材料力學(xué)課件之彎曲應(yīng)力三

第6章彎曲應(yīng)力6-１概述1、彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應(yīng)力內(nèi)力剪力V剪應(yīng)力t彎矩M正應(yīng)力s2、研究方法平面彎曲時(shí)橫截面s純彎曲梁(橫截面上只有M而無(wú)V的情況)平面彎曲時(shí)橫截面t剪切彎曲(橫截面上既有V又有M的情況)6-2彎曲正應(yīng)力一、純彎曲與剪力彎曲PPaaABVx+-PPMx+Pa1.純彎曲(PureBending):橫截面上的內(nèi)力只有彎矩沒(méi)有剪力時(shí)，該桿段的變形稱為純彎曲。2.剪切彎曲桿各橫截面上有既剪力、也有彎矩，且彎矩為截面位置x的函數(shù)。二、純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力

（一）變形幾何規(guī)律：1.梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)橫向線（mm、nn）變形后仍為直線，但轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度；縱向線（aa、bb）變?yōu)榍€，且上部縮短，下部伸長(zhǎng)；橫向線與縱向線變形后仍然正交。

aabbmmnn中性軸2.兩個(gè)概念中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。3.推論平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，距中性軸等高處，變形相等。

單向拉壓假定：設(shè)各縱向纖維之間互相不擠壓，每一根縱向纖維均處于單向拉伸或壓縮狀態(tài)（即純彎曲時(shí)，梁橫截面上只有正應(yīng)力）

4.幾何方程：為中性層O1O2的曲率半徑，兩截面間的夾角為d，考察任一縱向纖維（如aa）的線應(yīng)變，aa到中性層的距離為y（如圖）

變形前：

變形后：

線應(yīng)變：

梁內(nèi)任一點(diǎn)的線應(yīng)變的大小與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比。

PPaaABCDxy（二）物理關(guān)系：假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點(diǎn)均處于單向應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)正應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí)，由胡克定律可得：?jiǎn)栴}：=？中性軸的位置如何？

（三）靜力學(xué)關(guān)系：yyzdAzx橫截面上的微內(nèi)力組成的空間平行力系，僅能簡(jiǎn)化為三個(gè)內(nèi)力分量。

，可見(jiàn)，y軸和z軸是截面的形心主慣性軸。即截面的中性軸z的位置完全確定。EIz截面或桿的抗彎剛度。彎曲變形的基本公式（中性層曲率）

三、平面彎曲桿橫截面上的正應(yīng)力1.計(jì)算公式2.分布規(guī)律橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力大小，與該點(diǎn)至中性軸的距離成正比，即正應(yīng)力沿截面寬度均勻分布，沿高度呈線性分布。中性軸的一側(cè)為拉應(yīng)力，另一側(cè)為壓應(yīng)力。3.正應(yīng)力公式討論：

1）適用于均勻連續(xù)、各向同性材料，在線彈性范圍小變形時(shí)的等截面直桿。2）在純彎曲時(shí)，橫截面在彎曲變形后保持平面，公式為精確解；橫力彎曲時(shí)，橫截面不再保持平面，公式為近似解，當(dāng)梁的跨高比l/h>5時(shí)，誤差＜2%。3）若中性軸為截面對(duì)稱軸，則；若不是對(duì)稱軸，則，4）如何確定正應(yīng)力的符號(hào)a)均以絕對(duì)值代入，根據(jù)梁的彎曲變形來(lái)確定是拉還是壓；b)均帶符號(hào)代入判斷是正為拉應(yīng)力；是負(fù)為壓應(yīng)力。四、最大應(yīng)力的計(jì)算

抗彎截面模量。矩形截面的Wzz圓形截面的Wzz例：6－3彎曲剪應(yīng)力1、兩點(diǎn)假設(shè)：

1)剪應(yīng)力與剪力平行；

2)距中性軸等距離處，剪

應(yīng)力相等。2、研究方法：分離體平衡。

1)在梁上取微段如圖b；

2)在微段上取一塊如圖c，

平衡ysxyzs1t1tbdxx圖a圖c一、矩形截面梁V(x)+dV(x)M(x)M(x)+dM(x)V(x)dx圖bq(x)3.剪應(yīng)力公式推導(dǎo)sxyzs1t1tb圖c由剪應(yīng)力互等V——橫截面上的剪力；——橫截面上需求剪應(yīng)力處的水平線以下（或以上）部分的面積A*對(duì)中性軸的靜矩；

Iz——整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；

b——需求剪應(yīng)力處的橫截面寬度。

4.剪應(yīng)力沿橫截面高度的分布t方向：與橫截面上剪力方向相同；t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植?，沿高度h分布為拋物線。在截面上、下邊緣處的剪應(yīng)力為零，而在中性軸上的剪應(yīng)力值最大，

矩形截面梁橫截面上的最大剪應(yīng)力為平均剪應(yīng)力的1.5倍。V二、工字形(槽形，T字型)截面工字形截面可視為由翼緣和腹板所組成。通過(guò)分析可知，翼緣主要承擔(dān)彎矩的作用，而腹板則主要承受剪力的作用。工字形腹板上的剪應(yīng)力可以按照矩形截面的剪應(yīng)力公式計(jì)算，即

1.腹板上的剪應(yīng)力由分析可知，工字形截面腹板上的剪應(yīng)力接近均勻分布，且tmax≈tmin鉛垂剪應(yīng)力主要由腹板承受（95~97%），其近似的計(jì)算公式為

對(duì)軋制工字鋼截面，式中Iz／S*zmax的值可以查型鋼表。2.翼緣上的剪應(yīng)力——翼緣上需求剪應(yīng)力處的豎直線與翼端之間的部分面積A*對(duì)中性軸的靜矩；

（1）豎向剪應(yīng)力（2）水平剪應(yīng)力Ve呈線性分布3.剪應(yīng)力流腹板上剪應(yīng)力方向與剪力方向一致，各翼緣上的剪應(yīng)力與之形成剪流。三.圓截面：由切應(yīng)力互等定理可知，在截面邊緣上各點(diǎn)處切應(yīng)力

的方向必與圓周相切。假設(shè)：(1)沿寬度kk上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均匯交于y軸上的P點(diǎn)；(2)各點(diǎn)處切應(yīng)力沿y方向的分量沿寬度相等。最大剪應(yīng)力，仍發(fā)生在中性軸上的各點(diǎn)處，在中性軸上剪應(yīng)力的方向都平行于剪力V，且各點(diǎn)處的剪應(yīng)力均相等。五.開(kāi)口薄壁圓環(huán)截面：四.薄壁圓環(huán)截面：假設(shè)：(1)橫截面上切應(yīng)力的大小沿壁厚無(wú)變化；(2)切應(yīng)力的方向與圓周相切。6-4梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件?梁的合理截面1、危險(xiǎn)面與危險(xiǎn)點(diǎn)分析：一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對(duì)值最大的截面的上下邊緣上；最大剪應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對(duì)值最大的截面的中性軸處。VtsssMt一、梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件帶翼緣的薄壁截面，最大正應(yīng)力與最大剪應(yīng)力的情況與上述相同；還有一個(gè)可能危險(xiǎn)的點(diǎn)，在V和M均很大的截面的腹、翼相交處。（以后講）sMQtts3、強(qiáng)度條件應(yīng)用：依此強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算：2、正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件：注：對(duì)于拉壓性能不同的材料，須對(duì)抗拉和抗壓分別建立強(qiáng)度條件。?校核強(qiáng)度：?設(shè)計(jì)截面尺寸：?設(shè)計(jì)載荷：(4)各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核剪應(yīng)力。4、需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況：細(xì)長(zhǎng)梁強(qiáng)度的控制因素通常是彎曲正應(yīng)力。滿足彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件的梁，一股都能滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件。只有在下述一些情況下，要進(jìn)行彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度校核：(1)梁的跨度較短，或在支座附近作用較大的載荷，以致梁的彎矩較小，而剪力較大；(2)鉚接或焊接的工字梁，如腹板薄而截面高度頗大，以致厚度與高度的比值小于型鋼的相應(yīng)比值，這時(shí)，應(yīng)對(duì)腹板進(jìn)行切應(yīng)力校核；(3)經(jīng)焊接、鉚接或膠合而成的梁，對(duì)焊縫、鉚釘或膠合面等，一般要進(jìn)行剪切計(jì)算。例1.矩形木節(jié)梁的合琴理高寬培比R北宋圍李誡油于11底00年著?營(yíng)造法囑式?一書(shū)中洋指出:矩形木浴梁的合激理高寬必比(h/b=1.5)英(T.這Yo桌un左g)于18存07年著?自然抱哲學(xué)腰與機(jī)魄械技訪術(shù)講疼義?一書(shū)中憤指出:矩形木孟梁的合傳理高寬夏比為bh二、梁奮的合理鬧截面2.其他材既料與其料他截面牽形狀梁和的合理恐截面強(qiáng)度：叨正應(yīng)力趕：剪應(yīng)力具：zDzaa（1）在扭面積奸相等謝的情她況下遼，選靈擇抗窯彎模案量大念的截科面zD0.8D續(xù)（1）在面勇積相等努的情況嘆下，選爛擇抗彎貧模量大撿的截面a12a1z0.8a2a21.6a22a2z工字哈形截西面與乏框形慢截面旗類似撤。sGz（2）根據(jù)獅材料特暗性選擇雞截面形琴狀對(duì)于鑄嶼鐵類抗饅拉、壓橡能力不燈同的材智料，最衛(wèi)好使用T字形類逮的截面專，并使逝中性軸逢偏于抗肥變形能兩力弱的憶一方，翅即：若潑抗拉能治力弱，應(yīng)而梁的懲危險(xiǎn)截舒面處又鑰上側(cè)受惕拉，則雨令中性邁軸靠近掌上端。戲如下圖司：3.采用服變截忠面梁食，如下基圖：Px最好酬是等暫強(qiáng)度邊梁，囑即若為等虜強(qiáng)度矩壯形截面守，則高傷為同時(shí)6-嗓5開(kāi)口日薄壁書(shū)截面途的彎瓜曲中寧心一、腫開(kāi)口婚簿壁休截面燈梁的移剪應(yīng)帝力1.分布規(guī)磨律：風(fēng)剪應(yīng)縣力方向旗與截面謎中心線泰相切，蠶且沿截連面中心蛋線形成影“剪應(yīng)柏力流”緒，剪應(yīng)速力大小遇沿壁厚幸均勻分闊布，如畜圖所示會(huì)。2.計(jì)算喬公式二、蓬開(kāi)口大薄壁職截面同的彎離曲中脾心1.彎曲中罩心：工剪切織彎曲時(shí)掙，梁只佛產(chǎn)生彎改曲變形菠，不發(fā)葛生扭轉(zhuǎn)變辨形，士橫向兵外力盛必須的通過(guò)閣的點(diǎn)恰，稱墓為彎遞曲中啟心。2.彎曲脂中心夕的特之征(1)彎曲中估心實(shí)質(zhì)開(kāi)上是橫忘截面內(nèi)尿剪應(yīng)力歷合力的糊作用點(diǎn)腿。(2據(jù))彎曲帆中心辮必在遮截面憤的對(duì)斃稱軸(或反對(duì)璃稱軸)上．若桂截面具倆有兩個(gè)對(duì)礦稱軸(或反虎對(duì)稱賣(mài)軸＞走，則桃其交奸點(diǎn)即朱為彎飯曲中驗(yàn)心。(3)由若干棕中心線齡交于一孫點(diǎn)的狹鴉長(zhǎng)矩形獲組成的雁截面，拋各矩形中心線獄的交點(diǎn)眉即為彎治曲中心辛。(4)彎曲中栽心僅與葛截面的帆幾何形光狀有關(guān)牲，而與情載荷大貓小和材料性魯能無(wú)擁關(guān)。3.彎曲中裹心的確也定3.彎曲失中心題的確逃定幾何方獻(xiàn)程與物獎(jiǎng)理方程靠不變。橫截挨面上倉(cāng)內(nèi)力依此忘確定轎正應(yīng)寇力計(jì)乖算公短式。PxyzO3.彎曲戲中心勉的確姓定PxyzO非對(duì)爆稱截倉(cāng)面梁婦發(fā)生臟平面莖彎曲脖的條開(kāi)件：程外力罵必須春作用犯在主籠慣性魚(yú)面內(nèi)黨，中懂性軸忘為形任心主億軸，姜若是即橫向婦力，尸還必翠須過(guò)涌彎曲辨中心穩(wěn)。exyzPPsMVe6-弦6考慮牧材料霉塑性撫時(shí)的亭極限耕彎矩ssss（一桿）物息理關(guān)椅系為敘：全面蔽屈服爬后,平面狹假設(shè)