2022年福建省三明市南辛鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2022年福建省三明市南辛鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，AQI指數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如表：AQI指數(shù)值0～5051～100101～150151～200201～300＞300空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染

如圖是某市10月1日-20日AQI指數(shù)變化趨勢(shì)：下列敘述錯(cuò)誤的是（

）A.這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B.這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占C.該市10月的前半個(gè)月的空氣質(zhì)量越來(lái)越好D.總體來(lái)說(shuō)，該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好參考答案：C【分析】根據(jù)所給圖象，結(jié)合中位數(shù)的定義、指數(shù)與污染程度的關(guān)系以及古典概型概率公式，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)，因?yàn)榈?0天與第11天指數(shù)值都略高100，所以中位數(shù)略高于100，正確；對(duì)，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占，正確；對(duì)，由圖知，前半個(gè)月中，前4天的空氣質(zhì)量越來(lái)越好，后11天該市的空氣質(zhì)量越來(lái)越差，錯(cuò)誤；對(duì)，由圖知，10月上旬大部分指數(shù)在100以下，10月中旬大部分指數(shù)在100以上，所以正確，故選C.【點(diǎn)睛】與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類問(wèn)題的特點(diǎn)是通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識(shí)，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.2.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，若或?yàn)閿?shù)列的最小項(xiàng)，則實(shí)數(shù)的取值范圍A．(3,

4)

B．[2,5]

C．[3,4]

D．[]參考答案：D3.已知R上的不間斷函數(shù)

滿足：①當(dāng)時(shí)，恒成立；②對(duì)任意的都有。又函數(shù)

滿足：對(duì)任意的，都有

成立，當(dāng)時(shí)，。若關(guān)于的不等式

對(duì)恒成立，則的取值范圍

A．

B．

C．

D．參考答案：A4.如圖，從點(diǎn)發(fā)出的光線，沿平行于拋物線的對(duì)稱軸方向射向此拋物線上的點(diǎn)，經(jīng)拋物線反射后，穿過(guò)焦點(diǎn)射向拋物線上的點(diǎn)，再經(jīng)拋物線反射后射向直線上的點(diǎn)，經(jīng)直線反射后又回到點(diǎn)，則等于(

) A．

B．

C． D．參考答案：B5.已知，是互相垂直的兩個(gè)單位向量，=+2，=4﹣2，則（）A．∥ B．⊥ C．||=2||| D．＜，＞=60°參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】經(jīng)計(jì)算可知=0，從而兩向量垂直．【解答】解：∵，是互相垂直的兩個(gè)單位向量，∴=0，==1，∴==（+2）?（4﹣2）=4+6﹣42=0，．故選：B．6.已知平面和共面的兩條不同的直線，下列命題是真命題的是（

）A．若與所成的角相等，則

B．若，，則

C.若，，則

D．若，，則參考答案：D7.設(shè)集合，，則A∪B=A.

(－1,0)

B.

(0,1)

C.

(－1,3)

D.(1,3)參考答案：C.故選C.8.用表示三個(gè)數(shù)中的最小值，設(shè)，則的最大值是（

）

A.

4

B.

5

C.

6

D.

7參考答案：C9.如圖是函數(shù)f（x）=x2+ax+b的部分圖象，則函數(shù)g（x）=lnx+f′（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(

)A．（） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3）參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸確定a的范圍，據(jù)g（x）的表達(dá)式計(jì)算g（）和g（1）的值的符號(hào)，從而確定零點(diǎn)所在的區(qū)間．【解答】解：由函數(shù)f（x）=x2+ax+b的部分圖象得0＜b＜1，f（1）=0，即有a=﹣1﹣b，從而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，g（）=ln+1+a＜0，由函數(shù)f（x）=x2+ax+b的部分圖象，結(jié)合拋物線的對(duì)稱軸得到：0＜﹣＜1，解得﹣2＜a＜0，∴g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函數(shù)g（x）=lnx+f′（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（，1）；故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，以及函數(shù)零點(diǎn)的判斷，同時(shí)考查了運(yùn)算求解能力和識(shí)圖能力，屬于基礎(chǔ)題．10.函數(shù)的值域?yàn)?/p>

(

）A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，則正整數(shù)___.參考答案：812.正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，，則{an}的前9項(xiàng)和

．參考答案：26

13.雙曲線的離心率為

.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì)解析：因?yàn)殡p曲線，所以，所以離心率，故答案為?！舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得a，b，c，從而可求雙曲線的離心率．

14.若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為

．參考答案：原問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，且：；當(dāng)時(shí)，分類討論：若，則，若，則，據(jù)此繪制函數(shù)圖像如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖像觀察可得a的取值范圍為.

15.若無(wú)窮數(shù)列(R)是等差數(shù)列，則其前10項(xiàng)的和為

．參考答案：10若等差數(shù)列公差為d，則，若d＞0，則當(dāng)時(shí)，，若d＜0，則當(dāng)時(shí)，，∴d＝0，可得，解得或（舍去），∴其前10項(xiàng)的和為10．16.在中，角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，若，則的最小值等于.參考答案：因?yàn)?，所以，即?dāng)且僅當(dāng)時(shí)去等號(hào)。所以，所以的最小值等于.17.已知向量，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為。若函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；若且，已知，求證：；（3）在（2）的條件下，試比較與的大小，并說(shuō)明你的理由.參考答案：（1）（2）見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列與函數(shù)的綜合．D5

（1）。要使函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則在內(nèi)恒大于0或恒小于0，當(dāng)時(shí)，在恒成立；當(dāng)時(shí)，要使恒成立，則；當(dāng)時(shí)，恒成立；所以的取值范圍為。（2）根據(jù)題意得：f'（1）=0，即a+a﹣2=0，得a=1，∴，于是，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)n=1時(shí)，a1=4≥2×1+2，不等式成立；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式ak≥2k+2成立，即ak﹣2k≥2也成立，當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=ak（ak﹣2k）+1≥（2k+2）×2+1=4k+5＞2（k+1）+2，所以當(dāng)n=k+1，不等式也成立，綜上得對(duì)所有n∈N*時(shí)5，都有an≥2n+2．（3）由（2）得an=an﹣1（an﹣1﹣2n+2）+1≥an﹣1[2（n﹣1）+2﹣2n+2]+1=2an﹣1+1，于是an+1≥2（an﹣1+1）（n≥2），所以a2+1≥2（a1+1），a3+1≥2（a2+1）…an+1≥2（an﹣1+1），累乘得：，所以．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，在（0，+∞）內(nèi)f′（x）恒大于0或恒小于0，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題去解決．（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f'（1）=0，求出a，確定f（x），f′（x）繼而得出an+1的表達(dá)式，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明．（3）在（2）的條件下，將各項(xiàng)適當(dāng)放縮，能得出，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式化簡(jiǎn)不等式左邊，去與比較．19.崇慶中學(xué)高三年級(jí)某班班班主任近期對(duì)班上每位同學(xué)的成績(jī)作相關(guān)分析時(shí)，得到周同學(xué)的某些成績(jī)數(shù)據(jù)如下：

第一次考試第二次考試第三次考試第四次考試數(shù)學(xué)總分118119121122總分年級(jí)排名133127121119（1）求總分年級(jí)名次關(guān)于數(shù)學(xué)總分的線性回歸方程=x+（必要時(shí)用分?jǐn)?shù)表示）（2）若周同學(xué)想在下次的測(cè)試時(shí)考入年級(jí)前100名，預(yù)測(cè)該同學(xué)下次測(cè)試的數(shù)學(xué)成績(jī)至少應(yīng)考多少分（取整數(shù)，可四舍五入）．（參考公式）參考答案：【考點(diǎn)】線性回歸方程．【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)計(jì)算、，再求出回歸系數(shù)，即可寫出線性回歸方程；（2）由線性回歸方程，令≤100，求出x的值即可．【解答】解：（1）由表中數(shù)據(jù)，得=×（118+119+121+122）=120，=×（133+127+121+119）=125，∴==﹣3.4x∴=﹣=125﹣（﹣3.4）×120=543；∴y關(guān)于x的線性回歸方程為=﹣3.4x+543；（2）由線性回歸方程，令≤100，得﹣3.4x+543≤100，解得x≥130；故預(yù)測(cè)若想考入年級(jí)前100名，數(shù)學(xué)成績(jī)至少應(yīng)考130分．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題目．20.已知正數(shù)a、b、c滿足，求證：參考答案：證明：要證只需證

…………3分即只要證

…………5分兩邊都是非負(fù)數(shù)，這就是已知條件，且以上各步都可逆，

…………10分

21.已知函數(shù)f（x）=ax﹣lnx．（1）過(guò)原點(diǎn)O作曲線y=f（x）的切線，求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）對(duì)?x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）過(guò)原點(diǎn)O作曲線y=f（x）的切線，求出切線方程，即可求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）對(duì)?x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2），化為ax2﹣ax﹣lnx≥0對(duì)?x∈[1，+∞）恒成立，分類討論，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）設(shè)切點(diǎn)為（x0，ax0﹣lnx0），∴，直線的切線方程為y﹣（ax0﹣lnx0）=（a﹣）（x﹣x0），又切線過(guò)原點(diǎn)﹣ax0+lnx0=﹣ax0+1，所以lnx0=1，解得x0=e，所以切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為e．（2）因?yàn)椴坏仁絘x﹣lnx≥a（2x﹣x2）對(duì)?x∈[1，+∞）恒成立，所以ax2﹣ax﹣lnx≥0對(duì)?x∈[1，+∞）恒成立．設(shè)g（x）=ax2﹣ax﹣lnx，g′（x）=2ax﹣a﹣．①當(dāng)a≤0時(shí)，∵，∴g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，即g（x）≤g（1）=0，∴a≤0不符合題意．②當(dāng)a＞0時(shí)，．設(shè)，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，即a≥1．（i）當(dāng)a≥1時(shí)，由h（x）≥0，得g'（x）≥0，∴g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，即g（x）≥g（1）=0，∴a≥1符合題意；（ii）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，∵a﹣1＜0，∴?x0∈[1，+∞）使得h（x0）=0，則g（x）在[1，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（x0）＜g（1）=0，則0＜a＜1不合題意．綜上所述，a≥1．22.設(shè)公比大于零的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，．

（Ⅰ）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．D2

D