福建省福州市私立國華中學高一數(shù)學理期末試題含解析

福建省福州市私立國華中學高一數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)，為常數(shù)且，則的零點個數(shù)是（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C2.定義為n個正數(shù)p1，p2，…，pn的“均倒數(shù)”．若已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為，又bn=，則+++…+=（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】8E：數(shù)列的求和．【分析】直接利用給出的定義得到=，整理得到Sn=2n2+n．分n=1和n≥2求出數(shù)列{an}的通項，驗證n=1時滿足，所以數(shù)列{an}的通項公式可求；再利用裂項求和方法即可得出．【解答】解：由已知定義，得到=，∴a1+a2+…+an=n（2n+1）=Sn，即Sn=2n2+n．當n=1時，a1=S1=3．當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n2+n）﹣=4n﹣1．當n=1時也成立，∴an=4n﹣1；∵bn==n，∴==﹣，∴+++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴+++…+=，故選：C3.已知函數(shù)的最小正周期為π，若，則的最小值為（

）A. B. C.π D.參考答案：A【分析】由正弦型函數(shù)的最小正周期可求得，得到函數(shù)解析式，從而確定函數(shù)的最大值和最小值；根據(jù)可知和必須為最大值點和最小值點才能夠滿足等式；利用整體對應的方式可構(gòu)造方程組求得，；從而可知時取最小值.【詳解】由最小正周期為可得：

，

和分別為的最大值點和最小值點設(shè)為最大值點，為最小值點

，當時，本題正確選項：A【點睛】本題考查正弦型函數(shù)性質(zhì)的綜合應用，涉及到正弦型函數(shù)最小正周期和函數(shù)值域的求解；關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)的最值確定和為最值點，從而利用整體對應的方式求得結(jié)果.4.某學校高一年級共有480名學生，為了調(diào)查高一學生的數(shù)學成績，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30名學生作為調(diào)查對象.將480名學生隨機從1～480編號，按編號順序平均分成30組(1～16號，17～32號，…，465～480號)，若從第1組中用抽簽法確定的號碼為5，則第8組中被抽中學生的號碼是（）A.25 B.133 C.117 D.88參考答案：C根據(jù)系統(tǒng)抽樣樣本編號的確定方法進行求解，因為第1組抽出的號碼為5，分組間隔為16，所以第8組應抽出的號碼是(8-1)×16+5=117。選C。點睛：系統(tǒng)抽樣則主要考查分組數(shù)和由第一組中抽取的樣本推算其他各組應抽取的樣本，即等距離的特性，解題的關(guān)鍵是的關(guān)鍵是掌握系統(tǒng)抽樣的原理及步驟。5.要得到函數(shù)y=cos2x的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移參考答案：C【分析】把式子x的系數(shù)提取出來，原函數(shù)的圖象向左平移就是在x上加，得到要求函數(shù)的圖象．【解答】解：y=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的圖象，向左平移可得函數(shù)y=cos2x的圖象．故選C．【點評】圖象的平移，是左加右減，若x的系數(shù)不為1，則一定要提取出來，y=Acos（ωx+φ）的圖象向左平移θ個單位，得到圖象的解析式為y=Acos[ω（x+θ）+φ]．6.（5分）已知集合M={﹣1，1}，，則M∩N=（） A． {﹣1，1} B． {﹣1} C． {0} D． {﹣1，0}參考答案：B考點： 交集及其運算．分析： N為指數(shù)型不等式的解集，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解出，再與M求交集．求解答： ?2﹣1＜2x+1＜22?﹣1＜x+1＜2?﹣2＜x＜1，即N={﹣1，0}又M={﹣1，1}∴M∩N={﹣1}，故選B點評： 本題考查指數(shù)型不等式的解集和集合的交集，屬基本題．7.函數(shù)f（x）=x2﹣（）x的零點有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點】函數(shù)零點的判定定理．【分析】把函數(shù)f（x）=x2﹣（）x的零點轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=x2與y=（）x的交點的橫坐標，在同一坐標平面內(nèi)作出兩個函數(shù)的圖象得答案．【解答】解：函數(shù)f（x）=x2﹣（）x的零點，即為方程x2﹣（）x=0的根，也就是函數(shù)y=x2與y=（）x的交點的橫坐標，作出兩函數(shù)的圖象如圖，由圖可知，函數(shù)f（x）=x2﹣（）x的零點有3個．故選：C．8.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則△ABC的形狀為（

）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形參考答案：A△ABC中，，所以.由正弦定理得：.所以.所以，即因為為△ABC的內(nèi)角，所以所以△ABC為等腰三角形.故選A.9.某同學使用計算器求50個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時，錯將其中的一個數(shù)據(jù)150輸入為15，那么由此求出的平均值與實際平均值的差是

（

）

A．

B．

C．3

D．參考答案：B10.若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是（

）A．

B．C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.關(guān)于的不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是

.參考答案：略12.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若，則△ABC的面積為__________.參考答案：【分析】本題首先應用余弦定理，建立關(guān)于的方程，應用的關(guān)系、三角形面積公式計算求解，本題屬于常見題目，難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本方法、數(shù)學式子的變形及運算求解能力的考查．【詳解】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，【點睛】本題涉及正數(shù)開平方運算，易錯點往往是余弦定理應用有誤或是開方導致錯誤．解答此類問題，關(guān)鍵是在明確方法的基礎(chǔ)上，準確記憶公式，細心計算．13.數(shù)列{an}滿足，且a1=，則a2017=．參考答案：【考點】數(shù)列遞推式．【分析】，且，可得an+5=an．利用周期性即可得出．【解答】解：∵，且，∴a2=2a1=，a3=a2﹣1=，a4=2a3=，a5=a4﹣1=，a6=2a5=，…，∴an+5=an．則a2017=a403×5+2=a2=．故答案為：．14.一箱產(chǎn)品有正品4件，次品3件，從中任取2件，其中事件“至少有1件次品”的互斥事件是_____參考答案：“都是正品”【分析】根據(jù)互斥的定義得出所求的互斥事件?！驹斀狻坑深}可知，事件“至少有1件次品”的互斥事件為“沒有件次品”，即“都是正品”，故答案為“都是正品”?！军c睛】本題考查互斥事件的定義，熟悉互斥事件的定義是解本題的關(guān)鍵，意在考查學生對這些基本概念的理解，屬于基礎(chǔ)題。15.在△ABC中，，，則______．參考答案：由題意可得：，利用誘導公式可得：.16.已知向量=（2，2），=（﹣3，4），則?=．參考答案：2考點：平面向量數(shù)量積的運算．

專題：平面向量及應用．分析：利用平面向量的數(shù)量積的坐標表示解答．解答：解：由已知得到?=2×（﹣3）+2×4=﹣6+8=2；故答案為：2．點評：本題考查了平面向量的數(shù)量積的坐標運算；=（x，y），=（m，n），則?=xm+yn．17.的圖象恒經(jīng)過定點P，則點P的坐標為＿___參考答案：（1,4）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（滿分12分）已知定義域為的奇函數(shù)當時，（1）求函數(shù)的解析式；

（2）計算的值。參考答案：（1）為上的奇函數(shù)………………1分設(shè)，則ks5u則得……………4分…………6分（2）由（1）知…………8分…………1219.（本小題滿分10分）在△ABC中，若則△ABC的形狀是什么？參考答案：解—：或，得或所以△ABC是直角三角形。解二：由余弦定理得：上式兩邊同乘以：或所以△ABC是直角三角形。略20.（12分）如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中點，AA1=AB=a（Ⅰ）求證：AD⊥B1D；（Ⅱ）求證：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）求三棱錐C﹣AB1D的體積．參考答案：考點： 棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．專題： 綜合題；空間位置關(guān)系與距離．分析： （Ⅰ）在正三棱柱中，易證明BB1⊥平面ABC及AD⊥BD，根據(jù)三垂線定理可知：AD⊥B1D（Ⅱ）根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，只要在平面AB1D里面找到一條直線與A1C平行即可，因為D為BC中點，所以構(gòu)造平行線的時候可以考慮一下構(gòu)造“中位線”，連接A1B，設(shè)A1B∩AB1=E，連接DE，所以DE∥A1C．（Ⅲ）利用，即可求三棱錐C﹣AB1D的體積．解答： （Ⅰ）證明：∵ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴BD是B1D在平面ABC上的射影在正△ABC中，∵D是BC的中點，∴AD⊥BD，根據(jù)三垂線定理得，AD⊥B1D．（Ⅱ）證明：連接A1B，設(shè)A1B∩AB1=E，連接DE．∵AA1=AB∴四邊形A1ABB1是正方形，∴E是A1B的中點，又D是BC的中點，∴DE∥A1C．（7分）∵DE?平面AB1D，A1C?平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．（9分）（Ⅲ）由圖知，AA1=AB=a，∴=S△ADCBB1=．點評： 本題考查空間垂直關(guān)系、平行關(guān)系的證明，考查三棱錐體積的計算．解題時要認真審題，注意合理地化空間問題為平面問題．21.(滿分12分）如圖，是海面上位于東西方向相距海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于點北偏東，點北偏西的點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于點南偏西°且與點相距海里的點的救援船立即即前往營救，其航行速度為海里/小時，該救援船到達點需要多長時間？參考答案：解：由題意知=海里，∠

DBA=90°—60°=30°，∠

DAB=90°—45°=45°，……2分∴∠AD