高考數學復習?？贾R點專項練習8全稱量詞與存在量詞

8全稱量詞與存在量詞一、選擇題1．下列不是全稱量詞的是(D)A．任意一個B．所有的C．每一個D．很多解析：很明顯A，B，C中的量詞均是全稱量詞，量詞．2．下列不是D中的量詞不是全稱存在量詞的是(D)A．有些B．至少有一個C．有一個D．所有解析：A，B，C中的量詞都是存在量詞，D中的量詞是全稱量詞，故選D.3．下列命題：(1)今天有人請假；(2)中國所有的江河都流入太平洋；(3)中國公民都有受教育的權利；(4)每一個中學生都要接受愛國主義教育；(5)有人既能寫小說，也能搞發(fā)明創(chuàng)造；(6)任何一個數除0都等于0.其中是全稱量詞命題的個數是(D)A．1B．2C．3D．4解析：(2)(3)(4)(6)都含有全稱量詞．4．將“x2＋y2≥2xy對任意實數x恒成立”改寫成符號形式為(A)A．?x，y∈R，x2＋y2≥2xyB．?x，y∈R，x2＋y2≥2xyC．?x>0，y>0，x2＋y2≥2xyD．?x<0，y<0，x2＋y2≥2xy解析：由全稱量詞命題的形式，知選A.5．“對x∈R，關于A．?x∈R，使x2>0成立B．?x∈R，使x2≤0成立C．?x∈R，有x2>0成立x的不等式x2>0有解”等價于(A)D．?x∈R，有x≤0成立22/7

解析：對x∈R，關于x的不等式x2>0有解，等價于不等式x2>0在實數范圍內有解，所以與命題“?x∈R，使x2>0成立”等價．6．下列命題中，既是真命題又是全稱量詞命題的是(D)A．對任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的兩條對角線相等C．?x∈R，x2＝xD．所有的等邊三角形都相似解析：A中含有全稱量詞“任意的”，因為a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以A是假命題．B在敘述上沒有全稱量詞，但實際上是指“所有的”，菱形的對題．故選D.7．有下列四個命題，其中真命題是(B)角線不一定相等，所以B是假命題，C是存在量詞命A．?n∈R，n2≥nB．?n∈R，?m∈R，m·n＝mC．?n∈R，?m∈R，m2<nD．?n∈R，n2<n解析：對于選項A，令n＝21即可驗證其不正確；對于選項C、選項D，令n＝－1，即可驗證其均不正確，故選B.8．下列命題中，是真命題的是(A)3/7A．?x∈R，x2＋2>0B．?x∈R，x2＋x＝－2C．?x∈R，x2－x＋41>0D．?x∈R，x2＋2x＋2<0解析：對于A選項：?x∈R，x2＋2>0恒成立，A正確；對于B選項：1724因為x2＋x＋2＝＋＋>0恒成立，所以不存在x∈R，使x2＋x＝－2，Bx2C選項：因為x2－x＋41＝－2，存在x＝，使x2－x＋41＝0，x112錯誤；對于2C錯誤；對于D選項：?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0恒成立，所以不存在x∈R，使x2＋2x＋2<0，D錯誤．二、填空題9．對每一個x∈R，x∈R，且x<x，都有x<x是全稱量詞(填“全稱”或“存在量詞”)命題，是假(填“真”或“假”)命題．解析：令x＝－1，x＝0.22212121量詞1210．下列命題中，全稱量詞命題是①②③；存在量詞命題是④.(填序號)①正方形的四條邊相等；②有兩個角相等的三角形是等腰三角形；③正數的平方根不等于0；④至少有一個正整數是偶數．4/7解析：①可表述為“每一個正方形的四條邊相等”，是全稱量詞命題；②可表述為“凡是有兩個角相等的三角形都是等腰三角形”，是全稱量詞命題；③可表述為“所有正數的平方根都不等于0”，是全稱量詞命題；④是存在量詞命題．三、解答題11．用符號“?”或“?”改寫下面的命題，并判斷真假．(1)實數的平方大于或等于0；(2)存在實數x，y，使2x－y＋1<0成立；(3)直角三角形滿足勾股定理．解：(1)是全稱量詞命題，隱藏了全稱量詞“所有的”．改寫后命題為?x∈R，x2≥0，是(2)改寫后命題為?x∈R，y∈R，使得2x－y＋1<0，是真命題．真命題．如x＝0，y＝2時，2x－y＋1＝0－2＋1＝－1<0成立．(3)是全稱量詞命題，所有直角三角形都滿足勾股定理．改寫后命題為?Rt△ABC，a，b為直角邊＝c2，是長，c為斜邊長，都有a＋b22真命題．12．若對于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，求實數a的取值范圍．5/7

|x|解：若x>0，由|x|>ax得a<＝1，x|x|若x<0，由|x|>ax得a>＝－1，x若對于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，則實數a的取值范圍是－1<a<1.13．(多選題)下列命題是“?x∈R，x2>3”的表述方法的有(ABD)A．有一個x∈R，使得x2>3成立B．對有些x∈R，使得x2>3成立C．任選一個x∈R，都有x2>3成立D．至少有一個x∈R，使得x2>3成立解析：14．“?x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”為真命題的一個充分不必要條件是(C)C選項是全稱量詞命題，A，B，D選項符合題意．故選ABD.A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5解析：“?x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”為真命題，可化為?x∈{x|1≤x≤2}，a≥x2恒成立，即只需a≥(x2)max＝4，即“?x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”為真命題的充要條件為a≥4，而要找一個充分不必要條件即為集合{a|a≥4}的真子集，由選項可知C符合題意．故選C.15．已知命題p：?x∈R，ax2＋2x＋1≤0是真命題，則實數a的取值范圍是a≤1.解析：當a<0時，y＝ax2＋2x＋1開口向下，必然存在x使ax2＋2x＋1≤0；當a＝0時，原不等式為2x＋1≤0，解得x≤－21；當a>0時，令Δ＝4－4a≥0，得a≤1.故a的取值范圍為a≤1.16．已知命題p：“至少存在一個實數x∈{x|1≤x≤2}，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”為真，求參數a的取值范圍．解：由題意知