人教A版高中數(shù)學(xué)二同步學(xué)習(xí)講義：第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系2.2.2 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。2.2平面與平面平行的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出平面與平面平行的判定定理。2.掌握平面與平面平行的判定定理,并能初步利用定理解決問題．知識點平面與平面平行的判定定理思考1三角板的一條邊所在平面與平面α平行,這個三角板所在平面與平面α平行嗎？答案不一定．思考2三角板的兩條邊所在直線分別與平面α平行,這個三角板所在平面與平面α平行嗎？答案平行．思考3如圖，平面BCC1B1內(nèi)有多少條直線與平面ABCD平行？這兩個平面平行嗎？答案無數(shù)條．不平行．梳理面面平行的判定定理表示定理圖形文字符號平面與平面平行的判定定理一個平面內(nèi)的兩相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1(a?β,b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α））?β∥α類型一面面平行的判定定理例1下列四個命題：(1）若平面α內(nèi)的兩條直線分別與平面β平行，則平面α與平面β平行;(2)若平面α內(nèi)有無數(shù)條直線分別與平面β平行，則平面α與平面β平行;(3)平行于同一直線的兩個平面平行;(4）兩個平面分別經(jīng)過兩條平行直線,這兩個平面平行．其中正確的個數(shù)是______________．答案0反思與感悟在判定兩平面是否平行時,一定要強(qiáng)調(diào)一個平面內(nèi)的“兩條相交直線"這個條件，線不在多,相交就行．跟蹤訓(xùn)練1設(shè)直線l,m,平面α，β,下列條件能得出α∥β的有(）①l?α,m?α，且l∥β，m∥β；②l?α，m?α，且l∥m,l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m;④l∩m＝P，l?α，m?α，且l∥β,m∥β.A．1個 B．2個C．3個 D．0個答案A解析①錯誤,因為l，m不一定相交;②錯誤，一個平面內(nèi)有兩條平行直線平行于另一個平面，這兩個平面可能相交；③錯誤，兩個平面可能相交；④正確．類型二平面與平面平行的證明例2如圖所示，在正方體AC1中，M，N，P分別是棱C1C,B1C1，C1D1的中點,求證:平面MNP∥平面A1BD。證明如圖，連接B1C。由已知得A1D∥B1C，且MN∥B1C,∴MN∥A1D。又∵M(jìn)N?平面A1BD,A1D?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD。連接B1D1，同理可證PN∥平面A1BD。又∵M(jìn)N?平面MNP,PN?平面MNP，且MN∩PN＝N，∴平面MNP∥平面A1BD。引申探究若本例條件不變,求證：平面CB1D1∥平面A1BD.證明因為ABCD－A1B1C1D1為正方體，所以DD1綊BB1，所以BDD1B1為平行四邊形，所以BD∥B1D1.又BD?平面CB1D1，B1D1?平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1,同理A1D∥平面CB1D1。又BD∩A1D＝D，所以平面CB1D1∥平面A1BD。反思與感悟判定平面與平面平行的四種常用方法(1)定義法：證明兩個平面沒有公共點，通常采用反證法．(2）利用判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面．證明時應(yīng)遵循先找后作的原則，即先在一個平面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線．(3）轉(zhuǎn)化為線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β。（4）利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ。跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G,H分別是AB，AC，A1B1,A1C1的中點，求證：(1）B，C,H，G四點共面；（2)平面EFA1∥平面BCHG。證明（1）因為G，H分別是A1B1，A1C1的中點,所以GH是△A1B1C1的中位線,所以GH∥B1C1.又因為B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H,G四點共面．（2）因為E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，所以EF∥BC。因為EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因為A1G∥EB，A1G＝EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB。因為A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因為A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.類型三線線平行與面面平行的綜合應(yīng)用eq\x(命題角度1線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化的證明問題）例3如圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中點,E，F(xiàn)，G分別是BC，DC和SC的中點，求證：（1)直線EG∥平面BDD1B1;(2）平面EFG∥平面BDD1B1.證明（1）如圖，連接SB?！逧，G分別是BC,SC的中點，∴EG∥SB。又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，∴EG∥平面BDD1B1。(2）連接SD?！逨，G分別是DC,SC的中點，∴FG∥SD。又∵SD?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，且EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1。反思感悟解決線線平行與面面平行的綜合問題的策略(1)立體幾何中常見的平行關(guān)系是線線平行、線面平行和面面平行,這三種平行關(guān)系不是孤立的，而是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的．(2）eq\x（線線平行)eq\o（→,\s\up7(判定））eq\x（線面平行)eq\o(→，\s\up7（判定)）eq\x（面面平行）所以平行關(guān)系的綜合問題的解決必須靈活運(yùn)用三種平行關(guān)系的判定定理．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示,在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為BC，CC1，C1D1，A1A的中點．求證:(1）BF∥HD1；（2)EG∥平面BB1D1D；(3）平面BDF∥平面HB1D1.證明（1)如圖，取BB1的中點M，連接C1M，HM，易知HMC1D1是平行四邊形，∴HD1∥MC1，又由已知可得MC1∥BF，∴BF∥HD1.(2)取BD的中點O，連接OE，D1O，則OE綊eq\f（1,2）DC.又D1G綊eq\f(1,2)DC,∴OE綊D1G，∴四邊形OEGD1是平行四邊形，∴GE∥D1O。又D1O?平面BB1D1D，EG?平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D。(3)由(1）知HD1∥BF，又BD∥B1D1，B1D1，HD1?平面HB1D1，BF,BD?平面BDF,且B1D1∩HD1＝D1,BD∩BF＝B,∴平面BDF∥平面HB1D1。eq\x(命題角度2線線與面面平行的探索性問題）例4如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點,設(shè)Q是CC1上的點，問：當(dāng)點Q在什么位置時，平面D1BQ∥平面PAO？解當(dāng)Q為CC1的中點時，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q為CC1的中點,P為DD1的中點，連接PQ,如圖，易證四邊形PQBA是平行四邊形，∴QB∥PA.又∵AP?平面APO,QB?平面APO，∴QB∥平面APO.∵P,O分別為DD1，DB的中點,∴D1B∥PO.同理可得D1B∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO。反思感悟?qū)τ谔剿餍詥栴},一是可直接運(yùn)用題中的條件，結(jié)合所學(xué)過的知識探求;二是可先猜想，然后證明猜想的正確性．跟蹤訓(xùn)練4在底面是平行四邊形的四棱錐P－ABCD中，點E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，M為PE的中點，在棱PC上是否存在一點F,使平面BFM∥平面AEC?并證明你的結(jié)論．解當(dāng)F是棱PC的中點時，平面BFM∥平面AEC.∵M(jìn)是PE的中點，∴FM∥CE?！逨M?平面AEC,CE?平面AEC,∴FM∥平面AEC。由EM＝eq\f(1，2）PE＝ED，得E為MD的中點,連接BM，BD，如圖所示，設(shè)BD∩AC＝O，則O為BD的中點．連接OE,則BM∥OE.∵BM?平面AEC，OE?平面AEC,∴BM∥平面AEC。又∵FM?平面BFM,BM?平面BFM,FM∩BM＝M，∴平面BFM∥平面AEC.1．下列命題中正確的是(）A．一個平面內(nèi)兩條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行B．如果一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行C．平行于同一直線的兩個平面一定相互平行D．如果一個平面內(nèi)的無數(shù)多條直線都平行于另一平面,那么這兩個平面平行答案B解析如果一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面，即兩個平面沒有公共點,則兩平面平行，所以B正確．2．在正方體中，相互平行的面不會是(）A．前后相對側(cè)面B．上下相對底面C．左右相對側(cè)面D．相鄰的側(cè)面答案D解析由正方體的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，所以選D。3．在正方體EFGH－E1F1G1H1中，下列四對截面彼此平行的一對是（）A．平面E1FG1與平面EGH1B．平面FHG1與平面F1H1GC．平面F1H1H與平面FHE1D．平面E1HG1與平面EH1G答案A解析如圖，∵EG∥E1G1,EG?平面E1FG1，E1G1?平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1.又G1F∥H1E，同理可證H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥EGH1.4．如圖,已知在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是棱PA，PB，PC的中點，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是________．答案平行解析在△PAB中，因為D，E分別是PA，PB的中點，所以DE∥AB.又DE?平面ABC，因此DE∥平面ABC。同理可證EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC。5．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為DD1中點．能否同時過D1，B兩點作平面α,使平面α∥平面PAC?證明你的結(jié)論．解能作出滿足條件的平面α，其作法如下：如圖，連接BD1，取AA1的中點M,連接D1M，則BD1與D1M所確定的平面即為滿足條件的平面α.證明如下:連接BD交AC于O，連接PO，則PO∥D1B，故D1B∥平面PAC。又因為M為AA1的中點,所以D1M∥PA，從而D1M∥平面PAC.又因為D1M∩D1B＝D1，D1M?α,D1B?α，所以α∥平面PAC.證明面面平行的方法：（1）面面平行的定義；（2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行；(3)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行．課時作業(yè)一、選擇題1．直線l∥平面α，直線m∥平面α,直線l與m相交于點P，且l與m確定的平面為β，則α與β的位置關(guān)系是(）A．相交 B．平行C．異面 D．不確定答案B解析因為l∩m＝P，所以過l與m確定一個平面β.又因l∥α,m∥α，l∩m＝P,所以β∥α。2．α、β是兩個不重合的平面，a、b是兩條不同的直線，則在下列條件下，可判定α∥β的是()A．α、β都平行于直線a、bB．α內(nèi)有三個不共線的點到β的距離相等C．a(chǎn),b是α內(nèi)兩條直線，且a∥β，b∥βD．a(chǎn)，b是兩條異面直線且a∥α，b∥α，α∥β,b∥β答案D解析A錯，若a∥b，則不能斷定α∥β；B錯，若三點不在β的同一側(cè)，α與β相交；C錯，若a∥b，則不能斷定α∥β。故選D。3．已知m，n是兩條直線，α，β是兩個平面，有以下命題：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α,m∥β，n∥α，n∥β，則α∥β;②若m∥α，m∥β，則α∥β；③若m∥α,n∥β，m∥n，則α∥β.其中正確命題的個數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3答案B解析設(shè)m∩n＝P，記m與n確定的平面為γ。由題意知：γ∥α，γ∥β,則α∥β。故①正確．②、③均錯誤．4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中,M為棱A1D1的動點，O為底面ABCD的中心，E、F分別是A1B1、C1D1的中點，下列平面中與OM掃過的平面平行的是(）A．面ABB1A1 B．面BCC1B1C．面BCFE D．面DCC1D1答案C解析取AB、DC的中點分別為E1和F1，OM掃過的平面即為面A1E1F1D1(如圖）,故面A1E1F1D1∥面BCFE.5．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形，則此六棱柱的面中互相平行的有()A．1對B．2對C．3對D．4對答案D解析由圖知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1,平面AFF1A1∥平面CDD1C1,平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，∴此六棱柱的面中互相平行的有4對．6．在正方體ABCD－A1B1C1D1中,E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1,BB1的中點，給出下列四個推斷：①FG∥平面AA1D1D;②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1;④平面EFG∥平面BC1D1.其中推斷正確的序號是()A．①③B．①④C．②③D．②④答案A解析∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中,E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1,BB1的中點，∴FG∥BC1.∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D,∴FG∥平面AA1D1D，故①正確;∵EF∥A1C1,A1C1與平面BC1D1相交，∴EF與平面BC1D1相交，故②錯誤;∵FG∥BC1，F(xiàn)G?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1,FG∥平面BC1D1，故③正確；∵EF與平面BC1D1相交，∴平面EFG與平面BC1D1相交，故④錯誤．故選A.7．如圖是四棱錐的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn),G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點,在此幾何體中,給出下面四個結(jié)論：①平面EFGH∥平面ABCD；②平面PAD∥BC；③平面PCD∥AB；④平面PAD∥平面PAB.其中正確的有(）A．①③ B．①④C．①②③ D．②③答案C解析把平面展開圖還原為四棱錐如圖所示,則EH∥AB，所以EH∥平面ABCD。同理可證EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱錐的四個側(cè)面,則它們兩兩相交．∵AB∥CD,∴平面PCD∥AB。同理平面PAD∥BC。二、填空題8．已知平面α、β和直線a、b、c，且a∥b∥c，a?α,b、c?β，則α與β的關(guān)系是_____．答案相交或平行解析b、c?β，a?α，a∥b∥c，若α∥β，滿足要求；若α與β相交,交線為l，b∥c∥l，a∥l,滿足要求，故答案為相交或平行．9．已知平面α和β，在平面α內(nèi)任取一條直線a，在β內(nèi)總存在直線b∥a，則α與β的位置關(guān)系是________．答案平行解析假若α∩β＝l,則在平面α內(nèi),與l相交的直線a，設(shè)a∩l＝A，對于β內(nèi)的任意直線b，若b過點A,則a與b相交,若b不過點A，則a與b異面,即β內(nèi)不存在直線b∥a.故α∥β。10．已知a和b是異面直線，且a?平面α，b?平面β,a∥β,b∥α，則平面α與β的位置關(guān)系是________．答案平行解析在b上任取一點O,則直線a與點O確定一個平面γ，設(shè)γ∩β＝l,則l?β，∵a∥β,∴a與l無公共點，∴a∥l，∴l(xiāng)∥α。又b∥α，根據(jù)面面平行的判定定理可得α∥β.三、解答題11．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N,P分別是C1C，B1C1，C1D1的中點，求證：平面PMN∥平面A1BD.證明連接B1D1,B1C。∵P，N分別是D1C1，B1C1的中點,∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN?平面A1BD,BD?平面A1BD,∴PN∥平面A1BD.同理，MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.12．已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形,點M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求證:平面MNQ∥平面PBC。證明∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD,∴MQ∥AD，NQ∥BP，而BP?平面PBC,NQ?平面PBC,∴NQ∥平面PBC.又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC，而BC?平面PBC，MQ?平面PBC，∴MQ∥平面PBC.易知MQ∩NQ＝Q,根據(jù)平面與平面平行的判定定理，可知平面MNQ∥平面PBC。13．如圖,在四棱錐C－ABED中,四邊形ABED是正方形，G，F(xiàn)分別是線段EC,BD的中點．(1）求證:GF∥平面ABC；(2）若點P為線段CD的中點，平面GFP與平面ABC有怎樣的位置關(guān)系？并證明．（1）證明如圖，連接AE，由F是線段BD的中點得F為AE的中點，∴GF為△AEC的中位線，∴GF∥AC.又∵AC