2020-2021學年河南省鄭州十一中高二（下）期末數(shù)學模擬練習試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學年河南省鄭州十一中高二（下）期末數(shù)學模擬練習試卷一、單項選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（5分）設(shè)集合A＝{y|y＝lg（x2+1），x∈R}，集合B＝{x|2x﹣x2＞0}，則A∪B等于（）A．（0，2） B．（2，+∞） C．R D．[0，+∞）2．（5分）歐拉是18世紀數(shù)學界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學界作出貢獻，更把數(shù)學推至幾乎整個物理領(lǐng)域，其中歐拉公式的諸多公式中，eix＝cosx+isinx（e＝2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位）被稱為“數(shù)學中的天橋”，將復數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)聯(lián)系起來了．當x＝π時，可得恒等式（）A．eπi﹣1＝0 B．eπi＝0 C．eπi+1＝0 D．eπi+i＝03．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的y值為（）A． B． C． D．4．（5分）已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，其前n項和為Sn，若a2a6＝﹣2a7，S3＝﹣6，則a6＝（）A．﹣2或32 B．﹣2或64 C．2或﹣32 D．2或﹣645．（5分）已知如下六個函數(shù)：y＝x，y＝x2，y＝lnx，y＝2x，y＝sinx，y＝cosx，從中選出兩個函數(shù)記為f（x）和g（x），若F（x）＝f（x）+g（x）的圖象如圖所示，則F（x）＝（）A．x2+cosx B．x2+sinx C．2x+cosx D．2x+sinx6．（5分）七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，清代陸以活在《冷廬雜識》中寫道：“近有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余．體物肖形，隨手變幻．蓋游戲之具，足以排悶破寂．故世俗皆喜為之．”七巧板是由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個七巧板拼成的正方形ABCD，E是AC中點，若在正方形ABCD中隨機取一點，則此點落在陰影部分的概率為（）A． B． C． D．7．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積為16，點P在面A1B1C1D1上，且A1，C到P的距離分別為2，2，則直線CP與平面BDD1B1所成角的正弦值為（）A． B． C． D．8．（5分）若數(shù)列{Fn}滿足F1＝1，F(xiàn)2＝1，F(xiàn)n＝Fn﹣1+Fn﹣2（n≥3），則{Fn}稱為斐波那契數(shù)列，它是由中世紀意大利數(shù)學家斐波那契最先發(fā)現(xiàn)．它有很多美妙的特征，如當n≥2時，前n項之和等于第n+2項減去第2項；隨著n的增大，相鄰兩項之比越來越接近0.618．若第30項是832040，請估計這個數(shù)列的前30項之和最接近（）（備注：0.6182≈0.38，1.6182≈2.61）A．31萬 B．51萬 C．217萬 D．317萬9．（5分）我國古代入民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國古代數(shù)學的圖騰，還被用作第24屆國際數(shù)學家大會的會徽．如圖，大正方形ABCD是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，E為BF的中點，則＝（）A． B． C． D．10．（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，C1與C2在第一象限的交點為M．若△MF1F2是以線段MF1為底邊的等腰三角形，且雙曲線C2的離心率e∈[2，]，則橢圓C1離心率的取值范圍是（）A．[，] B．[0，] C．[，] D．[，1]11．（5分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，AB，A1D1的中點分別是P，Q，直線PQ與正方體的外接球O相交于M，N兩點，點G是球O上的動點，則△GMN面積的最大值為（）A． B． C． D．12．（5分）已知函數(shù)f（x）＝ex﹣aln（ax﹣a）+a（a＞0），若關(guān)于x的不等式f（x）＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．（0，e2] B．（0，e2） C．[1，e2] D．（1，e2）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）若（a+x）（1+x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，在展開式中x的偶數(shù)次冪項的系數(shù)之和為8，則a＝．14．（5分）已知曲線y＝ex+m+n的切線為y＝x﹣1，則一組滿足條件的m，n的取值為．15．（5分）偉大出自平凡，英雄來自人民．在疫情防控一線，北京某大學學生會自發(fā)從學生會6名男生和8名女生骨干成員中選出2人作為隊長率領(lǐng)他們加入武漢社區(qū)服務(wù)隊，用A表示事件“抽到的2名隊長性別相同”，B表示事件“抽到的2名隊長都是男生”，則P（B|A）＝．16．（5分）已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，斜率大于0的直線l經(jīng)過點F2與C的右支交于A，B兩點，若△AF1F2與△BF1F2的內(nèi)切圓面積之比為9，則直線l的斜率為．三、解答題：本題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項和滿足2Sn＝3an﹣a1，且a2+2是a1，a3的等差中項，{bn}是等差數(shù)列，b2＝a2，b8＝a3．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；（2）cn＝anbn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．18．（12分）如圖（1），平面四邊形ABDC中，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，將△ABC沿BC邊折起如圖（2），使____，點M，N分別為AC，AD中點．在題目橫線上選擇下述其中一個條件，然后解答此題．①AD＝．②AC為四面體ABDC外接球的直徑．③平面ABC⊥平面BCD．（1）判斷直線MN與平面ABD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求二面角A﹣MN﹣B的正弦值．19．（12分）已知某高校共有10000名學生，其圖書館閱覽室共有994個座位，假設(shè)學生是否去自習是相互獨立的，且每個學生在每天的晚自習時間去閱覽室自習的概率均為0.1．（1）將每天的晚自習時間去閱覽室自習的學生人數(shù)記為X，求X的期望和方差；（2）18世紀30年代，數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機變量X服從二項分布B（n，p），那么當n比較大時，可視為X服從正態(tài)分布N（μ，σ2）．任意正態(tài)分布都可變換為標準正態(tài)分布（μ＝0且σ＝1的正態(tài)分布），如果隨機變量Y～N（μ，σ2），那么令Z＝，則可以證明Z～N（0，1）．當Z～N（0，1）時，對于任意實數(shù)a，記Φ（a）＝P（Z＜a）．已知如表為標準正態(tài)分布表（節(jié)選），該表用于查詢標準正態(tài)分布對應(yīng)的概率值．例如當a＝0.16時，由于0.16＝0.1+0.06，則先在表的最左列找到數(shù)字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到數(shù)字0.06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數(shù)字0.5636便是Φ（0.16）的值．（ⅰ）求在晚自習時間閱覽室座位不夠用的概率；（ⅱ）若要使在晚自習時間閱覽室座位夠用的概率高于0.7，則至少需要添加多少個座位？a0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.5000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58340.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.65170.40.65540.65910.6280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.722420．（12分）已知N為圓C1：（x+2）2+y2＝24上一動點．圓心C1關(guān)于y軸的對稱點為C2．點M，P分別是線段C1N，C2N上的點，且?＝0，＝2．（1）求點M的軌跡方程；（2）直線l：y＝kx+m與點M的軌跡Γ只有一個公共點P．且點P在第二象限，過坐標原點O且與l垂直的直線l′與圓x2+y2＝8相交于A，B兩點，求△PAB面積的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f'（x），且f（x）＝[f（e）+e﹣1]lnx﹣x+ef'（e）+e，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的最大值；（2）證明：xf（x）＜ex﹣2x2+x﹣1．選考題：共10分．請考生在第22，23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22．（10分）在平面直角坐標系xOy中，已知曲線E的參數(shù)方程為（a為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，0≤β＜π）．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．（1）分別寫出曲線E和直線l的極坐標方程；（2）直線l與曲線E交于M，N兩點，若，求直線l的斜率．[選修4-5：不等式選講]23．已知實數(shù)a，b，c，滿足a+b+c＝1．（1）若a，b∈R+，c＝0，求證：（a+）2+（b+）2≥；（2）設(shè)a＞b＞c，a2+b2+c2＝1，求證：a+b＞1．

2020-2021學年河南省鄭州十一中高二（下）期末數(shù)學模擬練習試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（5分）設(shè)集合A＝{y|y＝lg（x2+1），x∈R}，集合B＝{x|2x﹣x2＞0}，則A∪B等于（）A．（0，2） B．（2，+∞） C．R D．[0，+∞）【分析】可求出集合A，B，然后進行并集的運算即可．【解答】解：∵A＝{y|y≥0}，B＝{x|0＜x＜2}，∴A∪B＝[0，+∞）．故選：D．【點評】本題考查了集合的描述法和區(qū)間的定義，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，一元二次不等式的解法，并集及其運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）歐拉是18世紀數(shù)學界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學界作出貢獻，更把數(shù)學推至幾乎整個物理領(lǐng)域，其中歐拉公式的諸多公式中，eix＝cosx+isinx（e＝2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位）被稱為“數(shù)學中的天橋”，將復數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)聯(lián)系起來了．當x＝π時，可得恒等式（）A．eπi﹣1＝0 B．eπi＝0 C．eπi+1＝0 D．eπi+i＝0【分析】直接利用歐拉公式，化簡求解即可判斷選項．【解答】解：根據(jù)歐拉公式eix＝cosx+isinx，將x＝π代入可得eiπ＝cosπ+isinπ＝﹣1，所以eπi+1＝0．故選：C．【點評】本題考查歐拉公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．3．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的y值為（）A． B． C． D．【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量y的值，模擬程序的運行過程，可得答案．【解答】解：x＝1，y＝1；執(zhí)行如圖所示的程序框圖否，y＝，x＝2；否，y＝，x＝3；否，y＝，x＝4；否，y＝，x＝5；……否，y＝，x＝2020；否，y＝，x＝2021；否，y＝，x＝2022；是輸出y，即輸出y＝．故選：D．【點評】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．4．（5分）已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，其前n項和為Sn，若a2a6＝﹣2a7，S3＝﹣6，則a6＝（）A．﹣2或32 B．﹣2或64 C．2或﹣32 D．2或﹣64【分析】設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，根據(jù)a2a6＝﹣2a7，S3＝﹣6即可計算出a1與q的值，從而可計算出a6的值．【解答】解：由{an}是等比數(shù)列，得a2a6＝a1a7＝﹣2a7，解得a1＝﹣2，設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則S3＝﹣2﹣2q﹣2q2＝﹣6，解得q＝﹣2或q＝1，當q＝﹣2時，a6＝（﹣2）6＝32；當q＝1時，a6＝﹣2．故選：B．【點評】本題考查等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，考查學生的邏輯推理和運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）已知如下六個函數(shù)：y＝x，y＝x2，y＝lnx，y＝2x，y＝sinx，y＝cosx，從中選出兩個函數(shù)記為f（x）和g（x），若F（x）＝f（x）+g（x）的圖象如圖所示，則F（x）＝（）A．x2+cosx B．x2+sinx C．2x+cosx D．2x+sinx【分析】觀察圖象可以得到，函數(shù)F（x）由圖象可知，函數(shù)F（x）過定點（0，1），當x＞0時，F(xiàn)（x）＞1，為增函數(shù)，當x＜0時，F(xiàn)（x）＞0或，F(xiàn)（x）＜0交替出現(xiàn)，再思考所給的函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到答案．【解答】解：由圖象可知，函數(shù)F（x）過定點（0，1），當x＞0時，F(xiàn)（x）＞1，為增函數(shù)，當x＜0時，F(xiàn)（x）＞0或，F(xiàn)（x）＜0交替出現(xiàn)，因為y＝2x的圖象經(jīng)過點（0，1），且當x＞0時，y＞1，當x＜0時，0＜y＜1，若為y＝cosx，當x＝0時，y＝1，2x+cosx不滿足過點（0，1），所以只有當F（x）＝2x+sinx才滿足條件，故選：D．【點評】本題考查了函數(shù)圖象和識別，初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．6．（5分）七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，清代陸以活在《冷廬雜識》中寫道：“近有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余．體物肖形，隨手變幻．蓋游戲之具，足以排悶破寂．故世俗皆喜為之．”七巧板是由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個七巧板拼成的正方形ABCD，E是AC中點，若在正方形ABCD中隨機取一點，則此點落在陰影部分的概率為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)幾何概型的概率公式求出對應(yīng)區(qū)域的面積，即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，設(shè)正方形EFGH的邊長為1，則等腰直角△EFM的直角邊長為1，斜邊MF＝，∵等腰直角△GHC的直角邊長為1，∴等腰直角△EBC的直角邊長為2，BC＝2，∴正方形的邊長為2，AC＝4，∴AM＝1，∵S陰影＝S△EBC+S四邊形AMFN＝×2×2+×1××sin×2＝3，S正方形＝＝8，∴此點落在陰影部分的概率為．故選：C．【點評】本題主要考查幾何概型的應(yīng)用，根據(jù)圖形，求出對應(yīng)區(qū)域的面積是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．7．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積為16，點P在面A1B1C1D1上，且A1，C到P的距離分別為2，2，則直線CP與平面BDD1B1所成角的正弦值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理計算C1P，結(jié)合A1P得出P為A1C1的中點，再構(gòu)造直角三角形計算線面角即可．【解答】解：設(shè)正方體的棱長為a，則a3＝16，故a＝2，即AB＝2，∴A1C1＝a＝4，連接C1P，C1P＝＝＝2，∴A1P＝2，則點P在A1C1上且為中點，連接AC與BD交于O，連接OP，可知AC⊥平面BDD1B1，則∠CPO為直線CP與平面BDD1B1所成角，在直角三角形CPO中，∴sin∠CPO＝＝＝．故選：B．【點評】本題考查了空間距離與線面角的計算，判斷P點位置是關(guān)鍵，屬于中檔題．8．（5分）若數(shù)列{Fn}滿足F1＝1，F(xiàn)2＝1，F(xiàn)n＝Fn﹣1+Fn﹣2（n≥3），則{Fn}稱為斐波那契數(shù)列，它是由中世紀意大利數(shù)學家斐波那契最先發(fā)現(xiàn)．它有很多美妙的特征，如當n≥2時，前n項之和等于第n+2項減去第2項；隨著n的增大，相鄰兩項之比越來越接近0.618．若第30項是832040，請估計這個數(shù)列的前30項之和最接近（）（備注：0.6182≈0.38，1.6182≈2.61）A．31萬 B．51萬 C．217萬 D．317萬【分析】先根據(jù)題中條件求出S28，再求出F29，最后求出S30即可．【解答】解：根據(jù)題意得，F(xiàn)30＝832040，假設(shè){F30}的前n項和為Sn，則S28＝F30﹣F2＝832039，又因為隨著n的增大，相鄰兩項之比越來越接近0.618，所以F29＝832040×0.618≈514200，故S30＝S28+F29+F30≈2178279，故選：C．【點評】本題主要考查數(shù)列的基本概念及前n項和的求法，屬于簡單題．9．（5分）我國古代入民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國古代數(shù)學的圖騰，還被用作第24屆國際數(shù)學家大會的會徽．如圖，大正方形ABCD是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，E為BF的中點，則＝（）A． B． C． D．【分析】如圖所示，建立直角坐標系．不妨設(shè)AB＝1，BE＝x，則AE＝2x．利用勾股定理可得x，通過RT△ABE的邊角關(guān)系，可得E的坐標，設(shè)＝m+n，路坐標運算性質(zhì)即可得出．【解答】解：如圖所示，建立直角坐標系．不妨設(shè)AB＝1，BE＝x，則AE＝2x．∴x2+4x2＝1，解得x＝．設(shè)∠BAE＝θ，則sinθ＝，cosθ＝．∴xE＝cosθ＝，yE＝sinθ＝．設(shè)＝m+n，則（，）＝m（1，0）+n（0，1）．∴m＝，n＝．∴＝+，另解：過E分別作EM⊥AB，EN⊥AD，垂足分別為M，N．通過三角形相似及其已知可得：AM＝AB，AN＝AD．即可得出結(jié)論．故選：A．【點評】本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)求值、平面向量基本定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．10．（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，C1與C2在第一象限的交點為M．若△MF1F2是以線段MF1為底邊的等腰三角形，且雙曲線C2的離心率e∈[2，]，則橢圓C1離心率的取值范圍是（）A．[，] B．[0，] C．[，] D．[，1]【分析】分別設(shè)橢圓和雙曲線的方程，以及半焦距為c，設(shè)|MF1|＝s，|MF2|＝t，由題意可得t＝2c，再由橢圓和雙曲線的定義，結(jié)合離心率公式，設(shè)橢圓的離心率為e'，可得﹣＝2，再由e的范圍，可得所求范圍．【解答】解：設(shè)橢圓的方程為+＝1（a＞b＞0），雙曲線的方程為﹣＝1（m＞0，n＞0），橢圓和雙曲線的半焦距為c，設(shè)|MF1|＝s，|MF2|＝t，由題意可得t＝|F1F2|＝2c，由橢圓的定義，可得s+t＝2a，由雙曲線的定義，可得s﹣t＝2m，解得t＝a﹣m，設(shè)橢圓的離心率為e'，由e'＝，e＝，所以a﹣m＝2c，即有﹣＝2，由e∈[2，]，可得e'∈[，]．故選：C．【點評】本題考查橢圓和雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．11．（5分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，AB，A1D1的中點分別是P，Q，直線PQ與正方體的外接球O相交于M，N兩點，點G是球O上的動點，則△GMN面積的最大值為（）A． B． C． D．【分析】△GMN的外接圓為球的大圓，利用圓的弦長公式求出MN的值，則△GMN的高為圓上一點到直線的距離，最大值為圓心到直線的距離加半徑，即當OG⊥MN時，面積最大．【解答】解：如圖，設(shè)正方體外接球球O的半徑為r，過球心O作OH⊥PQ，垂足為H，知H為PQ的中點．因為正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，所以，，所以，，所以．因為點G是球O上的動點，所以點G到MN的最大距離為，故△GMN面積的最大值為．故選：C．【點評】本題考查正方體和球的性質(zhì)，圓上一點到直線距離的應(yīng)用，考查直觀想象能力，屬于中檔題．12．（5分）已知函數(shù)f（x）＝ex﹣aln（ax﹣a）+a（a＞0），若關(guān)于x的不等式f（x）＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．（0，e2] B．（0，e2） C．[1，e2] D．（1，e2）【分析】根據(jù)f（x）＞0恒成立可得ex﹣lna+x﹣lna＞eln（x﹣1）+ln（x﹣1），構(gòu)造函數(shù)g（x）＝ex+x，由g（x）的單調(diào)性可得x﹣lna＞ln（x﹣1），用放縮法求出ln（x﹣1）﹣x的最大值，從而得到a的取值范圍．【解答】解：∵f（x）＝ex﹣aln（ax﹣a）+a＞0（a＞0）恒成立，∴，∴ex﹣lna+x﹣lna＞ln（x﹣1）+x﹣1，∴ex﹣lna+x﹣lna＞eln（x﹣1）+ln（x﹣1）．令g（x）＝ex+x，易得g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴x﹣lna＞ln（x﹣1），∴﹣lna＞ln（x﹣1）﹣x．∵ln（x﹣1）﹣x≤x﹣2﹣x＝﹣2，∴﹣lna＞﹣2，∴0＜a＜e2，∴實數(shù)a的取值范圍為（0，e2）．故選：B．【點評】本題考查了函數(shù)恒成立問題和放縮法的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬難題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）若（a+x）（1+x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，在展開式中x的偶數(shù)次冪項的系數(shù)之和為8，則a＝﹣．【分析】利用賦值法分別令x＝1和x＝﹣1，建立方程進行求解即可．【解答】解：∵設(shè)（a+x）（1+x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，令x＝1，則a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝32（a+1），①令x＝﹣1，則a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝0，②①+②得，2（a0+a2+a4+a6）＝32（a+1），∵展開式中x的偶數(shù)次冪項的系數(shù)之和為8，∴2×8＝32（a+1），即a+1＝，解得a＝﹣．故答案為：﹣．【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，利用賦值法建立方程是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．14．（5分）已知曲線y＝ex+m+n的切線為y＝x﹣1，則一組滿足條件的m，n的取值為m＝0，n＝﹣2．【分析】求得y＝ex+m+n的導數(shù)，設(shè)出切點，可得切線的斜率，由已知切線方程，可得m，n的關(guān)系式，即可得到滿足條件的一組值．【解答】解：y＝ex+m+n的導數(shù)為y′＝ex+m，設(shè)切點為（x0，y0），可得切線的斜率為ex0+m，則ex0+m＝1，y0＝x0﹣1＝ex0+m+n，化為x0＝﹣m＝2+n，即有m+n＝﹣2，可取m＝0，n＝﹣2．故答案為：m＝0，n＝﹣2．【點評】本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，以及直線方程的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）偉大出自平凡，英雄來自人民．在疫情防控一線，北京某大學學生會自發(fā)從學生會6名男生和8名女生骨干成員中選出2人作為隊長率領(lǐng)他們加入武漢社區(qū)服務(wù)隊，用A表示事件“抽到的2名隊長性別相同”，B表示事件“抽到的2名隊長都是男生”，則P（B|A）＝．【分析】設(shè)事件A為“抽到的2名隊長性別相同”，事件B為“抽到的2名隊長都是男生”，由已知得，P（AB）＝，再結(jié)合條件概率公式，即可求解．【解答】解：設(shè)事件A為“抽到的2名隊長性別相同”，事件B為“抽到的2名隊長都是男生”，由已知得，P（AB）＝，則P（B|A）＝．故答案為：．【點評】本題主要考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，斜率大于0的直線l經(jīng)過點F2與C的右支交于A，B兩點，若△AF1F2與△BF1F2的內(nèi)切圓面積之比為9，則直線l的斜率為．【分析】利用平面幾何圖形的性質(zhì)及雙曲線定義可得△AF1F2的內(nèi)切圓圓心為G與△BF1F2的內(nèi)切圓圓心為H的橫坐標相等則直線GH的方程為x＝a；在△GEF2，△HEF2中，運用解直角三角形知識及正切函數(shù)的定義和二倍角公式化簡即可得到直線的斜率．【解答】解：設(shè)△AF1F2與△BF1F2的內(nèi)切圓圓心分別為G，H，連接HG，HF2，GF2，△AF1F2的內(nèi)切圓與三邊分別切于點D，E，F(xiàn)，如圖，則|AF1|﹣|AF2|＝|AD|+|DF1|﹣（|AE|+|EF2|）＝|DF1|﹣|EF2|＝|FF1|﹣|FF2|，所以2a＝c+xG﹣（c﹣xG），即xG＝a，同理xH＝a，所以HG⊥F1F2．設(shè)直線AB的傾斜角為θ，則θ∈（0，），在Rt△F2FG中中，|FG|＝|FF2|tan＝（c﹣a）cot，在Rt△F2FH中，|FH|＝|FF2|tan＝（c﹣a）tan，由題得|FG|＝3|FH|，所以（c﹣a）tan（﹣）＝3（c﹣a）tan，解得tan＝，所以tanθ＝＝．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的內(nèi)心的概念，考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查直線斜率的求法，屬于中檔題．三、解答題：本題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項和滿足2Sn＝3an﹣a1，且a2+2是a1，a3的等差中項，{bn}是等差數(shù)列，b2＝a2，b8＝a3．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；（2）cn＝anbn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．【分析】（1）直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用和等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用求出數(shù)列的通項公式；（2）利用乘公比錯位相減法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．【解答】解：（1）由題意知，當n≥2時，2Sn﹣1＝3an﹣1﹣a1，又因為2Sn＝3an﹣a1，所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝3an﹣1，故，所以a2＝3a1，由于a2+2是a1，a8的等差中項，所以2（a2+2）＝a1+a8，整理得：2（3a1+2）＝a1+a8，解得a1＝1．所以數(shù)列{an}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，故．設(shè)數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，公差為d，則b1+d＝3，b1+7d＝9，解得：d＝1，b1＝2，所以bn＝2+（n﹣1）＝n+1．（2）由（1）得，所以，①，②①﹣②得：，整理得：．【點評】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用，數(shù)列的求和，乘公比錯位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）如圖（1），平面四邊形ABDC中，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，將△ABC沿BC邊折起如圖（2），使____，點M，N分別為AC，AD中點．在題目橫線上選擇下述其中一個條件，然后解答此題．①AD＝．②AC為四面體ABDC外接球的直徑．③平面ABC⊥平面BCD．（1）判斷直線MN與平面ABD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求二面角A﹣MN﹣B的正弦值．【分析】（1）選①，求解三角形證明AB⊥BD，進一步正AB⊥平面CBD，得AB⊥CD，再由CD⊥BD，可得CD⊥平面ABD，再證明MN∥CD，可得MN⊥平面ABD；選②，得CD⊥AD，進一步得CD⊥平面ABD，再證明MN∥CD，可得MN⊥平面ABD；選③，由平面與平面垂直的性質(zhì)可得AB⊥平面CBD，則AB⊥CD，進一步得到CD⊥平面ABD，再證明MN∥CD，可得MN⊥平面ABD；（2）由（1）知，MN⊥平面ABD，則MN⊥AN，MN⊥BN，可得∠ANB為二面角A﹣MN﹣B的平面角，求解三角形可得cos∠DAB＝，進一步求得二面角A﹣MN﹣B的正弦值．【解答】解：（1）選①，AD＝，在Rt△BCD中，BC＝2，CD＝1，則BD＝，又AB＝2，∴AB2+BD2＝AD2，則AB⊥BD，又AB⊥BC，BC∩BD＝B，∴AB⊥平面CBD，∴AB⊥CD，又CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，而M、N分別為AC、AD的中點，∴MN∥CD，∴MN⊥平面ABD；選②，AC為四面體ABDC外接球的直徑，則∠ADC＝90°，CD⊥AD，又CD⊥BD，AD∩BD＝D，∴CD⊥平面ABD，而M、N分別為AC、AD的中點，∴MN∥CD，∴MN⊥平面ABD；選③，平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，又AB⊥BC，∴AB⊥平面CBD，則AB⊥CD，又CD⊥BD，AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD，M、N分別為AC、AD的中點，∴MN∥CD，∴MN⊥平面ABD；（2）由（1）知，MN⊥平面ABD，則MN⊥AN，MN⊥BN，∴∠ANB為二面角A﹣MN﹣B的平面角，∵△ABD為直角三角形，且AD＝，BD＝，∴cos∠DAB＝，在△ABN中，AN＝，BN＝，∴cos∠ANB＝．故二面角A﹣MN﹣B的正弦值為．【點評】本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，訓練了二面角的平面角的求法，是中檔題．19．（12分）已知某高校共有10000名學生，其圖書館閱覽室共有994個座位，假設(shè)學生是否去自習是相互獨立的，且每個學生在每天的晚自習時間去閱覽室自習的概率均為0.1．（1）將每天的晚自習時間去閱覽室自習的學生人數(shù)記為X，求X的期望和方差；（2）18世紀30年代，數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機變量X服從二項分布B（n，p），那么當n比較大時，可視為X服從正態(tài)分布N（μ，σ2）．任意正態(tài)分布都可變換為標準正態(tài)分布（μ＝0且σ＝1的正態(tài)分布），如果隨機變量Y～N（μ，σ2），那么令Z＝，則可以證明Z～N（0，1）．當Z～N（0，1）時，對于任意實數(shù)a，記Φ（a）＝P（Z＜a）．已知如表為標準正態(tài)分布表（節(jié)選），該表用于查詢標準正態(tài)分布對應(yīng)的概率值．例如當a＝0.16時，由于0.16＝0.1+0.06，則先在表的最左列找到數(shù)字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到數(shù)字0.06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數(shù)字0.5636便是Φ（0.16）的值．（?。┣笤谕碜粤晻r間閱覽室座位不夠用的概率；（ⅱ）若要使在晚自習時間閱覽室座位夠用的概率高于0.7，則至少需要添加多少個座位？a0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.5000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58340.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.65170.40.65540.65910.6280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.7224【分析】（1）由隨機變量X服從二項分布B（n，p），利用數(shù)學期望和方差的計算公式求解即可；（2）（i）隨機變量X服從正態(tài)分布，可得X～N（1000，900），則～N（0，1），然后由標準正態(tài)分布的性質(zhì)進行分析求解即可；（ii）查表可得Φ（0.53）＝0.7019，轉(zhuǎn)化為P（X＜1015.9）＝0.7019，利用P（X＜1015）＝P（＜0.5）＝Φ（0.5）＝0.6915＜0.7，確定閱覽室的座位數(shù)，從而得到答案．【解答】解：（1）由題意可得，隨機變量X服從二項分布B（n，p），則E（X）＝np＝10000×0.1＝1000，D（X）＝np（1﹣p）＝10000×0.1×0.9＝900；（2）（i）由于（1）中二項分布的n值較大，故可以認為隨機變量X服從正態(tài)分布，由（1）可得，μ＝1000，σ＝30，由題意，可得X～N（1000，900），則～N（0，1），則P（X＜994）＝P（＜﹣0.2）＝Φ（﹣0.2），由標準正態(tài)分布性質(zhì)可得，Φ（﹣0.2）＝1﹣Φ（0.2），故P（X＜994）＝1﹣Φ（0.2），則P（X≥994）＝1﹣P（X＜994）＝Φ（0.2）＝0.5793，故閱覽室晚上座位不夠用的概率為0.5793；（ii）查表可得，Φ（0.53）＝0.7019，則P（＜0.53）＝0.7019，即P（X＜1015.9）＝0.7019，又P（X＜1015）＝P（＜0.5）＝Φ（0.5）＝0.6915＜0.7，故座位數(shù)至少要1016個，由于1016﹣994＝22，所以閱覽室至少還需要增加22個座位．【點評】本題考查了正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查了概率問題的求解與應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題．20．（12分）已知N為圓C1：（x+2）2+y2＝24上一動點．圓心C1關(guān)于y軸的對稱點為C2．點M，P分別是線段C1N，C2N上的點，且?＝0，＝2．（1）求點M的軌跡方程；（2）直線l：y＝kx+m與點M的軌跡Γ只有一個公共點P．且點P在第二象限，過坐標原點O且與l垂直的直線l′與圓x2+y2＝8相交于A，B兩點，求△PAB面積的取值范圍．【分析】（1）由題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合可得，知M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，求出a，b的值，則橢圓方程可求；（2）設(shè)出P的坐標，利用導數(shù)可得曲線在P點處切線的斜率，可得過坐標原點O且與l垂直的直線l′的方程，求出P到直線l′的距離，代入三角形面積公式，換元后利用基本不等式求最值．【解答】解：（1）C1（﹣2，0），C2（2，0），如圖，由?＝0，＝2，可知MP為C2N的垂直平分線，則，∴M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，且a＝，c＝2，則b2＝a2﹣c2＝2，∴M的軌跡方程是；（2）設(shè)P的坐標為（x0，y0），則（＜x0＜0），由，y′＝﹣，則＝﹣，∴過坐標原點O且與l垂直的直線l′的方程為，即．點（x0，）到直線的距離d＝＝．∴＝，令y＝，再令（0＜t＜6），則y＝＝．當且僅當9﹣t＝，即t＝9﹣時等號成立．∴△PAB面積的取值范圍是（0，]．【點評】本題考查軌跡方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓練了利用導數(shù)求最值，屬難題．21．（12分）已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f'（x），且f（x）＝[f（e）+e﹣1]lnx﹣x+ef'（e）+e，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的最大值；（2）證明：xf（x）＜ex﹣2x2+x﹣1．【分析】（1）依題意，可求得f（x）＝lnx﹣x+1，f′（x）＝?f（x）max＝f（1）＝0；（2）要證xlnx﹣x2＜ex﹣2x2+x﹣1，只需證ex﹣x2﹣1＞x（x﹣1），即證ex﹣2x2+x﹣1＞0（x＞0）成立，令h（x）＝ex﹣2x2+x﹣1（x≥0），利用導數(shù)，可求得h（x）的最小值是h（0）＝0，或h（x2）．由h′（x2）＝0，得＝4x2﹣1，進一步分析可得h（x2）＞0，從而結(jié)論成立．【解答】解：（1）因為f（x）＝[f（e）+e﹣1]lnx﹣x+ef'（e）+e，所以f′（x）＝﹣1，，解得，則f（x）＝lnx﹣x+1，所以f′（x）＝，令f′（x）＞0，得0＜x＜1；令f′（x）＜0，得x＞1．所以當x＝1時，f（x）max＝f（1）＝0．（2）證明：由（1）得f（x）的最大值為0，所以lnx﹣x+1≤0，即lnx≤x﹣1，從而xlnx≤x（x﹣1），要證xlnx﹣x2＜ex﹣2x2+x﹣1，即xlnx＜ex﹣x2﹣1，故只需證