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文檔簡介
第四章
自振頻率和振型的實用計算5/17/20231§4.1能量法求第一頻率-Rayleigh法
此外,根據(jù)簡諧振動的特點可知:在體系通過靜力平衡位置的瞬間,速度最大(動能具有最大值),動位移為零(應變能為零);當體系達到最大振幅的瞬間(變形能最大),速度為零(動能為零)。對這兩個特定時刻,根據(jù)能量守恒定律得:
0+Umax=Tmax+0
根據(jù)能量守恒和轉化定律,當不考慮阻尼自由振動時,振動體系在任何時刻的動能T和應變能U之和應等于常數(shù)。U+T=C(常數(shù))5/17/20232求Umax,Tmax
求頻率
如梁上還有中質量mi
Yi是集中質量mi處的位移幅值.5/17/20233設位移幅值函數(shù)Y(x)必須注意以下幾點:1、必須滿足運動邊界條件:(鉸支端:Y=0;固定端:Y=0,Y′=0)
盡量滿足彎矩邊界條件,以減小誤差。剪力邊界條件可不計。2、所設位移幅值函數(shù)應與實際振型形狀大致接近;如正好與第n主振型相似,則可求的ωn的準確解。但主振型通常是未知的,只能假定一近似的振型曲線,得到頻率的近似值。由于假定高頻率的振型困難,計算高頻率誤差較大。故Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。5/17/202343、相應于第一頻率所設的振型曲線,應當是結構比較容易出現(xiàn)的變形形式。曲率小,拐點少。4、通??扇〗Y構在某個靜荷載q(x)(如自重)作用下的彈性曲線作為Y(x)的近似表達式。此時應變能可用相應荷載q(x)所作的功來代替,即5/17/202352)假設均布荷載q作用下的撓度曲線作為Y(x).例4-1試求等截面簡支梁的第一頻率。1)假設位移形狀函數(shù)為拋物線,lyx滿足邊條且與第一振型相近3)假設.正是第一振型的精確解。精確解5/17/20236xh0l例4-2求楔形懸臂梁的自振頻率。設梁截面寬度為,高度h=h0x/l。解:設位移形狀函數(shù)滿足:Rayleigh法所得頻率的近似解總是比精確解偏高。其原因是假設了一振型曲線代替實際振型曲線,就是迫使梁按照這種假設的形狀振動,這就相當于給梁加上了某種約束,增大了梁的剛度,致使頻率偏高。當所設振型越接近于真實,則相當于對體系施加的約束越小,求得的頻率越接近于真實,即偏高量越小。5/17/20237集中質量法:在計算無限自由度體系的自振頻率時,可以用若干個集中質量來代替連續(xù)分布的質量。關于質量的集中方法有多種,最簡單的是靜力等效的集中質量法。
等效原則:使集中后的重力與原來的重力互為靜力等效,即兩者的合力相等。
作法:將桿分為若干段,將每段質量集中于其質心或集中于兩端。該法即可求基頻,也可求較高頻率。使用各類結構。集中質量的數(shù)目越多結果越精確,但工作量也就越大?!?.2集中質量法5/17/20238l例4-3l/3l/3(-0.7%)l/3l/3l/3l/3l/3l/3l/3(-0.1%)(-3.1%)(-0.05%)(-4.8%)(-0.7%)5/17/20239對于對稱剛架,可分別用不同的集中質量方案求出對稱振動和反對稱振動的自振頻率。2ll最小頻率對應著反對稱振型P=1P=1llEI4EI5/17/
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