：(1)證明：由條件當(dāng)-1≤x≤1時，|f(x)|≤1，取x=0得：|c|=|f(0)|≤1，即|c|≤1.

……………4分(2)證法一：依題設(shè)|f(0)|≤1而f(0)=c，所以|c|≤1.當(dāng)a＞0時，g(x)=ax+b在［－1，1］上是增函數(shù)，于是g(－1)≤g(x)≤g(1)，(－1≤x≤1).∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，|c|≤1，∴g(1)=a+b=f(1)－c≤|f(1)|+|c|=2，g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≥－(|f(－1)|+|c|)≥－2，因此得|g(x)|≤2

(－1≤x≤1)；當(dāng)a＜0時，g(x)=ax+b在［－1，1］上是減函數(shù)，于是g(－1)≥g(x)≥g(1)，(－1≤x≤1)，∵|f(x)|≤1

(－1≤x≤1)，|c|≤1∴|g(x)|=|f(1)－c|≤|f(1)|+|c|≤2.綜合以上結(jié)果，當(dāng)－1≤x≤1時，都有|g(x)|≤2.(證法二)：∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)∴|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，|f(0)|≤1，∵f(x)=ax2+bx+c，∴|a－b+c|≤1，|a+b+c|≤1，|c|≤1，因此，根據(jù)絕對值不等式性質(zhì)得：|a－b|=|(a－b+c)－c|≤|a－b+c|+|c|≤2，|a+b|=|(a+b+c)－c|≤|a+b+c|+|c|≤2，∵g(x)=ax+b，∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2，函數(shù)g(x)=ax+b的圖象是一條直線，因此|g(x)|在［－1，1］上的最大值只能在區(qū)間的端點x=－1或x=1處取得，于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2，(－1＜x＜1.…………8分(3)解：因為a＞0，g(x)在［－1，1］上是增函數(shù)，當(dāng)x=1時取得最大值2，即g(1)=a+b=f(1)－f(0)=2.

∵－1≤f(0)=f(1)－2≤1－2=－1，∴c=f(0)=－1.因為當(dāng)－1≤x≤1時，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，直線x=0為f(x)的圖象的對稱軸，由此得－＜0，即b=0.由①得a=2，所以f(x)=2x2－1.

……………12分19.（原創(chuàng)）（本小題滿分13分）已知三次函數(shù)，為實常數(shù)。（1）若時，求函數(shù)的極大、極小值；（2）設(shè)函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù)，若的導(dǎo)函數(shù)為，，與軸有且僅有一個公共點，求的最小值。參考答案：（1）令，，極大值極小值，。（2），，，法一：令，令又則，當(dāng)時，當(dāng)時，。。法二：，“”，。20.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－2bx2＋cx＋4d(a，b，c，d∈R)的圖像關(guān)于原點對稱，且x＝1時，f(x)取極小值－.(1)求a，b，c，d的值；(2)當(dāng)x∈[－1,1]時，圖像上是否存在兩點，使得過兩點處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論；(3)若x1，x2∈[－1,1]，求證：|f(x1)－f(x2)|≤.參考答案：(1)∵函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點對稱，∴對任意實數(shù)x有f(－x)＝－f(x)，∴－ax3－2bx2－cx＋4d＝－ax3＋2bx2－cx－4d，即bx2－2d＝0恒成立，∴b＝0，d＝0，∴f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c，∵當(dāng)x＝1時，f(x)取極小值－，∴3a＋c＝0，且a＋c＝－，解得a＝，c＝－1.21.對任意函數(shù)f（x），x∈D，可按如圖構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器，記由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列{xn}．（1）若定義函數(shù)，且輸入，請寫出數(shù)列{xn}的所有項；（2）若定義函數(shù)f（x）=xsinx（0≤x≤2π），且要產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列{xn}，試求輸入的初始數(shù)據(jù)x0的值及相應(yīng)數(shù)列{xn}的通項公式xn；（3）若定義函數(shù)f（x）=2x+3，且輸入x0=﹣1，求數(shù)列{xn}的通項公式xn．參考答案：考點：程序框圖；數(shù)列的函數(shù)特性；等比數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列的前n項和．專題：圖表型；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（1）函數(shù)的定義域D=（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），由此能推導(dǎo)出數(shù)列{xn}只有三項．（2）若要產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列，則f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，由此能求出輸入的初始數(shù)據(jù)x0的值及相應(yīng)數(shù)列{xn}的通項公式xn．（3）f（x）=2x+3的定義域為R，若x0=﹣1，則x1=1，則xn+1+3=2（xn+3），從而得到數(shù)列{xn+3}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{xn}的通項公式．解答：解：（1）函數(shù)的定義域D=（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）…（1分）把代入可得，把代入可得，把代入可得x3=﹣1因為x3=﹣1?D，所以數(shù)列{xn}只有三項：…（4分）（2）若要產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列，則f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，即x（sinx﹣1）=0在[0，2π]上有解，則x=0或sinx=1，所以x=0或…（6分）即當(dāng)故當(dāng)x0=0時，xn=0；當(dāng)．

…（9分）（3）f（x）=2x+3的定義域為R，…（10分）若x0=﹣1，則x1=1，則xn+1=f（xn）=2xn+3，所以xn+1+3=2（xn+3），…（12分）所以數(shù)列{xn+3}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，即數(shù)列{xn}的通項公式．

…（14分）點評：本題考查數(shù)列的所有項的求法，考查數(shù)列的通項公式的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．22.已知圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4及圓內(nèi)一點P（2，5）． （1）求過P點的弦中，弦長最短的弦所在的直線方程； （2）求過點M（5，0）與圓C相切的直線方程． 參考答案：【考點】直線與圓相交的性質(zhì)． 【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；直線與圓． 【分析】（1）過P點且與CP垂直的弦長最短，由此能求出點的弦中，弦長最短的弦所在的直線方程． （Ⅱ）當(dāng)直線垂直x軸時，直線x=5與圓C相切，當(dāng)直線不垂直x軸時，設(shè)直線方程kx﹣y﹣5k=0，由圓心C到直線的距離等于半徑，能求出切線方程． 【解答】解：（1）∵圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4及圓內(nèi)一點P（2，5）， ∴由題意，過P點且與CP垂直的弦長最短，（1分） ∵圓心C點坐標(biāo)為（3，4），∴，（3分） ∴所求