結(jié)構(gòu)動力學(xué)講義四

第三章

多自由度系統(tǒng)的振動5/17/20231多層房間的側(cè)向振動、不等高排架的振動、塊式基礎(chǔ)的水平回轉(zhuǎn)振動等，作為多自由度體系進(jìn)行分析。（multi-degreeoffreedomsystem）5/17/20232對具有無限個(gè)自由度的彈性結(jié)構(gòu)，精確地處理其振動問題：有時(shí)是非常困難的，在某些情況下也并不必要。在某些特定條件下可對問題作一些簡化假定，使一個(gè)無限自由度體系離散為有限多個(gè)自由度體系，使原來的問題變得容易求解，能獲得原結(jié)構(gòu)體系的主要屬性和特征。5/17/20233§3.1兩個(gè)自由度體系的自由振動

針對兩個(gè)自由度體系；介紹三種常用的方法：平衡力系法剛度法柔度法5/17/202341、平衡力系法如圖，兩集中質(zhì)量和通過三個(gè)彈簧、和相互聯(lián)結(jié)，在任意一時(shí)刻它們偏離其平衡位置的水平位移分別為和5/17/20235根據(jù)兩質(zhì)量塊的平衡條件，可以得到：5/17/20236表示成矩陣形式：式中：整理：5/17/20237寫成一般形式：對于圖中結(jié)構(gòu)體系，有5/17/20238假設(shè)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)為簡諧振動，上式的解設(shè)為：位移振幅和，以及頻率和相位角均為待定參數(shù)。5/17/202391）、在振動過程中，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有相同的頻率和相同的相位角。2）、在振動過程中，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移在數(shù)值上隨時(shí)間而變化，但兩者的比值始終保持不變：5/17/202310

主振型:結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動形式稱為主振型或振動模態(tài)（normalmode）。5/17/202311齊次方程有非零解的條件為其系數(shù)行列式等于零，即:確定了固有頻率應(yīng)滿足的條件，稱為頻率方程或特征方程。（eigenequationorcharacteristicequation）利用這個(gè)方程可計(jì)算固有頻率5/17/202312展開上式，求得的兩個(gè)根為:正實(shí)根，僅依賴于結(jié)構(gòu)體系的物理性質(zhì)，即質(zhì)量和彈簧剛度。5/17/202313具有兩個(gè)自由度的體系共有兩個(gè)自振頻率，表示其中最小的圓頻率，稱為第一圓頻率或基本圓頻率（fundamentalfrequency）；稱為第二圓頻率。5/17/202314比值所確定的振動形式就是與第一圓頻率相應(yīng)的振型，稱為第一振型或基本振型（fundamentalmode）分析頻率各自對應(yīng)的振型5/17/202315和表示第二振型中質(zhì)點(diǎn)1和2的振幅。下標(biāo)與質(zhì)量和相對應(yīng)，上標(biāo)表示模態(tài)號碼。由于模態(tài)方程是齊次的，所以及只有相對關(guān)系。5/17/202316

主振動:結(jié)構(gòu)體系以某一階固有頻率按其相應(yīng)的主振型作振動，稱為體系的主振動。各點(diǎn)同時(shí)經(jīng)過靜平衡位置，并同時(shí)到達(dá)最大偏移位置，以確定的頻率和振型作簡諧振動。一般情況下，體系的自由振動不是主振動，而是兩種不同頻率及其振型的組合振動:5/17/202317方程的全解:其中，、、和由初始條件確定。5/17/2023182、剛度法(a)具有兩個(gè)集中質(zhì)量的結(jié)構(gòu)體系，兩個(gè)自由度，(b)為和的隔離體圖。根據(jù)達(dá)朗伯原理，平衡方程為：5/17/2023195/17/202320彈性力概和守是質(zhì)斤量陪和永與結(jié)構(gòu)危之間的垃相互作俯用力，圖(b諷)中的遇和端是質(zhì)娛點(diǎn)所閉受的岸力，圖(c)中的墻和紅是結(jié)沿構(gòu)所受誕的力，濫兩者的混方向相搖反。結(jié)休構(gòu)所受著的力陰和龍與鑰結(jié)構(gòu)的勇位移癢和漸之句間應(yīng)滿貞足如下詞剛度方恥程:5/4汪/20倒2321是結(jié)手構(gòu)的剛度壞系數(shù)。如廊是使撇質(zhì)點(diǎn)2產(chǎn)生單蒼位位移塊而質(zhì)點(diǎn)1保持蛛為零甚時(shí)在泄質(zhì)點(diǎn)渠所需賄施加元的作顏用力靠。5/板4/撒20怠23225/4蛇/20聽23233、柔度四法以兩級個(gè)自魔由度族體系想為例疊進(jìn)行奸分析:5/企4/掩20穿2324用柔度瀉法建立荒自由振憑動微分炮方程的紙思路:在自照由振私動過黃程中笛的任驅(qū)一時(shí)門刻寒，箭質(zhì)量爸和旗的訴位移申和返應(yīng)當(dāng)貪等于云體系答在慣批性力存和攀作用獎下所哀產(chǎn)生趙的靜抬力位俗移。5/4胃/20襪2325是結(jié)構(gòu)體系的柔度系數(shù)(flexibilitycoefficient)，即體系在點(diǎn)j承受單位力時(shí)，在點(diǎn)i產(chǎn)生的位移。設(shè)解禿的形刷式為:5/泄4/煎20換2326

主振型的位移幅值就是結(jié)構(gòu)體系在此主振型慣性力幅值作用下所引起的靜力位移。5/貝4/畏20餅2327令系數(shù)行列式等于零，可得到和的非零解，即:用柔度課系數(shù)表困示的頻個(gè)率方程凝或特征妹方程。5/終4/妻20浴2328求得固朽有圓頻巧率的兩參個(gè)值為:解出的兩個(gè)根5/枯4/枯20掃2329體系的羨第一階流主振型:5/沫4/扣20擱2330體系選的第象二階堡主振庸型:5/飾4/壟20塞2331總結(jié)：滲在多自柄由體系逗自由振哪動問題者中4）體系黃的自振太頻率和悼主振型蓬是體系條本身的咳固有性鑼質(zhì)。自旗振頻率敢只與體錄系本身公的剛度秘系數(shù)和圖質(zhì)量分忌布有關(guān)欠，與外啞荷無關(guān)切。3）每個(gè)集自振頻駁率有其全相應(yīng)的兄主振型衰；2）振悔動頻聞率個(gè)穩(wěn)數(shù)與別自由樂度個(gè)爹數(shù)一故致，努自振墾頻率前可通符過特額征方專程計(jì)午算；1）主要條問題是貫確定體塌系全部蠅自振頻絨率及其識相應(yīng)主裕振型5/4略/20裂2332例3-1試分依析圖浴示結(jié)撇構(gòu)體藝系的敏固有刑頻率給和振狹型。已知培：渠。解：構(gòu)體系欺的運(yùn)調(diào)動方詞程為晃：5/4幅/20傻2333體系梅的運(yùn)蝴動方泉程為閃：設(shè)方程棕的解為段：5/4播/20貓2334上式滲有非奧零解遙的條膜件是快系數(shù)而行列亭式為傍零：展開身行列局式，當(dāng)可以層求得5/詠4/惜20室2335計(jì)算肅振型勸：其中對應(yīng)于第一階頻率對應(yīng)于第二階頻率。5/4分/20搖2336第一模隸態(tài)（振湯型）為兩塘個(gè)質(zhì)斧量一膽起振柳動，驕無相稱對位墳移，繁中間音一個(gè)哄彈簧寨不起雀作用鉤，只減有第業(yè)一和眼第三陳個(gè)彈技簧起芳作用集，其革結(jié)果奏類似槍于質(zhì)猴量為2m、彈簧如系數(shù)為2k的單自賺由度體拌系的振拐動；以橫顫坐標(biāo)鬼表示祥系統(tǒng)鑼的靜毛平衡俱位置不，縱之坐標(biāo)枕表示喜各點(diǎn)半的振光幅，罵體系流的主己振型摩圖。第二模闖態(tài)（振惰型）為兩栗個(gè)質(zhì)織量作窮相反爆振動齡，中貴間一膏個(gè)彈干簧的償中點(diǎn)弊始終慰不動控。5/會4/曠20危2337例3-2圖示批兩層驅(qū)剛架級，其柄橫梁EI=。設(shè)質(zhì)典量集中徒在橫梁鉆上，第塔一和第弟二層的幻玉質(zhì)量分憂別為慨和孩。愈層間側(cè)昌移剛度